理论力学刚体平面运动加速度分析
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大学理论力学 平面图形上各点的加速度分析
n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB
式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2
aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB
式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2
aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
理论力学10刚体的平面运动
vB = v A + vBA
a a ？ a
VB VBA
大小 ？ 方向 a
B VA
v B = v A ctg φ且 v BA
vA = sin φ
v BA = AB ⋅ ω AB v BA vA ∴ω = = l l sin φ
φ VA
ω A x
14
[例2] 图示机构 端以速度 A沿X轴负向运动，AB=l； 例 图示机构A端以速度 端以速度V 轴负向运动， 轴负向运动 求B端的速度？ 端的速度？ 端的速度 解：1）分析AB；2）分析A,B两点的速度 在AB直线上的投影相等，可以得到： y B
行移动 刚体简单运动 平行移动 定轴转动 定轴转动 刚体复杂运动 刚体的平面运动
平动 合成？ 合成？ 转动
刚体平面运动的分解 本章分析 平面运动刚体的角速度 平面运动刚体各点的速度 平面运动刚体各点的速度
1
第十章 刚体的平面运动
§10–1 刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度· 速度投影定理 速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念
20
5．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度ω， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP = vA , AP⊥v A ,且Ｐ在v A 顺ω转向绕A点 ω
转90º的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
21
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,v B 的方向，且 v A 不平行 v B 。 过A , B两点分别作速度 v A ,v B的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心。 ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , v B 大小,且 v A ⊥AB, vB ⊥AB v A − vB (a) v A 与vB 同向, ω = AB v A + vB (b) v A 与vB 反向, ω = AB 注意：交点可能在刚体的外部） （注意：交点转动· 刚体的平面运动方程
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学第4章 刚体的平面运动
的位置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。
2021/7/17
.
13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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.
14
3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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55
2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2021/7/17
.
18
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.
19
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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独立的参变量。
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13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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理论力学课后知识题目解析第6章刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωhv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωBR vR v B B 22==ω B A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
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解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω
3
连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则
ωBC
vC =
= vB = BP2
CP2 ⋅ωBC
3rω
3l
=3 3
rω
vA
ωA
O 30º
vA
vD D
A
vB
Pω
B
a
t A
aCt aCn
D
a
n A
A aBt
Q
B
α aBn
速度分布
加速度分布
加速度瞬心
• 加速度瞬心不好找，一般不用加速度瞬心解题 • 只有刚体定轴转动速度瞬心和加速度瞬心重
合。 • 一般瞬时平动的物体，加速度瞬心好找 • 圆轮匀速滚动，圆心为加速度瞬心。
几个问题的讨论
１、有速度投影定理，有没有加速度投影定理？
avB = avA + avBnA + avBt A
aBt A
B
aA
只有角速度为零，即瞬时平动，有
[av
A
] AB
=
[avB
] AB
αω A
aBnA
aA
几个问题的讨论
２、有没有加速度瞬心？加速度瞬心和速度瞬心重合吗？
•瞬时加速度为0的点称为加速度瞬心 •加速度瞬心存在
100 100
P
ωBC
vC
C
45º
