理论力学 刚体平面运动速度分析
理论力学：刚体平面运动的运动学 (2)
2020/12/9
3
理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
三、平面图形上各点的加速度
y 动 系：Ax’y’
y' aBt A
动 点：刚体上的B点 牵连运动：平移
B
A
aBnA x'
相对运动：圆周运动
o
aA x
aa ae arn art
ae aA,
an r
an BA
,
at r
at BA
aBt A AB ,
vA vB u AB 0
2、求加速度： 研究AB 杆
aB
aA
aBnA
aBt A
a
t BA
aBt
aBn
上式在铅垂轴上投影： aBt A cos
aBn
u2 L
u
上式在水平轴上投影： aBt A sin aBt
AB
aBt A AB
u2
L2 cos
2020/12/9
BC
aBt BC
u2 L2
2020/12/9
vrB vrO vrBO vaB veB vrB vaB ve vrO vrBO
12
理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
A
B
an rBO
vr O
at rBO
ar
a
3、求圆盘最高点B的加速度
arB
arO
at rBO
an rBO
aaB aeB arB
aaB
A
aA
ωOA O
C
Ca
vC
aB
B
aC
ω
aB
α
vC 2R aC vC 2R 2R
平面运动刚体上各点的速度
vA
ωAB
C1
n v A OA OA 30 1.5 m/s
vB vC
ωBC
C2
点C1为杆AB的速度瞬心 vA AB 7.16rad/s AC1
vB BC1 AB 2.72 m/s vB 5.13rad/s 点C2为杆BC的速度瞬心 BC BC2
vB vBA vA
ω
A
B
取点A为动点，则点B的速度为
vB v A vBA
其中
vA
v BA AB
13
方向垂直AB。
7.2
平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知 轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
vA vO vAO vO vBO
取点A为基点，则点B速度
vB
vBA
vB v A vBA
v AB vA vB sin 45 sin(90 ) sin(45 )
l sin r sin 45
作速度图，得
vA vB sin( 45 ) 162 cm/s cos v AB 1 v A AB sin 45 0.714 rad/s l l cos
θ
vCB vB vC
再取点B为基点，则点C的速度
vC vB vCB
vBA vB
vA
ωABC
2 练习：7-3 vB rO 2 1 vCB BC ABC 2r O rO 2 2 2 vC vB vCB 2vB vCB cos 45
10 rO 2 vB sin 135 arcsin 18 26' vC 19
合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
理论力学(哈工大版)第九章：刚体的平面运动
第五章 刚体的平面运动5-1 刚体的平面运动方程一．平面运动的定义二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动．三、平面运动分解为平动和转动1.平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．平面运动方程)(1t f x A = )(2t f y A = )(3t f =ϕ2．平面运动分解为平动和转动刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．3.刚体平面运动的角速度和角加速度平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的ε ,ω都是相同的）5-2 平面图形内各点的速度一．基点法（合成法）BA A B v v v +=平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和二．速度投影法（自：就是基点法的变式） 速度投影定理：[][]AB A AB B v v =平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）1. 问题的提出2．速度瞬心的概念即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度A v 和图形角速度ω，可以确定速度瞬心的位置．（P 点）②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P 为速度瞬心．③已知某瞬间平面图形上A ,B 两点速度B A v v ,的方向，且B A v v 不平行过A , B 两点分别作速度B A v v ,的垂线,交点P 即为该瞬间的速度瞬心.④ 已知某瞬时图形上A ,B 两点速度B A v v ,大小,且AB v AB v B A ⊥⊥ ,⑤已知某瞬时图形上A ,B 两点的速度方向相同，且不与AB 连线垂直．瞬时平动注意：瞬时平动与平动不同瞬时平动构件上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。
4.2.2刚体平面运动-速度分析
刚体的平面运动-速度分析2面运动图形上速度分布规律？定理：只要 ，任一瞬时平面图形上都唯一存在一个速度等于零的点。
3、速度瞬心法≠ω证明:已知A 点的速度，任一点的速度MAA M v v v +=垂线AL 上点M 的速度大小可表示为MA A M v v v -=ω⋅-=AM v A 因此，在AL 上必存在一点P ，其速度为零。
