理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析(2020年7月整理).pdf
理论力学简明教程第六章答案
第六章 分析力学滔滔长江东逝水，浪花淘尽英雄。
达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。
长江后浪推前浪，你或许在此能够加倍“忘乎因此‘。
微分方程将叱咤风云。
[要点分析与总结]1虚功原理：（平稳时）理想条件下，力学系的平稳条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：10ni i i W F r δδ==•=∑用广义坐标来表述：310n ii i x W F q q ααδδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 1()0ni i i i i W F m r r δδ==-•=∑〈析〉r δ，W δ均是在时刻未转变（0dt =）时所假想的量，而广义坐标a q 能够是角度，长度或其它的独立的坐标变量。
3拉格朗日方程()d T TQ dt q q ααα∂∂-=∂∂ (1,2,3,,)a s =在保守力下，取拉氏数 L T V =-方程为：()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ 假设拉氏数中L 不显含广义坐标q β，那么：0Lq β∂=∂ 即 循环积分： Lp const q ββ∂==∂ 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正那么方程 （1） 哈密顿函数1(,,)sH p q t L p q ααα==-+∑式中T Lp q q ααα∂∂==∂∂为广义坐标动量 （2） 正那么方程Hq P Hp q H Lt tαααα∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,)a s =假设哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，那么：0Hp q ββ∂=-=∂ 即：循环积分 Tp const q ββ∂==∂ 在稳固条件下（H 中不显含t ），12sp q T ααα==∑那么有能量积分：H T V =+6泊松括号1[,]()sG H G HG H q p p q ααααα=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正那么变换 （1）哈密顿原理保守力系下：210t t Ldt δ=⎰概念：21t t S Ldt =⎰为主函数（3） 正那么变换通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正那么方程的形式不变（相当于坐标变换）。
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
理论力学第6章 刚体的平面运动分析
于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移 （牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。
刚体平面运动时 ，刚体上各点的轨迹 、速度与加速度各不 相同。 平移运动的轨迹
、速度和加速度随基
点选取的不同而不同 。
平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关
＝ lim
1 2 lim t 0 t t 0 t
A
vA
AC ＝
0
vA
瞬时速度中心的概念－速度瞬心的特点
y´
vC A
P
S
0
C
1. 瞬时性－不同的瞬时， 有不同的速度瞬心； 2. 唯一性－某一瞬时只 有一个速度瞬心；
vA
x´
vA
A
3. 瞬时转动特性－平面图 形在某一瞬时的运动都可以视 为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬 时转动.
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
瞬时速度中心法
瞬时速度中心的概念 应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法 几种特殊情形下瞬时速度中心位 置的确定
瞬时速度中心的概念
y´
P
vA
平面图形S上的基点A，基点 速度vA ,平面图形角速度 0 。 过A点作vA的垂直线PA，P A上各点的速度由两部分组成：
S
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体的平面运动—— 刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。
前面研究了点的复合运动。这里研究刚体 的平面运动。刚体的平面运动可以看做与点的 复合运动相对应。是两个典型代表对象的典型 复合运动。
