刚体动力学

M •R
T m
mg
16
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过
角 时的角加速度和角速度。
解 重力集中在质心，其力矩为
Mo
mg
l cos
6
A
Io

1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
Mo 3g cos
2r
dt
F=ma=-m2r
M=rF=-m2rr =0
29
例题2.2 光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球
m以o作半径r的匀速圆周运动，现向下缓慢拉绳，
求半径从r变为r/2过程中拉力的功。
解 小球对o点的角动量守恒：
mr2 o= m(r/2)2
=4o
o
由动能定理，拉力的功为
二. 刚体的角动量及守恒守律
1.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动, 质量为Δmi的质
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
12
例题1.2 质量连续分布: I r 2dm
(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且
垂直于棒的轴转动的转动惯量。
解
记住！
l
Ic
2 x2m dx 1 ml2
l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io 2l
2 o2 2
o
B
C
mg
oC l l l 236
17
Mo 3g cos d
Io 2l
dt
又因


d
dt

d d

d
dt

d d

3g cos
2l
d
3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
t1
L1
如果合外力矩零(即M=0), 则
L=常矢量
这就是说,如果质点所受的合外力矩为零时, 则 此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点 角动量守恒定律。
对比： 角动量守恒定律是：M外=0， 则 L =常矢量。
动量守恒定律是： F外=0 ，则 p =常矢量。
26
例题2.1 一质点的质量为m，位矢为：
自转和空气阻力，求：=？(地球质量为M、半径为R)
解 火箭只受引力(保守力)作用，机械能守恒：
1 2
m
o
2
G
Mm R

1 m 2
2
G
Mm 3R
对o点的角动量守恒：
moR = m 3Rsin
解得 sin
R o 2 3(3Ro2 4GM )
A o
md
Mo
3R
R
o
C

32
r =acos t i+bsin t j (式中a、b、 均为常量);
求质点的角动量及它所受的力矩。
z
解


dr


as inti


bcostj
dt
L

r
(m)

mr
k o
j
i
y
x




m(acosti bsintj ) (asinti bcostj )
速度 的大小和方向。
解 故机械能都守恒：
1 2
mo2

1 2
m 2

1 2
k( l

lo
)2
l
om角来自量守恒：mo lo= m lsin
lo
d
解得: =4m/s, =30
m o
31
例题2.4 质量为m的火箭A以o沿地球表面发射出
去, 其轨道与地轴oo交于C点(oC=3R)。不考虑地球的
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 mg
(2)当=90°时， =0，
3g
l
18
例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将
盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ， 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 摩擦力矩:
M
R

0
r
g
m
R
2
2rdr
8
3.平行轴定理
Io=Ic+Md2
Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量
M 刚体系统的总质量 d 两平行轴(o,c)间的距离
Io d Ic
o
C M
9
I r2dm (r r)dm
V
V

V V
(rc l)(rc
(rc 2

2l
rc
l )dm l 2 )dm
t
2
Mdt
冲量矩
t1
合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。
它是质点角动量定理的积分形式。
对比：
t2

M外dt L2 L1
t1
t2

t1 F外dt p2 p1
25
3. 质点角动量守恒守律
t2

L2


Mdt dL L2 L1
Io

1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
13
(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic

R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2m
R 2
2rdr
1 2
mR2
R
dm
r dr
14
M I 刚体定轴转动定理
例题1.3 一转轮在20N.m的外力矩作用下， 10s内转速均匀地由零增大到100rev/min。撤去 外力矩，它经100s停止。求转轮的转动惯量。
1.力矩
M
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
o
力矩的大小: 方向:
M=Frsin
r
F
=Fd
d
r
F

注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
力矩的大小
o r m
d

M
M=Frsin=Fd
or F
问题:一质量为m的质点沿一直线以 d

速率运动,它对直线上某点的角动量
为 0; 它对与直线相距d的某点的角动量为 md。
22
Lr p
若质点m以角速度沿半径r的圆周运动(如图),质
点对给定点o(圆心)的角动量的大小
L=rpsin=mrsin =md
o r m
d

式中是r 与 两矢量间的夹角。
角动量的方向垂直于矢径r 和 所组成的平面,指 向是r 经小于180o的角转到 时右螺旋的前进方向。
21
质点对o点的角 动量(动量矩)为
L
Lr p
角动量L的大小
L=rpsin=mrsin=md


mabsin2tk mabcos 2tk

mabk


i i 0 j i k
i j k
j j0 27
r =acos t i+bsin t j


dr

as

inti

bcostj
dt
L r (m ) mr
i
jk
=m a cost bsint 0
a sint bcost 0
=mabk
28
质点所受的力矩:
M=rF
r =acos t i+bsin t j

dr


asinti

bcostj
dt
a
d


2 (acosti

bsintj )
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
20
§3.2 力矩的时间累积效应角动量守恒定律
一. 质点角动量守恒定律
1. 质点的角动量
设质点的位矢为r，动量为p=m ，则质点对o点的
角动量(也称动量矩)为
L r p r ( m )
L
角动量L的大小
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平

动和转动的结合。
m ro
A

1 2
m
2

1 2
mo2
F