A v v L 'SAAv MAMLP速度瞬心 某瞬时，平面图形上速度为零点。
ωAv AP =∴0=⋅-=ωAP v v A P唯一性：在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。
瞬时性：在不同瞬时，速度瞬心在平面图形上的位置不同。
注意：速度瞬心的加速度并不为零！S A AvAvMAv ML P特点：速度为零的点P在A点速度的垂线上。
5S 方向： ω⋅=BP v B P选取速度瞬心P 为基点，则平面图形上任一点B 的速度如图所示：BBv AC由此可见，只要已知在某一瞬时平面图形速度瞬心的位置和平面图形的角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
BP P B v v v +=大小： ⊥BP ，指向与ω 转向相一致。
Av Cv BPv =S P过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布就速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作转动。
—与图形绕定轴转动时的速度分布类似。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）672. 已知某瞬间平面图形上A , B 两点速度v A 、v B 的方向几种确定速度瞬心位置的方法1. 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动已知某瞬时图形上A , B 两点的速度大小相等，方向相同． 各点的加速度是否相等？此时, 图形的瞬心在无穷远处，图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为 瞬时平动.ABOBv Av MMv例题. 沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R ，轮心的速度为v o ，求轮上A 、B 、C 、D 的速度。
理论力学课件 刚体平面运动的加速度分析
aBnA
=
AB
⋅
ω
2 AB
= 4m
s2
加速度矢量式投影到η轴上得
aB cos 45o = aBnA
aB = 5.66 m s2
αAB
an BA
at
y BA
aB aA B
加速度矢量式投影到y轴上得
0
= −a
aBt A
A cos
= 16
45° +
m s2
aBnA
cos
45°
+ aBt A
α AB
sin 45°
•结论：平面图 形角速度不为 零，任一瞬时， 速度瞬心必存在 且唯一。
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度瞬心的特点
1、瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心。 2、唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心。 速度瞬心不是一个固定点。理解成“角色”
思考题：杆做什么运动？
vB
ω
vA
定轴转动
车轮在地面上纯滚动
6-2 刚体平面运动的速度分析
6-2 刚体平面运动的速度分析
平移
vvA = vvB
ωAB = 0
avA = avB α AB = 0
瞬时平移
vvA = vvB avA ≠ avB
ωAB = 0 α AB ≠ 0
vA A
ω
O
vB B
牢记！
6-2 刚体平面运动的速度分析
2、确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向，
试确定速度瞬心的位置。
例6-5 图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则
理论力学课后知识题目解析第6章刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωhv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωBR vR v B B 22==ω B A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
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vA vB vBA B vA
vC vCA
vA
C
v v v v C = v A + v CA
O
A II ωA D
ωO
课后练习
I
6-2 刚体平面运动的速度分析
2、速度投影法
v v v v B = v A + v BA
投影于AB连线
vB vBA
B
vA
[vB ]AB = [v A ]AB
2、 已知平面图形上一点A的速度 vA
和图形角速度 ω
v 速度瞬心P：过点A作 v A 的垂线，
并取 PA =
vA
A
vA
vA
P ω
ω
。
S
ω
6-2 刚体平面运动的速度分析
3、平面运动刚体在固定平面上做纯滚动时，其接触点为速度瞬 心。
v
P
注意：只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点才是 速度瞬心.
6-2 刚体平面运动的速度分析
定轴转动
6-2 刚体平面运动的速度分析
瞬时平移的说明
vA
O
A
ω
vA
A
M
ω
B 该瞬时，连杆AB的速度瞬心在无穷远处 选A为基点，则连杆AB上任一点M的速度 该瞬时AB上各点的速度相等。
vB
O
vM vB
B
ω AB = 0
vM = v A
各点加速度是否相等?
