刚体动力学解法例题解
刚体动力学瞬时零点例题
刚体动力学瞬时零点例题一、刚体动力学的瞬时零点是什么？说到刚体动力学，咱们得从头开始聊。
大伙儿可能有些听不懂或者有些模糊，别急，咱慢慢来。
刚体呢，顾名思义，就是不容易变形的物体。
举个例子，想象一块铁板，它无论怎么用力扭，形状都不容易变。
你可以把它看成是“铁板一块”，可刚体的世界里，什么都可能发生。
瞬时零点这个东西，听起来有点深奥对吧？其实它说的就是——物体的某一点在某一瞬间的速度为零。
你瞧，话说得简单，但理解起来，可能有点像把鸡蛋从锅里捞出来还不摔碎。
比如说，一个飞盘飞起来了，它的速度非常快。
但飞盘的中心点呢，可能就在某一时刻，速度会突然变成零。
像是你投球的时候，球刚好在空中停了一下，不动了，就有点那意思。
那停下的地方，就是瞬时零点！简而言之，瞬时零点就是物体在瞬间不动的点。
二、瞬时零点的实际例子咱们生活中，其实有很多瞬时零点的例子。
比如说，摩天轮上最顶端的位置，你坐上去，车厢不动的那一刹那，那时摩天轮的速度为零，就是瞬时零点。
再比如说，抛一个球，球的上升过程中，它有一个最高点，那一瞬间球的速度也是零。
就像你飞翔在空中，猛的一停住，完全没有动静，这就是瞬时零点的存在！好，咱继续聊。
刚才讲的例子，都是想让大家更形象的理解这个瞬时零点。
咱不妨想象一下，一辆汽车在公路上飞驰，忽然你踩刹车停下来。
车轮转速变慢，直到停下，但实际上车的某一个部位，比如车的某一个小点，瞬间就不动了，那就是瞬时零点。
你看，很多事情都发生在你完全没注意到的瞬间，所有的速度，都是在一个“瞬间”里发生的。
这种感觉是不是挺神奇的？三、如何求瞬时零点？好，既然讲到了这些例子，咱们就得提一下，怎么计算瞬时零点呢？这就进入了刚体动力学的难点了。
其实啊，计算瞬时零点并不复杂，最常见的方法就是通过方程来推导。
比如你知道了物体的运动方程，通过求导，你就能找到物体的速度公式。
然后，找到速度为零的那个瞬间，就能得出瞬时零点的位置了。
简单来说，就是你先得弄清楚物体的位置，速度等关系，然后通过数学公式“逆推”出速度为零的时刻和点。
§7.5刚体平面运动的动力学
mg
2
aC
F
由转动定理：
F 0 A Io mL
1 3
A
解得：
0A 2 3 L
7.4.2 已知：质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆 可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。 一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射入并嵌入杆 的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ。
Fi 0,
i
M
i
iz
0
R l , F f 0, 静摩擦力向后; 2 R l , F f 0, 静摩擦力向前; 2 R l , F f 0. 2
并且只有满足 mg Ff 时才能保持纯滚动。
7.3.6 已知：匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力 作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力 之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长 为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸 N 面向外, 杆受力及运动情况如图示。 o x 由质心运动定理：
F Ff mac
F
再由圆柱对质心的转动定理
Fl Ff R Ic
l
c a c
Ff
又因纯滚动 ac R 以及 I c 1 mR 2
2
例3
解得
2F ( R l ) 3mR 2
ac R
2F ( R l ) 3mR R 2l Ff F 3R
可见，若
1 2
3 7
gl aCn
2 vC l 2
l 2 6g 2 7
7.5.2
N n 4mg 4maCn
N t 4maCt
理论力学作业-第五章 刚体动力学的基本概念
W
W W
F W
WW
F W
W W
W
W
W W
F
F
F
F
F
F
F
F W
W FF
FF
FF
FF
题5-9图
F
2
题5-9图题5ຫໍສະໝຸດ 9图题5-9图W W
F W
F
F W
F
5-5 画出下列各图中指定物体或物系的受力图。未画重力的构件的重量不计，所 有接触处均为光滑接触，系统处于平衡。
F F
梁AC、CB及整体
物块C、D F
W
第五章 刚体动力学的基本概念
班级
学号
姓名
5-1 如图所示，等边直角三角锥，边 0A OB OC a ，在边 BC 中点 D 受沿 AD 方向、大小为 F 的力作用，求力 F 在 x，y，z 轴上的投影。
5-2 如图所示，在边长为 a 的正方形顶角 A 和 B 处，分别作用力 F1 和 F2 ，求此 两力在 x，y，z 轴上的投影和对 x，y，z 三轴、OA 轴之矩。
梁AB及杆CB
右拱及整体
F
W W
左、右拱及整体 梁AB（连同滑轮）、 梁AB（不带滑轮）、整体
W
W W
球A、B
题5-10图
横梁AB、立柱AC及整体
折杆AC及整体
3
5-6 画出下列各复杂物系中指定物体的受力图. 未画重力的构件的重量不计，所有接触处均 为光滑接触
