上海交大理论力学刚体动力学.ppt
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受力分析（一般位置） 主动力 mg
理想约束力 FN A FN B
动力学方程
C eb
mxC FNB myC FN A mg
y FN B
yb
mg
xb
x
FN A
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
ml2 JC 12
12
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
基点为质心C
y
Fn
ys
yb
M
n C
xb
运动描述
位置 姿态
rC
动力学方程
e:
rC
xC
yC T
O
C
rC
M
a C
xs Fa
x
质心运动定理
e:
对质心动量矩定理
mrC F a F n mxC Fxa Fxa myC Fya Fya
J C
M
a C
M
n C
LC
J Cz
2020年5月2日 7
2020年5月2日 2
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
刚体平面运动的动力学条件
• 刚体在力或力偶的作用下产生运动 • 作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否
一定作平面运动？
2020年5月2日 3
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
• 结论
0，计算当杆下滑到角位置 瞬时的角速度
(c) 计算该瞬时杆受到的约束力 (d) 计算当杆与铅垂壁脱离时
的角1
(e)计算此瞬时杆的角速度与质 心C的水平运动速度
2020年5月2日 11
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
[解] (a)建动力学方程
惯性基 O e
连体基
杆的运动为平面一般运动
2l
d 3g sin d
2l
d
3g
sin
d
0
0 2l
yb
0
mg
xb
x
FN A
dd d d dt d
2020年5月2日 3g(cos0 cos) / l
2020年5月2日 5
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式
y
ys
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
Fn
yb
M
n C
xb
连体基
eb xb yb T 基点为质心C
作用于受约束刚体的外力
O
C
M
a C
xs Fa
x
理想约束力系 向质心C简化
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶)
已知
– 如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知
• 通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
速度与主动力(矩)的关系 • 可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历
J C
M
a C
l 2
sin
l 2
cos2
理论力学CAI 刚体动力学
xb
x
FN A
13
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
mxC FNB
y
myC FN A mg
FN B
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
l 2
sin
l 2
cos2
3g sin 0
通常未知
主矢 主矩
F n
M
n C
e:
M
n C
z
F n Fxn
Fyn T
主动力系
向质心C简化
2020年5月2日
主矢
主矩
Fa
M
a C
e:
Fa
M
a C
z
Fxa
Fya T
6
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
连体基
eb xb yb T
单刚体动力学问题
• 单刚体平面运动的动力学微分方程组 由三个方程组成
mxC Fxa Fxn
myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
nΒιβλιοθήκη BaiduC
• 动力学逆问题，刚体的运动已知
– 通过方程组可求得作用于刚体的主动力(偶)与理想约束 力(偶)的关系
– 求解的未知量个数不能超过3
2020年5月2日 9
理论力学CAI 刚体动力学
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
位置 姿态
rC
e:
rC
xC
yC T
单刚体动力学方程组
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
n C
单刚体动力学方程组缩并
y
ys
Fn
yb
M
n C
xb
O
C
rC
M
a C
xs Fa
Z q Fˆ a Fˆ n x
z
MO
v
m
z m
MO
m
O
x
v
y
Oz为主轴
O
y
x
m Oz为非主轴
刚体作平面运动的惯量条件：刚体运动平面的法线方向 应为刚体的一主轴
满足作平面运动动力学条件的刚体称为平面刚体
2020年5月2日 4
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
处理动力学问题的一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式 • 单刚体动力学问题 • 刚体系动力学方程一般形式 • 刚体系动力学问题
理论力学 CAI 刚体动力学
• 前言
刚体的平面运动 • 刚体的平面运动 • 非惯性基下刚体动力学 • 碰撞 • 刚体的定点运动
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
刚体动力学/刚体的平面运动
刚体的平面运动
• 刚体平面运动的动力学条件 • 处理动力学问题的一般方法 • 处理动力学问题的独立坐标方法
(b)求角速度（逆问题）
mxC FNB myC FN A mg
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
y FN B
yb
0
未知量数(5)>方程数(3) 需附加2个方程
约束方程(一般位置)
mg
xC
l sin,
2
yC
l cos
2
加速度约束方程
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
2020年5月2日
M
n C
程
– 如果刚体受到约束， 3个位形坐标未知，理想约束力 未知
• 未知的变量超过方程的个数，必须附加方程
2020年5月2日 10
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例
[例]
均质杆AB长为l，质量为m。 当该杆由静止开始，在地面 与墙面上无摩擦地滑动
(a) 试建立杆的动力学方程 (b)初始为静止状态，初始角为
m 0 0 xC Fxa Fxn
0 m 0 yC Fya Fyn
0
0
J
C
M
a C
M
n C
Z
q
Fˆ a
Fˆ n
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
增 广 质 量 阵
位 形 加 速 度 坐
增 广 主 动 力 阵
标
阵
增 广 理 想 约 束 力 阵8
