3刚体的平面运动例题 PPT
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刚体的平面运动
PAG 13
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
刚体的进动与平面平行运动课件
置。
03
刚体的进动和平行运动 的关系
进动与平面平行运动的联系
进动和平行运动都是刚体在旋 转运动中的表现形式。
进动和平行运动都涉及到刚体 的旋转轴和旋转角度的变化。
进动和平行运动在某些情况下 可以相互转化，例如在陀螺的 旋转运动中。
进动与平面平行运动的区别
进动是刚体绕自身旋转轴的旋转运动，而平面平行运动是刚体绕一个固定点的旋转 运动。
为$x - x_0$和$y - y_0$。
平面平行运动的速度计算
总结词
速度是描述刚体在平面平行运动中位置 变化的快慢程度，可以通过位移量和时 间的变化计算得出。
VS
详细描述
在平面平行运动中，速度可以通过位移量 和时间的变化计算得出。假设刚体在$t$ 时刻的位移量为$(x, y)$，经过的时间为 $Delta t$，则速度$v_x$和$v_y$分别为 $frac{Delta x}{Delta t}$和$frac{Delta y}{Delta t}$。
04
刚体进动的计算方法
进动角速度的计算
总结词
进动角速度是描述刚体绕自身轴线旋 转的角速度。
详细描述
进动角速度的计算公式为ω=IωIomega = IomegaIω=Iω，其中IWIW是刚体的 转动惯量，ωomegaω是刚体的旋转角 速度。通过已知的转动惯量和旋转角速 度，可以计算出进动角速度。
进动周期的计算
刚体进动的条件
刚体的质量分布相对 于转轴是不均匀的， 即存在质量偏心。
刚体的自转轴线在惯 性空间中是进动的旋 转轴。
刚体受到一个与自转 轴线不重合的外力矩 作用。
刚体进动的特点
进动的角速度矢量与外力矩矢量 成正比，即M=k×w，其中M为 外力矩，w为角速度，k为转动
03
刚体的进动和平行运动 的关系
进动与平面平行运动的联系
进动和平行运动都是刚体在旋 转运动中的表现形式。
进动和平行运动都涉及到刚体 的旋转轴和旋转角度的变化。
进动和平行运动在某些情况下 可以相互转化，例如在陀螺的 旋转运动中。
进动与平面平行运动的区别
进动是刚体绕自身旋转轴的旋转运动，而平面平行运动是刚体绕一个固定点的旋转 运动。
为$x - x_0$和$y - y_0$。
平面平行运动的速度计算
总结词
速度是描述刚体在平面平行运动中位置 变化的快慢程度，可以通过位移量和时 间的变化计算得出。
VS
详细描述
在平面平行运动中，速度可以通过位移量 和时间的变化计算得出。假设刚体在$t$ 时刻的位移量为$(x, y)$，经过的时间为 $Delta t$，则速度$v_x$和$v_y$分别为 $frac{Delta x}{Delta t}$和$frac{Delta y}{Delta t}$。
04
刚体进动的计算方法
进动角速度的计算
总结词
进动角速度是描述刚体绕自身轴线旋 转的角速度。
详细描述
进动角速度的计算公式为ω=IωIomega = IomegaIω=Iω，其中IWIW是刚体的 转动惯量，ωomegaω是刚体的旋转角 速度。通过已知的转动惯量和旋转角速 度，可以计算出进动角速度。
进动周期的计算
刚体进动的条件
刚体的质量分布相对 于转轴是不均匀的， 即存在质量偏心。
刚体的自转轴线在惯 性空间中是进动的旋 转轴。
刚体受到一个与自转 轴线不重合的外力矩 作用。
刚体进动的特点
进动的角速度矢量与外力矩矢量 成正比，即M=k×w，其中M为 外力矩，w为角速度，k为转动
刚体基本运动.ppt
1
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
刚体平面运动
第十章刚体的平面运动一、内容提要1、基本概念（1）刚体的平面运动的定义刚体运动时，若其上任一点至某个固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。
（2）刚体的平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形在自身平面内的运动。
（3）刚体平面运动方程为x o'=f1(t) , y o'=f2(t) , ϕ=f3(t) ,（4）刚体平面运动的分解平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
2、平面图形上各点的速度（1）基点法（速度合成法）V M= V O+V MO（2）速度投影法（V M）MO=（V O）MO（3）速度瞬心法V M=MC∙ω（C点为速度瞬心）3、平面图形上各点的加速度加速度分析主要用基点法（加速度合成法）a M= a O+aτMO+a n MOaτMO =MO∙ε方向垂直于MO，并与ε的转向一致。