4
1
5-3 如图所示，水平圆盘的半径为 r ，外缘 C 处作用有已知力 F，且力 F 与 C 处 圆盘切线同位于铅直平面内，它们之间的夹角为 60 ，其他尺寸如图所示。求力 F 对 x、y、z 轴之矩。
刚体运动的动力学方程
2
推广: 若有任一轴与过质心的轴 平行且相距d ，刚体对其转动惯 量为: J J C md 2 , 称为平行轴 定理。
d
c
第三节 刚体简单运动动力学方程的应用
主要研究刚体定轴转动动力学方程的应用
刚体定轴转动的角速度和刚体上点的加速度
二、刚体定轴转动的动力学方程
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体 上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
J的各个质点的质量与它到转轴距离平方的乘积的总和
三、转动惯量
1. 定义
m1
r1
r2
m2
J m 2
均质物体的转动惯量
对于形状简单的均质物体，转动惯量的计算公式 可从有关册子查出。表12-1
细直杆 薄圆板 矩形六面体 薄壁空心球 圆柱
四. 平行轴定理
前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，JA 表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L /2，有：
定轴转动刚体的转动定律的应用
例１ 一个质量为 M 半径为R 的定滑轮（当 作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固 定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体 而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 运动的加速 度a和此时滑轮的角加速度 。( )
1 J＝ M R 2 2
N
M g
T1
J
解： 1 2 对 m : mg T1 ma 对M：M T1R J J＝ MR 1 2 2 对 M ：M＝TR ＝ J J ＝ MR 对 m : mg T ma a R 1 2 2 对 m :M mg a R R T ma ＝ TR＝ J J 2 解方程得：
第二节 刚体定轴转动的动力学方程
F//
1. 力矩
F
力F 对z 轴的力矩 力F 在垂直于轴的平面内
M z Fd F r sin Fτr
力不在垂直于轴的平面内
dr
θ
F
P Fn
FF
M z Fd Frsin Fτr
若力 F F 也作用在P点上．
则力矩大小相等，效果不同．
力对定轴 力矩的矢量形式 M Z r F
GC F’T2 FT2
求 两物体的线加速度和水平、竖直两段绳索的张力
mB B
解 以mA ， mB ， m C为研究对象, 受力分析
物体 mA： FT1 mAaA
物体 mB ：mB g FT 2 mBaB
滑轮
mC
：FT2R
FT1R
J
1 2
mC R2
aA aB a
FT1 FT1 FT 2 FT2
J dJ R 1(r2 dx) r2 02
R R2 x2 2 dx 2 mR2
2 R
5
x
r
dx x o
R
dJ 1 dm r2 2
转动定律的应用举例
基本方法和步骤
分析力，确 定外力矩
列出转动定律和牛 顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
a R
GB
a mBg
mA
mB
1 2
mC
FT1
mA
mAmB g
mB
1 2
mC
FT
2
mA
mA
1 2
mC
mB
mB g
大学物理-刚体力学习题解答
1大学物理-刚体力学习题解答一、选择题1、 B,r v⨯=ω 2、 C, 3 、B, 4 、C, 5、 B, 平轴的力矩和为零，θθsin 2cos lmgNl =，所以2)tan (θmg N =。
6 、B, 7、 A, 32202mgR rdr R mrgrgdm M Rf μππμμ===⎰⎰ 8、 B ，在碰撞过程中，小球和摆对O 轴的角动量守恒，所以有1011sin 100mlv l v m=θ，220v v = 二、填空题1．t 108-==θω ，10-==θβ ，所以s rad s t 62.0==ω；22.010s rad s t -==β； s m R v m R s t 35.0,2.0====ω；()25.0,2.05s m R a m R s t -====βτ；()225.0,2.018s m R a m R s t n ====ω 2s m 18-⋅。
2．刚体对转轴转动惯性大小的量度；2I r dm =⎰；质量、质量分布、转轴的位置。
3．mLv 。
4．()()k t mgv j gt v i v j gt t v i t v v r L αααααcos 21sin cos 21sin cos 200020000-=-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⨯=；k t mgv dt L d αcos 00-=；k t mgv dtL d Mαcos 00-==。
5．角动量；04ω 。
6．同时到达。
7．32g。
8．20012I ω。
