理论力学9-刚体动力学
大连理工大学理论力学第9课
求：a|t=0，a|t=2min。
注：两种情况下的加速度方向？
例题5
求：点运动轨迹的曲率半径ρ
已知：点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 cos 4 t , a x x 32 sin 4 t
v y (l a ) cos t
a x v x x l a 2 cos t a y v y y l a 2 sin t
a a a
2 x 2 y 2 4 sin 2 t l a 4 cos 2 t (l a） 2
例题4 已知：R=800m=常数，at=常数，v|t=0= v0=0，
v|t=2min= 54km/h。 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。 由at=常数，v0=0，有v=att v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 a a 0.125m s t 0, a 0 ① t n ② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
0 0 t t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 )
y
M O
φO
1
O1
C
x
v x x r 1 cos t , 例题6 已得：
2 x 2 y
v y y r sin t
t v v v 2 r sin （0 t 2 ) 2
加速度
理论力学-9-动量定理及其应用
y
解法1：建立Oxy坐标系，在角度q为任意值的情形下
vA
yA 2lsin q
A
xB 2lcosq
vA yA 2lqcosq 2lcosq
vB xB 2lqsinq 2lsin q
Oθ
vB
B
p mivi
i
p mAvA mBvB
p mAvA mBvB
x
2lmcosq j 2lmsinq i
l
cost
例题 3
2．求作用在O轴处的最大水平约束力
y
由质心运动定理
A
O
C
B
l/2
x
&x&C
m1 2(m1
2m2 2m3 m2 m3 )
lω2
cos
ωt
D
Fox
MaCx
(m1
2m2
2m3 )
lω2 2
cos ωt
当 cosωt 1 时，水平约束力最大，其值为
Fox,max
Macx
(m1
2m2
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
第9章 动量定理及其应用
？ 二人在太空中拔河，
初始静止，同时用尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 则拔河的胜负将如何？
第9章 动量定理及其应用
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3 综合应用举例 9.4 结论与讨论
第9章 动量定理及其应用
2lm(-sinq i cosq j)
9.1.1 质点和质点系的动量
例题 1
解法2： 质点系的质心在C处，其速度大小为
A vC
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)
习题9－2图习题20-3图习题20-3解图OxF Oy F gm Ddα第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B)()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F习题9－1图(a)v (b)（b ） 习题9－5解图习题9－5图J 9－4 卷扬机机构如图所示。
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
南航理论力学习题答案9(1)
第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。
① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。
① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。
正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。
① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。
则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。
① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。
① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。
若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。
① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。
第九章刚体的平面运动_理论力学
刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在 且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心， 或 称速度瞬心（简称瞬心） ，此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体 的角速度 绕 瞬 心 作 定 轴 转 动 时 的 速 度 分 布 一 样 。 如 图 9-11 （ b ） 所 示 。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。 已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动， ，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知 两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出， 在刚体运动过程中， 由此推出以下结论。