理论力学第6章答案
环 量 为 Γ ， 则 根 据 多 连 通 域 的 斯 托 克 斯 定 理 有 ： Γ − Γ( 0 , 0 ) =
∫∫ Ω dA = 0 ， 即
z
Γ = Γ( 0, 0) = 2πC
6-8
Q圆r = a1 , r = a2是流线 ∴圆r = a1 , r = a2上的流体速度沿切向方向
即 r = a1时，υθ = υ0，υ r = 0；r = a2时，υθ = 0，υr = 0
Ω=
6-9
π (a − a )
2 2 2 1
Γa2 − Γa1
=
0 − 2πa1υ0 2a υ = 2 1 02 2 2 π (a2 − a1 ) a1 − a2
由单连通域的斯托克斯定理可知： Γ k3 = 0 ， Γ k4 = ΩA = 2π r
2 0
ω
k2 ，k4 所在为多连通域，由多连通域的斯托克斯定理可知： Γ k1 − Γ a = 0 ，所以
Γ k1 = Γ a = 2π a 2ω Γ k4 = ΩA = 2π r02ω
Γ k2 = Γ AB + Γ Bo + Γ oC + ΓCD + Γ DA = Γ AB + Γ Bo + Γ oC + ΓCD + Γ DA + Γ BC − Γ BC = Γ AB + Γ Bo + Γ oC + ΓCD + Γ DA + Γ BC + ΓCB = (Γ AB + Γ BC + ΓCD + Γ DA ) + (Γ Bo + Γ oC + ΓCB ) 1 2 π a 2ω = 0 + π a 2ω = 4 2
理论力学习题集
理论力学习题集第一章静力学的基本概念及物体的受力分析1-1 画出指定物体的受力图，各接触面均为光滑面。
1-2 画出下列指定物体的受力图，各接触面均为光滑，未画重力的物体的重量均不计。
1-3 画出下列各物体以及整体受力图，除注明者外，各物体自重不计，所有接触处均为光滑。
(a) (b)(c) (d)(e) (f)第二章平面一般力系2-1 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在铰车D 上，如图所示。
转动铰车，物体便能升起，设滑轮的大小及滑轮转轴处的摩擦忽略不计，A、B、C三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，试求拉杆AB和支杆CB所受的力。
2-2 用一组绳悬挂重P=1kN的物体，求各绳的拉力。
2-3 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力P1=1940kN，P2=800kN及制动力T=193kN，桥墩自重W=5280kN，风力Q=140kN。
各力作用线位置如图所示，求将这些力向基底截面中心O简化的结果，如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。
2-4 水平梁的支承和载荷如图所示，试求出图中A、B处的约束反力。
2-5 在图示结构计算简图中，已知q=15kN/m，求A、B、C处的约束力。
2-6 图示平面结构，自重不计，由AB、BD、DFE三杆铰接组成，已知：P=50kN，M=40kN·m，q=20kN/m，L=2m，试求固定端A的反力。
图2-6 图2-72-7 求图示多跨静定梁的支座反力。
2-8 图示结构中各杆自重不计，D、E处为铰链，B、C为链杆约束，A为固定端，已知：q G=1kN/m，q=1kN/m，M=2kN·m，L1=3m，L2=2m，试求A、B、C 处约束反力。
图2-8 图2-92-9 支架由两杆AO、CE和滑轮等组成，O、B处为铰链，A、E是固定铰支座，尺寸如图，已知：r=20cm，在滑轮上吊有重Q=1000N的物体，杆及轮重均不计，试求支座A和E以及AO杆上的O处约束反力。
理论力学练习册及答案(南华版)
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
理论力学答案
三、b)c) CD 是二力杆，A 是固定绞支座d) DC 是二力杆，A 是固定绞支座e ) BC 是二力杆，A 处是固定绞支座f ) CD 是二力杆，A 处是固定绞支座特别需要强调的是：1) 无论是单个刚体还是整体，受力图都必须去掉约束。
根据定义，受力图是在分离体上画出全部外力的图形。
而分离体的定义则是：解除了约束的研究对象。
分离体必须用规、矩画，但不必完全如原图一样，只需画成相似的简图即可。
2) 有关作用力与反作用力的问题：AyF Ax F 'C F CDF AyF AxF DF CF BFAyF AxF CF 'AyF AxF BF CF 'AyF Ax F DF AyF AxF DF CF AF FCF 或AyF AxF C 'F AyF AxF DF DF CF AF B F TFa ) 习惯上，先找出二力杆，并标示一约束反力(如F D ，将其认为是作用力)。
在另一受力图上的相联点(如D 点)，然后根据作用力与反作用力定律确定的约束反力当作反作用力，标示为F'D 。