三、计算题，1、设1m 向下运动，2m 向上运动，对两物体应用牛顿定律列方程有：1111m g T m a -=，2222T m g m a -=，对鼓轮应用转动定律有：11220T r T r -= ，（因为鼓轮的质量忽略不计） 设鼓轮的角加速度为β，则有：11a r β= ，22a r β= 。
联立求解以上各式得：21122221122m r m r g m r m r β-=+ ；若1m 向上运动，2m 向下运动，则 2211221122m r m r g m r m r β-=+ 。
大学物理第3章 刚体力学习题解答之欧阳治创编
第3章 刚体力学习题解答 时间2021.03.10 创作：欧阳治3.13 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为 ):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dt d dt d-==-+==ωθβω3.14桑塔纳汽车时速为166km/h ，车轮滚动半径为0.26m ，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m ，发动机转速为n 1, 驱动轮转速为n 2, 汽车速度为v=166km/h 。
显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，909.0/2212Rn Rn v ππ==，所以：3.15 如题3-15图所示，质量为m 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r 1和r 2，求对通过其中心轴的转动惯量。
解：设圆柱体长为h ，则半径为r ，厚为dr 的薄圆筒的质量dm 为：对其轴线的转动惯量dI z 为3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为，质量为 ，求对过细杆二端 轴的转动惯量。
解：如图所示，圆形细杆对过O 轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR 2，根据垂直轴定理z x y I I I =+和问题的对称性知：圆形细杆对过轴的转动惯量为12mR 2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端 轴的转动惯量为：214AA I mR '=3.18 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
解：大圆盘对过圆盘中心o 且与盘面垂直的轴线（以下简称o 轴）的转动惯量为221MR I =.由于对称放置，两个小圆盘对o 轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘质量的面密度σ=M/πR 2，根据平行轴定理，设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o 轴的转动惯量为I”3.19一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm 2，转速为ω=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为392N ，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m ，问从开始制动到静止需多长时间？解：由转动定理：制动过程可视为匀减速转动，/t αω=∆∆3.20一轻绳绕于r=0.2m 的飞轮边缘，以恒力 F=98N 拉绳，如题3-20图（a ）所示。
刚体习题及答案知识讲解
轮的角速度是多少？
θ A v0 cos
v0 sin
R
例6.一块质量为M＝1kg 的木板，高L＝0.6m，可以其一边为轴自 由转动。最初板自由下垂.今有一质量m＝10g的子弹，垂直击中 木板A点，l＝0.36m，子弹击中前速度为500m/s，穿出后的速度 为200m/s， 求： (1) 子弹给予木板的冲量
解法一： 用转动定律求解
在恒力矩和摩擦力矩作用下，0—10s内有：
M M r J1
1 1t1
M
Mr
J
ω1 t1
移去恒力矩后，0—90s内有：
Mr J2
0 1 2t2
Mr
J
2
t2
J Mt1t2
1(t1 t2 )
54kg m2
解题过程尽可能用文字式，最后再带入数字。
解法二:
0-10s: 0-90s:
m 的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也 为 m的物体，如图。求当物体由静止下落h 时的速度v。
例11.如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m，平放在摩擦系数
为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度 ω0 绕过中心 o 且垂直于
桌面的轴转动，试求:
0
（1）作用在杆上的摩擦力矩;
（2）经过多长时间杆才会停止转动。
人 : Mg T 2 Ma
物:
1
1
T1 - 2 Mg = 2 Ma
轮： (T2 T1)R J
a R
2 a 7g
o
T2
T1
A Ba
Mg 1