a n MO =MO∙ω2 方向由点M指向基点O。
二、基本要求1、熟练掌握平面图形上各点的速度的求解。
2、熟练掌握平面图形上各点的加速度的求解。
三、典型例题例如图所示平面机构，由四杆依次铰接而成。
已知AB=BC=2R，C D=DE=R，AB杆和DE杆分别以匀角速度ω1与ω2绕A、E轴转动。
在图示瞬时，AB与CD铅直，BC与DE水平。
4142 试求该瞬时BC 杆转动的角速度和C 点加速度的大小。
解 AB 杆和DE 杆作定轴转动，BC 杆CD 杆均作平面运动。
（1）求BC 杆的角速度ωBC 因为V B =2R ω1 ， V D =R ω2 分别以B 点和D 点为基点，分析C 点速度，有V C = V B + V CB （1）V C = V D + V CD （2） 所以 V B + V CB = V D + V CD （3） 沿BC 方向投影式（3）得V B = V CD则CD 杆的角速度ωCD = V CD /CD=V B /R=2ω1 （逆时针） 沿DC 方向投影式（3）得V CB = V D则BC 杆的角速度ωBC = V CB /BC=V D /2R=0.5ω2 （逆时针）（2）求C 点的加速度a C 因为a B =a B n =2R ω12 ，a D =a D n =R ω22分别以B 点和D 点为基点，分析C 点加速度，有 a C = a B + a CB τ + a CB n （4）a C =a D +a CD τ+a CD n （5）所以 a B + a CB τ + a CB n =a D +a CD τ+a CD n （6） 沿CD 方向投影式（6）得a B n - a CB τ = a CD na CB τ=a B n - a CD n =2R ω12-R(2ω1)2=-2R ω12又将式（4）分别沿x 、y 轴投影式得a Cx =-a CD n =-2R ωBC 2= -0.5R ω22a Cy =-a B n + a CB τ = -2R ω12-2R ω12= - 4R ω12故C 点加速度大小a C =22cy cx a a +=4241642ωω+R43。
《工程力学》教学课件 第8章 刚体的平面运动
行四边形，并由图中几何关系得
因此，B 端的速度为
vB
vA
tan
tan vA ， sin φ vA
vB
v BA
设杆 AB 的角速度为 ，由于 vBA AB l ，则
vBA
vA sin φ
l
因此，杆 AB 的角速度为 ω vA l sin φ
03 用瞬心法求平面图形内各点 的速度
3 用瞬心法求平面图形内各点的速度
其方向垂直于 OA； vBA 垂直于杆 AB，大小未知； vB 沿水平方向，大小未知。由此可以得出速度平行
四边形，并由图中几何关系得 其方向水平向左。
vB
vA cos15
162.54
(cm/s)
2 用基点法求平面图形内各点的速度
例 8-2 如图 8-8 所示的机构中，A 端以速度 vA 沿 x 轴负方向运动， AB l 。试求：当杆 AB 与 x 轴负方向的夹角为 φ 时，B 端的速度以及杆 AB 的 角速度。
动可看作是先随基点 A 平动到位置 O2 A1 ，然后再绕点 A1
顺时针转过 2 到位置 O1A1 。
图8-4
1.2 刚体平面运动的分解
实际上平动和转动是同时进行的。当 t 0 时，上述分析就趋近于真实情况。因此，平面图
形的运动，即刚体的平面运动，可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
根据上述分析可知，在平面图形上选取不同的基点，平动的位移 OO1 或 AA1 是不同的。因而， 平动的速度和加速度也是不同的，即平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关。
此时车轮的角速度为 ω vO v r 3a
于是可求得点 A，B，D，E 的速度大小为
v 7v vA AC ω (R r) ω (4a 3a) 3a 3
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3刚体的平面运动例题
例1
已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄 OA以匀角速 转动。 求：当 = 45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
解一：基点法解 （1）以B点为动点，
动系固结于A点 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动， VA=ω*l，Va=VB，Ve=VA，Vr=VBA 速度矢量图如图