6-2 刚体平面运动的速度分析
x A = f1 (t ) y A = f 2 (t ) ϕ = f 3 (t )
刚体平面运动的角速度和角加速度为
& ω =ϕ
& =ϕ && α =ω
刚体平面运动的角速度和角加速度为代数量且唯一
6-2 刚体平面运动的速度分析
1、基点法 运动分解：B点的速度=随基点Ａ的平动 速度+绕基点Ａ的转动速度
平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。
ω
A
vA
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度投影法说明
[vB ]AB = [v A ]AB
1、速度投影定理不能求平 面图形的角速度。 2、反映了刚体不变形的性 质,适用于任何形式的刚体 运动。
vB vBA
B
vA
ω
A
vA
6-2 刚体平面运动的速度分析
vA
O A
ω
vB
B
结论：平面运动刚体作 瞬时平移时，刚体上各 点的速度皆相同，刚体 角速度为零。但各点的 加速度不同，刚体角加 速度不为零。
牢记！
现在，你能解释 这种现象了吗？
P
离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而 离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。
6-2 刚体平面运动的速度分析
例6-4 椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运 动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的 角速度。和杆AB中点D的速度。 （速度瞬心法求解） y
v v v A = vB
vA
O A
ω
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例2 两垂线共线。则速度瞬心在两点速度矢端连线与AB延长 线的交点处。
A B P
vA vB
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例2 两垂线共线。则速度瞬心在两点速度矢端连线与AB延长 线的交点处。
A P
vA
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
B C vA vA D vDA A II ωA
v A = (r1 + r2 )ωO
以A为基点，两轮接触点D的速度。
v v v v D = v A + v DA
ωO
O I
vD = 0
vDA (r1 + r2 )ωO ωA = = r2 r2
以A为基点，点B的速度。
v v v v B = v A + v BA
刚体ED应用速度投影定理
v E cos 30 o = v D
速度投影法只能在一个刚体上应用，不能求刚体角速度
如何解释 这种现象？
离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而 离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。
6-2 刚体平面运动的速度分析
3、速度瞬心法 1）寻找平面图形S上速度为零的点
vPA
S
N P
vB vBA
ω
B
v v v v B = v A + v BA
vAΒιβλιοθήκη v v BAv v A 基点速度
Ｂ绕Ａ转动的速度 A
vA
v BA = AB ⋅ ω
平面图形上任意一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转 动的速度的矢量和。
6-2 刚体平面运动的速度分析
例6-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运 动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的 角速度。 y
vA vD
D A
ω
P P
vB
ω
B
速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作 瞬时转动。与定轴转动速度分布类似。
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度瞬心位置的确定
1、已知任意两点 的速度方向，则两 速度垂线的交点为 速度瞬心P
P
ωAB
vA
ω
A
O
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例1：两垂线平行。则速度瞬心P在无穷远处。这种情况称 瞬时平移。ω=0
B
O
ϕ
vA A
x
6-2 刚体平面运动的速度分析
分析： 1、AB做平面运动。 2、用基点法求解，基点A y vB vA B vBA
作用线 大小
v v v v B = v A + v BA
√
？
√
√
？ ωl
vA
ω
O
ϕ
vA A
一个矢量方程在平面情况 下，可解2个未知。 x
6-2 刚体平面运动的速度分析
y vB vA B vBA 解：基点A
例6-3 图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度ω = 2 rad·s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平 面滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在 一水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。
D
30o
E
B
60o
A C O
ω
6-2 刚体平面运动的速度分析
B
ω
O
ϕ
vA A
x
6-2 刚体平面运动的速度分析
y vB B vD D O vA ϕ A x
解：
ω
AB的速度瞬心为P
P
vA vA = ω= AP l sin ϕ
v B = BP ⋅ ω = v A cot ϕ
l vA vA vD = DP ⋅ ω = ⋅ = 2 l sin ϕ 2 sin ϕ
速度瞬心的特点
1、瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心，速度瞬心具有加 速度。如果加速度为零，变为定轴转动。 2、唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心，速度瞬心不一定在平 面图形内。一个刚体只有一个速度瞬心。
速度瞬心不是一 个固定点。理解 成“角色”
6-2 刚体平面运动的速度分析
思考题： 1、下图所示速度瞬心是否正确？ 2、杆做什么运动？
v v v vP = v A + vPA
可找到一点P，满足
vA
A
v PA = v A
vP = 0
（P为速度瞬心）
ω
vA
在某一瞬时，平面图形内速度等于0的点，称为速 度瞬心。
6-2 刚体平面运动的速度分析
2）若以Ｐ为基点，任一点速度
v v v v B = v P + v BP
v B = v BP = BP ⋅ ω
v v v v B = v A + v BA
ω
v B = v A cot ϕ
x
O
ϕ
vA A
v BA
vA = sin ϕ
v BA vA = ω = l l sin ϕ
6-2 刚体平面运动的速度分析
刚体平面运动的速度分析的解题步骤（基点法）
1、选基点（一般选择速度已知的点） 2、作速度平行四边形。本题B点速度必须在平行四 边形的对角线。速度方向不能假设。 3、解速度三角形。求解的速度和角速度需要图示。 用vBA的方向判断角速度的转向。 速度矢量式含有6个要素,必须知道4个要素,方能求解
解 vD
D
30o
v A = OA ⋅ ω = 0.2m/s
v B cos 30 o = v A
刚体AB应用速度投影定理
E
B
60o
vB
C O
A
vA
vE
vB =
ω
vA = 0 . 231 m/s o cos 30 v v D = B ⋅ CD = 0 .693 m/s CB
v E = 0 .8 m / s
6-2 刚体平面运动的速度分析
思考：本题可以以B为基点吗？ B
ω
O
vB
v v v v A = v B + v AB
ϕ
vA vAB
例6-2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II 沿轮 I 只滚而不滑动，半径为 r2 。系杆 OA 角速度为 ωO 。求轮 II 的 角速度ωA及其上B，C两点的速度。 解 杆OA定轴