其中，符号 ' 是为了表示它是F D 的反作用力。
所以，它是有确切含义的。
标注符号时，要注意先后顺序，先确定的约束反力不标注 ' 符号，后确定的约束反力一定要标注符号 ' 。
两者必须成对、反向画。
b ) 为了明确地表示两者的作用力与反作用力关系，两个力的下脚标必须一致，如上述的D 。
不能随手写其它符号，以免产生误解。
下脚标通常用该点的符号表示，不宜象中学物理中那样，标示成数字。
3) 整体受力图一般最后画，整体受力图上的约束反力，应该与各单个刚体上已经画出的约束反力方向一致，以免产生岐义。
一、b ) k 点是光滑面约束，A 是光滑铰链，B 、O 是固定铰支座。
c ) 先确定斜杆(标注为DE )是二力杆，A 是固定绞支座，B 是可动绞支座。
BC 杆带铰，C 铰与AC 杆上C 孔铰接，力F 作用在铰上。
理论力学第六章习题答案
解 y x
a
A 动系圆环
a a = a rn + a en + a k
a ay = −rω 2 − 3rω 2 − 2rω 2 = −6rω 2 a ax = 0
B 动系圆环
a a = a rn + aen + a k
y x b y x
e a ay = −a n ( 2 / 5 ) = − 2 rω 2
o
曲柄长 OA = r
并以匀角速度 ω 绕 O 轴转动
o
装在水平
杆上的滑槽 DE 与水平线成 60 角 杆 BC 的速度
试求当曲柄与水平轴的交角分别为 ϕ = 0
30o 时
解
以 A 为动点
以 BC 杆为动系 有
va = ve + vr
在 ϕ = 0° 时 矢量右如图
υ BC = v e =
3 3 va = ωr 3 3
a a = a an + a at = a e + a rt + a rn + a c
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
a an cos 60° + a at cos 30° = − a e cos 30° − a r cos 30° + a c cos 60° − a rn cos 60° a at sin 30° − a an sin 60° = − a e sin 30° + a rt sin 30° + a c sin 60° − a rn sin 60°
齿 条 又 带 动 半 径 为 0.1m 的 齿 轮 D 绕 固 定 轴 O1 转 动
ω = 5rad/s
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而曲柄 O1B 重合于 OO1 的延长线上时，杆 AB 和曲柄 O1B 的角速度。
解：杆 AB 的瞬心在 O
AB
=
vA OA
=
=
3 rad/s
vB = 3l
O1B
= vB l
=
3 = 5.2 rad/s
6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚习动题，6线-6 图上的点 A 有向右的速度 vA= 0.8m/s，试求卷轴中心 O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
解：杆 AB 作平面运动，点 C 的
B
速度 vC 沿杆 AB 如图所示。作速度
B P
vC 和 v0 的垂线交于点 P，点 P 即为
C
杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆 AB
为
h
C
AB
vC
h
AB
=
v0 AP
=
v0 cos AC
=
v0 cos2 h
A vo 习题 6－2 图
A v0 习题 6－2 解图
6－3 图示拖车的车轮 A 与垫滚 B 的
vA
B vB C
vA = O 2r = 20 2 m/s
AB
=
vA AP
=
20 2 sin 45 1.5 cos
= 10 2 =14.1 rad/s
A v1
v2 = vO − Or
O
解得：
vO
=
v1
+ v2 2
O
=
v1 − v2 2r
B v2
习题 6－8 图
习题 6-7 图
一齿轮，其半径为
A v1
O
O
vO
B v2
习题 6－8 解图
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度 = 20rad/s，试求当曲柄 OA 在两铅垂位置和两水平位置时
配汽机构中气阀推杆 DE 的速度。已知 OA = 400mm，AC = CB = 200 37 mm。
O
vC E
A
C
vD
=
v DE D
(a)
B
=
0°时，图（b）， vC
=
1 2
vA
（↑）
此时 CD 杆瞬时平移
E
vDE
= vD
= vC
=
1 2
vA
=
4 m/（↑）
同理 = 180°时，vDE = 4m/s（↓）
(b) 习题 6－9 解图
6－10 杆 AB 长为 l = 1.5 m，一端铰接在半径为 r = 0.5 m 的轮缘上，
第 6 章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动。曲柄 OA 以等角加速度 绕