例3
解：（1）取整体为研究对象 （2）运动分析 AB 杆作刚体平面运动 圆柱也作刚体平面运动 C点为圆柱的瞬心 E点为AB杆的瞬心 速度及角速度如图所示。
例3
（3）速度瞬心法解
VA AB VD O
AE DE DC ΔADC为等边三角形
DCDE 3R 30.50.866m AE 3DC 30.8661.5m
ω A
（3）应用瞬心法解
C
设轮的角速度为ω
由V0 ＝Rω 得到:
B
O
D
vO
V0 ,
R
VA 0
ω A
VB AB 2V0
VC AC2V0 VD AD 2V0
例3
如图，杆AB靠在一半径为0.5m的圆柱上， 其一端A以匀速VA=6m/s沿地面向右运动。 杆与圆柱间有足够的摩擦力带动圆柱向右滚 动，设圆柱与杆 及地面间均无滑动，求 图示位置时杆及圆柱的 角速度。
（3）应用速度合成定理
VBVAVBA
VB
VA
cos
l
cos45
2l () VBA VA tan l tan45 l
AB
VBA l
AB l
（
）
解二：速度投影法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动 VA=ω*l 速度矢量图如图。
（3）应用速度投影定理
vAvBcos
解得：
vBcvA osclo 4s52l( )
• 速度投影法不能直接求出ωAB
解三：速度瞬心法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动； 滑块B做直线运动； AB杆做平面运动， 其速度瞬心C如图所示。
（3）应用瞬心法解
vA AB vB
vA l AC l BC 2l
AB
vA AC
l
l
vB BC AB 2l ( )
例1
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上滚而 不滑。轮心速度为V0 。求：轮缘上A、B、C、 D四点的速度。
C
B
O
D
vO
A
解：
（1）以轮为研究对象
C
（2）做运动分析 圆轮做平面运动
B
O
D
vO
轮与地面接触点A为 轮的速度瞬心。
例1
已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄 OA以匀角速 转动。 求：当 = 45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
解一：基点法解 （1）以B点为动点，
动系固结于A点 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动， VA=ω*l，Va=VB，Ve=VA，Vr=VBA 速度矢量图如图
例3
解：（1）取整体为研究对象 （2）运动分析 AB 杆作刚体平面运动 圆柱也作刚体平面运动 C点为圆柱的瞬心 E点为AB杆的瞬心 速度及角速度如图所示。
例3
（3）速度瞬心法解
VA AB VD O
AE DE DC ΔADC为等边三角形
DCDE 3R 30.50.866m AE 3DC 30.8661.5m
ω A
（3）应用瞬心法解
C
设轮的角速度为ω
由V0 ＝Rω 得到:
B
O
D
vO
V0 ,
R
VA 0
ω A
VB AB 2V0
VC AC2V0 VD AD 2V0
例3
如图，杆AB靠在一半径为0.5m的圆柱上， 其一端A以匀速VA=6m/s沿地面向右运动。 杆与圆柱间有足够的摩擦力带动圆柱向右滚 动，设圆柱与杆 及地面间均无滑动，求 图示位置时杆及圆柱的 角速度。
（3）应用速度合成定理
VBVAVBA
VB
VA
cos
l
cos45
2l () VBA VA tan l tan45 l
AB
VBA l
AB l
（
）
解二：速度投影法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动 VA=ω*l 速度矢量图如图。
（3）应用速度投影定理
vAvBcos
解得：
vBcvA osclo 4s52l( )
• 速度投影法不能直接求出ωAB
解三：速度瞬心法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动； 滑块B做直线运动； AB杆做平面运动， 其速度瞬心C如图所示。
（3）应用瞬心法解
vA AB vB
vA l AC l BC 2l
AB
vA AC
l
l
vB BC AB 2l ( )
例1
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上滚而 不滑。轮心速度为V0 。求：轮缘上A、B、C、 D四点的速度。
C
B
O
D
vO
A
解：
（1）以轮为研究对象
C
（2）做运动分析 圆轮做平面运动
B
O
D
vO
轮与地面接触点A为 轮的速度瞬心。