的运动 （见§7-1.2） 。
结。
刚体平面运动方程式 现在来描述平面图形 在空间的位置。 （1）在图形上作直线 （2）运动方程式 ，只需确定 的位置就可以确定 的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点 的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点 见图 9-9，则 (9-4) 2. 速 度 投 影 定 理 -- 速 度 分 析 的 第 二 种 方 法 （ 亦 称 " 基 点 法 的 推 论 " ） 相对于基点 的速度 （相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点 （1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。 （3）相对于动系转动的角速度 形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析 。由于是平动动系，所以 。称为图
理论力学中的动力学分析
理论力学中的动力学分析在理论力学中，动力学是研究物体受力作用下的运动规律和力的作用关系的学科。
它是力学的一个重要分支，与静力学相对应。
动力学分析通过运用物理学理论和数学方法，揭示了物体运动的规律和力的作用方式。
本文将就理论力学中的动力学分析进行探讨。
动力学分析的基本原理在于牛顿运动定律。
牛顿第一定律指出：任何物体都具有惯性，即物体在没有外力作用时将保持静止或作匀速直线运动。
该定律为动力学分析提供了基础。
其次，牛顿第二定律指出：物体的运动状态随受力而改变，物体所受合力等于物体质量乘以加速度。
这一定律在动力学分析中起着至关重要的作用。
最后，牛顿第三定律表明：力的作用总是成对出现，且大小相等、方向相反，这被称为作用-反作用定律。
动力学分析中，必须考虑到这个定律以正确分析物体间的相互作用。
动力学分析主要关注以下几个方面：质点的运动、刚体的运动、动力学方程的建立和解法以及力的分析。
首先，在质点的运动中，动力学分析需要确定质点所受的合力，以及由此产生的加速度和运动规律。
对于匀加速运动、自由落体等常见情况，可以通过简单的公式进行分析；而对于复杂的情况，例如曲线运动或非匀加速运动，则需要运用微积分和矢量分析等数学工具进行求解。
其次，在刚体的运动中，动力学分析需要考虑刚体的平动和转动。
对于平动，需要计算刚体所受的合力和合力矩，以及由此产生的加速度和角加速度。
对于转动，需要考虑刚体的转动惯量和角速度，以及刚体所受的力矩。
然后，在动力学分析中，建立和解动力学方程是至关重要的。
根据牛顿第二定律，通过建立物体所受力的合力和合力矩与物体质量、加速度以及惯性矩之间的关系，可以得到动力学方程。
解动力学方程可以推导出物体的运动规律和力的作用方式，进一步分析物体的运动状态。
最后，在力的分析中，动力学分析需要考虑力的种类、力的大小和方向以及力的作用点。
常见的力包括重力、摩擦力、弹力等。
力的分析可以揭示物体间相互作用的规律，为动力学分析提供了重要的依据。
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RA
ω, ε C
RO
F2
Fm
19/38
第 9章
21/38
第 9章
23/38
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
l
l
rc
y
rc
y
L d O ω LO M O rOA R A dt
O
轴承动反力反映了刚体对转轴 的动力不对称性
20/38
O
x
x
定轴转动刚体的动反力
动反力等于静反力的条件
yC 2 xC 0 2 yC xC 0
例 9-3
第 9章 已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯量为 J1、 J1 、 J3 ，在转轴AB上有安装偏角α。 求：以角速度 匀速转动时A、B轴承的动反力
xC yC 0
刚体动力学
LCr J C ω
其中 J C mi [ i2 I i i T ]
2 2 1 ω ( ρi mi vir ) 1 ω LCr 2 2
7/38
第 9章
9/38
第 9章
11/38
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
2 相对运动动能 Tr 1 mi vir 1 mi vir (ω ρi )
6/38
1
刚体相对于质心平动系的动量矩和动能
第 9章 相对质心动量矩
LCr ρi mi vir mi ρi (ω ρi )
mi [ i2ω ρi ( ρi ω)]
例 9-1
第9章 均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求: 1. 杆对O点的惯量矩阵 2. 杆对O点的动量矩 z 3. 杆的动能
0
0 0 1 mR 2 2
14/38
JO是实对称阵，必存在三个实特征值（即为 主转动惯量），相应的特征向量就是三个惯 性主轴。
定点运动刚体的动力学方程
dLO (e) MO dt
L d (e) O ω LO M O dt
欧拉动力学方程
第 9章
固连坐标系为主轴坐标系
上式非常复杂，是否有简化形式？
讨 讨论：若外力系的主矩是角速度和时间的函 若外力系 矩 角 度 时 函 数，则可由欧拉动力学方程求解角速度，再 由欧拉运动学方程积分得到欧拉角； 若外力系的主矩还是欧拉角的函数， 则需要联立欧拉动力学方程和欧拉运动学方 程求解。 cos sin sin
L d (e) C ω LC M C dt
9.2 定轴转动刚体的动反力
