6刚体动力学解析.ppt
刚体的动量矩及转动动能
§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。
取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。
它相对固定点O 点的位矢量为i r。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r iiii⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J w z y m wz ym w y x m J ziiiyii xiiz ziiyi iixii y i i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑=== ∑∑∑======x z m IIy z m I I y x m I Iii i xzzxii i zy yzii i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w zy x ,,都有关。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
刚体ppt
A轮受到的冲？量矩多大？
以A为对象：由定义：该时间内A受到的冲量矩为
t
M Adt
0
M A
——A受到的力矩，即B的啮合器给
予A的力矩
t
由角冲量定理： M Adt LA,t LA,0 J1 J11
0
前已得出 J11 J22 代入即可
J1 J2
又由内力矩之合为0
t
t
M Adt MBdt
Li
Liz
Ri
iri mi
vi
i
i
转动惯量
J mi Ri2
Lz J 相比
i
P mv
J ~m
o
10
Lz J
M dLz M J
dt
定轴转动问题中的转动定理
P mv
F dP F ma dt
y Jy z Jz
下面求几个简单问题中的转动惯量
J mi Ri2 i
例： z z
mi :刚体上第i 个质点的质量 Ri:第i个质点到转轴的垂直距离
9
2、转动惯量
质量元mi对o点的角动量
Li
ri
Pi
ri
mivi
Li rimivi sin 90
投影到z方向： Liz (rimivi ) scions(9i0 i )
vi Ri mi (ri sini ) (Ri ) mi Ri2
刚体的总角动量取z分量
z
Lz Liz mi Ri2
1、当 a=b=L/2
m 1 (b3 a3 )
m, L
L3
2、当a=0,b=L
J 1 mL2 12
m, L
J 1 mL2
3
13
例1：
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
《刚体动力学》课件
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体动力学
刚体动力学
刚体动力学是指研究力和质量对刚体运动的影响，它涉及物理
和数学，主要研究力对物体运动的影响。
它广泛应用于工程和物理领域，用于描述物体在局部或全局中的运动状态。
如何利用运动学理论
来分析和解释物理世界中物体的运动轨迹，最终揭示物体运动的物理
原理至关重要。
在刚体动力学的概念中，物体的运动被建模为一种力对对对象的
瞬时影响。
通过应用力，物体的运动可以得到估计。
瞬时力是指在特
定时空会给物体造成瞬时影响的力。
可以从特征定律出发，将其用于
物体运动分析。
这些定律涉及到物理力学，牛顿力学和拉普拉斯力学，上述定律可将物体的运动状态的分类。
与此同时，通过测量物体的加
速度、速度和位移，有可能解释其运动轨迹，解析物体的运动和定义
有关的物理参数，这些物理参数的累积可以描述物体的运动状态，从
而揭示物体运动的原理。
刚体动力学的原理也可以用来处理运动学中更加抽象的问题，例
如变换，尤其是物体受力时联合受力的问题。
此外，它还可以用于研
究物理系统中某些复杂的力的运动模式，包括动量、角动量、能量和
声学等。
可以说，它是物理上最基本的模型，用于解释物体的局部或
全局运动。
利用刚体动力学的原理，可以研究物体运动在各种复杂条
件下的变化，从而揭示物体运动的物理原理。
刚体运动学解析
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
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z
M
L
O dx
x
J L / 2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
z' z M
L C
例 均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
M
L 2
2
1 ML2 3
z
z
M
L
J z 1/ 12ML2
2. (薄板)垂直轴定理
Jz Jx Jy
x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量
O. r
力矩的方向由右螺旋法则确定
z F//
F
(3)力对任意点的力矩，在通过
该点的任一轴上的投影，等 于该力对该轴 的力矩
(4) 合力矩等于各分力矩的矢量和
hr
F
A F
Fn
(5) 合力为零，力矩不一定为零 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图)
实验证明
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
M kJ 在国际单位中 k = 1
刚体的转动定律
M z J
作用在刚体上所有的外力对
定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴
的转动惯量
讨论
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
例 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
M z (F ) Fτr Fh h力臂
F//
对转轴的力矩为零
• 力矩取决于力的大小、方
向和作用点
• 在刚体的定轴转动中，力矩
只有两个指向
刚体获得角加速度
z F//
F
hr
F
A F
Fn
讨论
(1) 力对点力矩 的矢量形式 M o MO r F
M
F
(2) 力对定轴力 矩的矢量形式 M Z r F
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Ny O
Nx
解 设轴对棒的作用力为 N
由转动定律 Fl' J
Nx, Ny
l' C F mg
由质心运 动定理
F
Nx
macx
0
θ 0
3gcos
2l
d
3gsin
l
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元 dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
摩擦力矩 由转动定律
M
R
dM
2 mgR
0
3
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
rO T
解 (1) Fr J
Fr J
98 0.2 0.5
39.2
rad/s 2
F mg
(2) mg T ma
Tr J
J
mgr mr2
两者区别
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
(3) 与牛顿定律比较：M F, J m, a
(4) J 转动惯性的量度
• 理论推证
取一质量元
Fi fi miai
切线方向 Fi fi miaiOrifi
Fi
mi•
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri miai ri miri2
对所有质元
Fi
r i
fi ri ( miri2 )
第6章 刚体动力学
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期 的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度
将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
•力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
•
改变刚体的转动状态
力 F 对z 轴的力矩
合外力矩 M
合内力矩 = 0
刚体的转动惯量 J
三. 转动惯量
定义式
J miri2
质量不连续分布
J r2dm
质量连续分布
• 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
z
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
求 摩擦力对y轴的力矩
y
解 dm M dx df dm g
ML
L
根据力矩 dM M gxdx
Ox
x
L
M L M gxdx 1 MgL
0
L
2
dx
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
例如
T' T
Mi TR T' R
T'
T
Mi TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
0
R 0
2m R2
r3dr
m 2
R2
dl m
R O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理 J z' J z ML2
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴 L :两轴间垂直距离
0
0L 3
O
J铁 J木
M dx
L x
(2) J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2π R R2dl
0
0
R2
2π R
dl
0
2π
R3
m 2π R
mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr
dm ds
π
m R2
2π
rdr
2mr R2
dr
J
m r2dm
已知
Jz
1 mR2 2
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx
Jy
1 mR2 4
x
z
x
y
zm 圆盘
C y
R
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
求 它由此下摆 角时的
O•
ml x
解 取一质元 M xdm g g xdm
•C dm
M mgxC
M 1 mgl cos
2
xdm mxC mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
M J
1 mgl cos
2
3 ml 2
3g cos
2l
dω dt
d d
ω
d