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
理想约束力 FN A FN B
动力学方程
C eb
mxC FNB myC FN A mg
y FN B
yb
mg
xb
x
FN A
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
ml2 JC 12
12
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
基点为质心C
y
Fn
ys
yb
M
n C
xb
运动描述
位置 姿态
rC
动力学方程
e:
rC
xC
yC T
O
C
rC
M
a C
xs Fa
x
质心运动定理
e:
对质心动量矩定理
mrC F a F n mxC Fxa Fxa myC Fya Fya
J C
M
a C
M
n C
LC
J Cz
2020年5月2日 7
2020年5月2日 2
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
刚体平面运动的动力学条件
• 刚体在力或力偶的作用下产生运动 • 作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否
一定作平面运动？
2020年5月2日 3
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件
• 结论
0，计算当杆下滑到角位置 瞬时的角速度
(c) 计算该瞬时杆受到的约束力 (d) 计算当杆与铅垂壁脱离时
的角1
(e)计算此瞬时杆的角速度与质 心C的水平运动速度
2020年5月2日 11
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
[解] (a)建动力学方程
惯性基 O e
连体基
杆的运动为平面一般运动
2l
d 3g sin d
2l
d
3g
sin
d
0
0 2l
yb
0
mg
xb
x
FN A
dd d d dt d
2020年5月2日 3g(cos0 cos) / l
2020年5月2日 5
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式
y
ys
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
Fn
yb
M
n C
xb
连体基
eb xb yb T 基点为质心C
作用于受约束刚体的外力
O
C
M
a C
xs Fa
x
理想约束力系 向质心C简化
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
• 动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶)
已知
– 如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知
• 通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
速度与主动力(矩)的关系 • 可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历
J C
M
a C
l 2
sin
l 2
cos2
理论力学CAI 刚体动力学
xb
x
FN A
13
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解
mxC FNB
y
myC FN A mg
FN B
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
l 2
sin
l 2
cos2
3g sin 0
通常未知
主矢 主矩
F n
M
n C
e:
M
n C
z
F n Fxn
Fyn T
主动力系
向质心C简化
2020年5月2日
主矢
主矩
Fa
M
a C
e:
Fa
M
a C
z
Fxa
Fya T
6
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
惯性基
e
x
yT
平动参考基 es xs ys T
连体基
eb xb yb T
单刚体动力学问题
• 单刚体平面运动的动力学微分方程组 由三个方程组成
mxC Fxa Fxn
myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
nΒιβλιοθήκη BaiduC
• 动力学逆问题，刚体的运动已知
– 通过方程组可求得作用于刚体的主动力(偶)与理想约束 力(偶)的关系
– 求解的未知量个数不能超过3
2020年5月2日 9
理论力学CAI 刚体动力学
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
位置 姿态
rC
e:
rC
xC
yC T
单刚体动力学方程组
mxC Fxa Fxn myC Fya Fyn
J C
M
a C
M
n C
单刚体动力学方程组缩并
y
ys
Fn
yb
M
n C
xb
O
C
rC
M
a C
xs Fa
Z q Fˆ a Fˆ n x
z
MO
v
m
z m
MO
m
O
x
v
y
Oz为主轴
O
y
x
m Oz为非主轴
刚体作平面运动的惯量条件：刚体运动平面的法线方向 应为刚体的一主轴
满足作平面运动动力学条件的刚体称为平面刚体
2020年5月2日 4
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法
处理动力学问题的一般方法
• 单刚体动力学方程一般形式 • 单刚体动力学问题 • 刚体系动力学方程一般形式 • 刚体系动力学问题
理论力学 CAI 刚体动力学
• 前言
刚体的平面运动 • 刚体的平面运动 • 非惯性基下刚体动力学 • 碰撞 • 刚体的定点运动
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
刚体动力学/刚体的平面运动
刚体的平面运动
• 刚体平面运动的动力学条件 • 处理动力学问题的一般方法 • 处理动力学问题的独立坐标方法
(b)求角速度（逆问题）
mxC FNB myC FN A mg
ml2 12
FN A
l 2
sin
FN B
l 2
cos
y FN B
yb
0
未知量数(5)>方程数(3) 需附加2个方程
约束方程(一般位置)
mg
xC
l sin,
2
yC
l cos
2
加速度约束方程
xC
l 2
cos
l 2
sin2
yC
2020年5月2日
M
n C
程
– 如果刚体受到约束， 3个位形坐标未知，理想约束力 未知
• 未知的变量超过方程的个数，必须附加方程
2020年5月2日 10
理论力学CAI 刚体动力学
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例
[例]
均质杆AB长为l，质量为m。 当该杆由静止开始，在地面 与墙面上无摩擦地滑动
(a) 试建立杆的动力学方程 (b)初始为静止状态，初始角为
m 0 0 xC Fxa Fxn
0 m 0 yC Fya Fyn
0
0
J
C
M
a C
M
n C
Z
q
Fˆ a
Fˆ n
2020年5月2日
理论力学CAI 刚体动力学
增 广 质 量 阵
位 形 加 速 度 坐
增 广 主 动 力 阵
标
阵
增 广 理 想 约 束 力 阵8
刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法