轴 O 转动，当运动开始时，角速度 0 = 0，转角 0 = 0。试求动齿轮以圆心 A 为基点的平面运动方程。
解： xA = (R + r) cos
（1）
yA = (R + r) sin
（4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以 A 为基点的平面运动方程为：
x
A
=
(R
+ r) cos
2
t2
y
A
=
(R
+
r) sin
2
t2
A
=
1 2
R + r t 2 r
6－2 杆 AB 斜靠于高为 h 的台阶角 C 处，一端 A 以匀速 v0 沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅
垂线的夹角 表示杆的角速度。
设杆 BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆 BC 的
角速度和点 C 的速度。
解：杆 BC 的瞬 心在点 P，滚子 O 的瞬心在点 D
vB = BD
B
C
P
BC
vB
B
C
O
1
O
vC
习题 6-4 图
D
习题 6-4 解图
BC
=
vB BP
半径均为 r。试问当拖车以速度 v 前进时，轮 A 与垫滚 B 的角速度 A 与 B 有什么关系？设轮 A 和垫滚 B
与地面之间以及垫滚 B 与拖车之间无滑动。
解
：
A
=
vA R
=
v R
B
=
vB 2R
=
v 2R
习题 6-3 图
vB = v B A
习题 6-3 解图
vA = v
A = 2B
6－4 直径为 60 3 mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆 BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块 C 铰接。
vA
A
C
B
解：OA 定轴 习题 6－9 图
90o vC
转动；AB、CD 平面运动O，DE 平移。 vB
1．当 = 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图
vA
D
（a）表示 = 90°情形，此时 AB 瞬时平移，vC 水平，
而 vD 只能沿铅垂， D 为 CD 之瞬心
vDE = 0 同理， = 270°时，vDE = 0 2． = 180°，0°时，杆 AB 的瞬心在 B
解：如图
O
=
vA 0.9 − 0.3
=
0.8 0.6
= 1.333 rad/s
vO
= 0.9O
= 0.9 8 6
= 1.2 m/s
2
卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度 v1 和 v 2 作同方向运动，在两齿条间夹
r，求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。
解：如图，以 O 为基点：
v1 = vO + Or
=
BD BP
= 12 60 3 cos30 270sin 30
= 8 rad/s
vC = BC PC
= 8 0.27cos30 = 1.87 m/s
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
D
A
B
A
AC
O1
C
A
O
O
BB
D
O
O1
习题 6-5 图
解：图（a）中平面运动的瞬心在点 O，杆 BC 的瞬O心在点 C。 O
图（b）中平面运动的杆 BC 的瞬心在点 P，杆 AD 做瞬时平移。
BC D
vA A
A
O1 O
O
vB
BB
vC C
D
习题 6-5 解图
1
vA A
A
O
2
vD vAB AB
D
vC
BC
C
AB
D
l
2l
B
O 5
O1 B
O1
B
O1
O
O 习题 6-6 解图
(a)
(b)
1
2
P
6－6 图示的四连杆机械 OABO1 中，OA = O1B = 1 AB，曲柄 OA 的角速度 = 3rad/s。试求当示。 = 90° 2
为常数，当 t = 0 时， 0 = 0 = 0
（2）
= 1 t2 2
（3）
起始位置，P 与 P0 重合，即起始位置 AP 水 平，记 OAP = ，则 AP 从起始水平位置至图示
AP 位置转过
A = +
因动齿轮纯滚，故有
CP0
=
CP
，即
习题 6-1 图
R = r
= R ，
r
A
=
R+r r
另一端放在
水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心 O 速度的大小为 vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA 水
平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
解：轮 O 的速度瞬心
为点 C ，杆 AB 的速度瞬
心为点 P
O
=
vO r
=
20 0.5
= 40 rad/s
B
O vO A
O O vO A
A
A