讨论：如果两个力系的主矢量和对质心的主 矩相等，则在这两个力系作用下刚体质心的 运动和绕质心的定点运动完全相同，因此两 个力系等效。
3
定轴转动刚体的动反力
第 9章 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz 在固连坐标系中 ] T ε [0 0 ] T ω [0 0 解除约束，代之以约束反力， 解除约束 代之以约束反力 刚体动力学方程为
固连系中刚体对O点的惯量矩阵
J x J xy J xz r 2 I r r T dm J yx J y J yz JO J J Jz zy zx
5/38
刚体动力学
刚体动力学
转动惯量 J x ( y 2 z 2 ) dm 转
0
m y z
i
i i
0
x
y
中心主轴坐标系，相应的坐标轴称为中心 惯性主轴。
2
例 9-2 用几何法确定中心惯性主轴
第 9章
z
确定惯性主轴的解析法
第 9章 矢量LO与一般不共线： LO = JO 如果 沿某一惯性主轴z： = z k LO =Jz — LO与 共线
c
y
x
b
a
13/38
Lo J o ( J xz z
yห้องสมุดไป่ตู้
解
ωz
J yz z
J z z ) T
J xy J xz J yz J y 0
l
Lo 1 ml 2 z k 3
刚体动力学
3 杆的动能 3. 解法一： T 1 T J o 1 J 2 1 ml 2 z2 2 2 z z 6
2 2 4 0 2
J xz 2 J yz 0 2 J xz J yz 0
J xz J yz 0
定轴转动刚体的动反力等于静反力的充要 条件是，转动轴为刚体的中心惯性主轴
22/38
例 9-3
x sin sin cos y cos z
16/38
刚体一般运动的微分方程
刚体质心的运动（质心运动定理）
C R( e ) mv
刚体相对于质心平动系的运动（相对质心 动量矩定理）
P
m x z
i i i
0
m y z
i
i i
0
刚体动力学
如果均质刚体有对称轴,
惯量矩阵为对角阵的坐标系Oxyz称为主轴
坐标系，相应的坐标轴称为惯性主轴，对 角元称为主转动惯量。
惯量矩阵为对角阵的质心坐标系Cxyz称为
则此轴是轴上各点的惯性 主轴
z
对称轴
m x z
12/38
i i i
刚体动力学
9.3 陀螺近似理论
28/38
规则进动
欧拉角：
莱查定理
Z
y
第 9章
— 进动角 — 章动角 — 自转角
z
O
刚体对定点的动量矩矢量端点在惯性参考系 中的速度，等于外力对同一点的主矩
u M L O LO O
x
Y N(节线)
刚体动力学
刚体动力学
0 , 0 2 , 0 2 X
J z ( x 2 y 2 ) dm
J y ( z 2 x 2 ) dm J xz J zx xz dm
T 1 T J O 2
惯性积
J yz J zy yz dm
J xy J yx xy dm
惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量 分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量
24/38
4
转子动平衡
第 9章 动不平衡的转子 对转子进行动平衡 第 9章
转子动平衡
25/38
2013年12月16日
第 9章
29/38
刚体动力学
刚体动力学
J yz 0
J yz 0
附加质量以改变整个转子的质量分布，使转 轴成为中心惯性主轴
26/38
陀螺
第 9章 如果刚体对O点的两个主转动惯量对称，例如 Jx = Jy = J，则称刚体动力学对称，Oz轴称为动 力学对称轴。 陀螺：绕动力学对称轴高速 旋转的定点运动刚体 结构特性：动力学对称 运动特性：绕对称轴高速旋 转 陀螺有何动力学特性？ 如何解释？
第 9章
15/38
第 9章
17/38
2013年12月16日
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
z
x
1 m(b 2 c 2 ) 12 0 0 1 m( a 2 c 2 ) 0 0 JC 12 1 m( a 2 b 2 ) 0 0 12
JO = — 惯性矩阵的特征值问题
自转角速度 1 进动角速度 2
可由动量矩定理和变矢量对时间的导数的几 何意义证明
规则进动：自转角速度和进动角速度的大 小都是常数、章动角为常数的定点运动
30/38
5
陀螺近似理论
第 9章
陀螺近似理论
(1 2 )
ω ω1 ω2
LO J x x i + J y y j + J z z k J x2 x i + J y 2 y j + J z (1 2 z )k
J x J xy J xz x J yx J y J yz y 0 J zx J zy J z z
y
1 mR 2 4 JC 0 0
0
1 mR 2 4
引言
第 9章
第9章 刚体动力学 动力
动力学普遍定理给出了一般质点系动力学 问题的分析方法，之前着重分析了刚体平 面运动的动力学问题 刚体定点运动和一般运动在理论和工程上 都具有重要意义，如何分析其动力学问题？ 如何求解定轴转动刚体的约束反力？
2/38
2013年12月16日
第 9章
刚体动力学 刚体动力学
刚体定点运动的动量矩
定点：O 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz
z
r
9.1 刚体动力学方程
刚体对O点的动量矩
L O r v dm
2 LO r ω (ω r ) r dm
x
o
y
r v r (ω r ) ( r r ) ω (ω r ) r r 2 ω (ω r ) r
建立固连坐标系Cx1y1z1，基向量i、j、k ω sin j1 cos k1 对质心的动量矩
LC J x1 x1i1 J y1 y1 j1 J z1 z1k1
解
第 9章
例 9-3
M Cx1 l ( N Ay N By ) 2 ( J1 J 2 ) 2 sin cos M Cy1 l cos ( N Bx N Ax ) 0 2 M Cz1 l sin ( N Bx N Ax ) 0 2