B
vB
ω
A
ω1
45º D
6-3 刚体平面运动的加速度分析
加速度分析：B为基点
aCt B
avCn + avCt = avB + avCnB + avCt B aCnB
作用线： √ √ √ √ √ B
大小： √ ？ √ √
？ aB
C
aCt
aCn
aB
BC投影得
A
aCt = −aB cos 45° − aCnB
ω AB
=
vA AP
=
2rad/s
vB = BP ⋅ωAB = 2.828m/s
vA
ω
A
O
45º
45º
vB
B
AB作av平B 面=运av动A ，+以avABn点A 为+基avB点t A，则B点的加速η 度为
其中
aA
=
a
n A
= OA⋅ω2
=
20 m
s2
aA A
O 45º
aBnA
=
AB
⋅
ω
2 AB
= 4m
上式对时间取导数
&x&A = −l sinψψ&& − l cosψψ& 2
&y&B = l cosψψ&& − l sinψψ& 2
u &x&A = 0
x
aB
=
&y&B
=
−
8u 2 3 3l
α
= ψ&&
=
−
4u 2 3 3l 2
解析法: 1、写出机构任意位置坐标函数或约束方程。 ２、角度一般是有向角，由定线到任意位置。 ３、注意求导时的正负 4、经常利用做垂线、余弦定理、正弦定理建立约束 方程。注意约束方程中的常量和变量。 5、注意坐标原点建立在固定位置。
思考：1、刚体平面运动加速度分析是不 是也有三种方法？
2、速度瞬心的加速度是否为零？ 加速度瞬心是否存在？
6-3 刚体平面运动的加速度分析
基点法
运动分解：B点的加速度= 随基点A的平动加速度 ＋ 绕基点A的转动的加速度
avB = avA + avBnA + avBt A
a
t BA
B
aA
αω A
a
n BA
aA
aBnA = BA ⋅ω 2
aBt A = BA ⋅α
例6-7图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长
1m，OA以匀角速度ω =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的
速度、加速度和AB杆的角加速度。
P
解：AB作平面运动，瞬心在P点，则
ωAB
vA = OA ⋅ω = 2 m s
度。
y
解：建立坐标系Oxy
B
xA = l cosψ
yB = l sinψ
上式对时间取导数
ψ
u x&A = −l sinψψ&
y&B = l cosψψ&
O
A
x x& A = u
ω
= ψ&
=
−
u l sin
ψ
vB = y&B = −u cotψ
=−
3u 3
y
B
ψ
O
A
x&A = −l sinψψ&
y&B = l cosψψ&
rad
s2
例6-8车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为
vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图。试求轮的角速度和角加 速度轮缘与地面接触点C的加速度。
y
解： C点为速度瞬心
ω = vO
r
αω
O aO
vO x
对时间取导
α = ω& = 1 dvO = aO
C
r dt r
6-3 刚体平面运动的加速度分析
小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vB
] AB
=
[v
A
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。
速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。 速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
6-3 刚体平面运动的加速度分析
ωBC
=
vB BP2
=
rω
3r
=ω
3
vC = CP2 ⋅ωBC =
3 rω
3
P1
vA
ωAB
B
ωA Oα
vB
β O1
C
vC
ωBC
P2
例6-6曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度ω转动，AB = BC =
BD = l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂 线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
作业：6-6；6-7；6-8；6-13
例6-5 图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则
vA = OA ⋅ω = rω
ω AB
=
vA AP1
=
rω
r
=ω
vB = BP1 ⋅ωAB = rω
O点为基点
avC = avO + avCnO + avCt O
aCt O = r ⋅α = aO
aCnO
=
r
⋅ω2
=
vO2 r
y
αω
O aO
vO x
aCt O
aCnO aO
C
aC
=
aCnO
=
vO2 r
速度瞬心具有加速度
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影 法），求平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是 曲线.画加速度分析图。未知加速度方向可以假设。 法向加速度方向可确定。 3、利用投影式求未知加速度。 a 加速度矢量式能求解两个未知数 b 投影时应按公式的原始形式进行投影,与坐标轴的 指向一致为正,相反为负。 4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
α1
45º D
aB = ω 2 ⋅ AB = 100mm/s2 aCnB = BC ⋅ωBC2 = 25 2 mm/s2
aCt = −106 mm/s2
α1
=
aCt CD
=
- 0.375rad/s2
解析法在刚体平面运动中的应用
B
ψ
u
O
A
例6-10 图中杆AB长 l，滑 倒时B 端靠着铅垂墙壁。已 知A点以等速度u沿水平轴线 运动，试求60º时杆端B点的 速度和加速度及杆的角加速
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
例6-7 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。
解：速度瞬心A1
vA1 = 0
vo = rω = v
ω
A3
vA3
A4
vA4 vO A2
O
vA2
vA2 = vA4 = 2rω = 2v
A1
vA3 = 2rω = 2v
s2
加速度矢量式投影到η轴上得
aB cos 45o = aBnA
aB = 5.66 m s2
αAB
an BA
at
y BA
aB aA B