理论力学-刚体的平面运动案例

解： 1. AB作平面运动 基点：A 2. vB vA vBA
大小 ？ r ?
方向
60
vB vA cos 30 2 3r 3
0
vB 0
90
vB vA r, vBA 0
例8-4
已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半
径为r1 ，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。
v
2 A
vB2A
2O r1 r2
4. vC vA vCA
vC vA vCA 2O r1 r2
例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿 水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B， E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
vB l
5rad
s
3. vC vB vCB
大小 ？ l BDl 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例8-3 已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= OA以匀角速度ω转动。
3r。如曲柄
求：当 0,60,90 时点 B的速度。
3591mm
GE
vE EC1
OE
EC1
0.2968 rad
s
vG GE GC1 1.066 m s
2.杆BG作平面运动，瞬心为C。
BG
vG GC
vB
BG
BC
vG
BC GC
AB
vB AB
vG
cos 60 AB
0.888rad
s
vG cos 60
例8-8 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以 匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r， 在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点 A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。
长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和
GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
解: 1.杆GE作平面运动，瞬心为 C1 。 OG 800mm 500mmsin15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
GC1
OG sin 150
va ve vr 大小 v ? ?
方向 √ √ √
沿BD方向投影
ve va v
vr 0
OA
ve OB
v l
aa aet aen ar aC
大小 2v2 l
? O2Al ?
0
方向
沿BD方向投影
at e
aa
2v 2 l
OA
at e
OB
2v 2 l2
例8-12
已知：在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v 平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O
sin
2
sin
2
当 600时有
AB
3v 4l
3 3v2
AB
8l 2
例8-13 已知：如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆 OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度ω绕轴O转动，滑块
B以匀速 v l沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，
AB与水平线OB夹角为 。30
求：此瞬时AB杆的 角速度及角加速度。
解： 速度分析 1.杆AB作平面运动，基点为B。
vA vB vAB 2.动点 ：滑块 A，动系 ：OC 杆
大小
vA ve vr vB vAB
OA ? l ?
方向
√ √√√
沿vB方向投影
沿 v方r 向投影
vB
vAB
sin
30
ve
l
2
vAB 2vB ve l
AB
vAB l
vr vAB cos 300
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。
在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。
求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD作平面运动 基点：B
2. vD vB vDB
大小 ？ l ?
方向
vD vDB vB l
AB
vD CD
l
l
2.选D为基点
aD l2
aA
aD
a
t AD
a
n AD
大小 ？ l2 ? l2
方向
分别沿 轴和 轴投影
aA cos aD cosπ 2 aAnD
0
aD
sin
at AD
cos
a
n AD
sin
解得 aA l2
aAt D 0
AB
aAt D AD
0
例8-10
已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O
3 l
2
加速度分析
aA
aB
a
t AB
aAnB
aA aet aen ar
aC
aB
a
t AB
a
n AB
大小
0 l 2
2
?
2vr 0
?
2 AB
l
方向 √ √ √ √ √ √ √
沿aC方向投影 aC aAt B sin 30 aAnB cos 30
at AB
3
3l 2
AB
at AB
l12 0 r22
√ √√
aB aO2 aBnO 2
l12
1
l r
2
arctan aO arctan r
aBnO
l
例8-9 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速 度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA来自百度文库
sin
AB
vBA l
vA
l sin
求：点A和B的 加速度。
解: 1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
2
vO r
1l
r
d2 0
dt
2.选基点为Ｏ
aA
aO
aAt O
a
n AO
大小 ? 方向 ?
l12 0 r22
√√ √
aA
aO
a
n AO
l12
l2 r
12
l12
(1
l r
)
3. aB aO aBt O aBnO
大小 ? 方向 ?
例8-11 已知：图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与 BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块 E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 2l 。图示 瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 45
求：该瞬时杆
OA的角速度
与角加速度。
解： 1.杆BE作平面运动，瞬心在O点。
BE
v OE
v l
vB BE OB v
取E为基点
a B
aE
aBt E
aBnE
大小 ? 0 ? E2 BE
方向
沿BE方向投影
aB cos 45 aBnE
2v2 l
aB
aBnE cos 45
2v2 l
2.动点 ：滑块B 动系 ：OA杆
绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O)
解： 动点：滑块B 动系：杆AE
va ve vr
基点：A
ve vB' vA vB' A
va vA vB' A vr
vBA : vB cos30 vA cos60 vBA
vr : vB sin 30 vA sin 60 vr
vr 10 mm s
AE
vBA AB
3 rad s 2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
系杆OA角速度为 O 。
求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
解: 1.轮Ⅱ作平面运动 基点：A
2.vD vA vDA 0
vDA vA O r1 r2
Ⅱ
vDA DA
vA r2
O
1
r1 r2
３. vB vA vBA
大小 ？O r1 r2 Ⅱr2
方向
vB
的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相
对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
2. vO
R d 1 dvO aO
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
aC aO aCt O aCnO
大小 ？ aO R R2
方向 ？
aC aCnO R 2
AB
3
3 2
例8-14 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动， A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时
AB 60mm, 30 , vA 10 3mm / s, aA 10 3mm / s2 ,
vB 50mm / s , aB 10mm / s2 。
求：该瞬时槽杆AE的 角速度 、角加速度及 滑块B相对AE的加速度。
与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为 60。
求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。
解： 1. 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O
2. va ve vr 大小 v ? ?
方向
ve va sin 60
3v 2
vr
va
cos 60
v 2
AB
ve AO
3v 4l
aa aet aen ar aC
求：此瞬时点E的速度。
解： 1. AB作平面运动
vB AB （vA）AB
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vD
vB CB
CD
3vB
0.6928 m
s
3.DE作平面运动
vE DE （vD）DE
vE cos 30 vD
vE
vD cos 30
0.8 m s
例8-6 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：用瞬心法求B端的 速度以及尺AB的角速 度。
解： AB作平面运动，速度瞬心为点C。
AB
vA AC
vA
l sin
vB AB BC vA cot
例8-7
已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE 借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE