行列式
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
行列式的行列式等于什么
行列式的行列式等于什么行列式是数学中的一种可以表示多种图形的计算工具，它由一系列的数值构成的矩阵，用于表示特定的几何体的形状和有关参数。
下面我们来详细讨论行列式的概念和表示法：一、概述1、定义：行列式是不等式组，由一系列表示平面位置、方向、大小等几何关系的数值构成，常用于计算几何体的大小、位置、方向等特性。
2、特点：行列式由矩阵表示，因此制作行列式可以比例地表示复杂的几何图形，是表达几何体信息的一种可行性计算方法。
二、表示形式1、一阶行列式：a表示为a=1。
2、二阶行列式：a表示为a=ad-bc，其中a、b、c和d分别表示每一行的四个元素。
3、三阶行列式：表示为a=a1a2a3-a4a5a6+a7a8a9-a10a11a12，其中a1-a12表示每一行的九个元素。
三、应用1、计算几何体的大小、位置、方向等信息：通过制作行列式可以将复杂的几何图形进行数学计算，从而计算出该几何图形的大小、位置、方向等信息，并可以用于进一步计算和分析。
2、实现空间复杂位置变换：可以通过行列式计算出任意空间图形的复杂位置变换关系，例如，可以用它来模拟人类手指的精细运动。
四、行列式的性质1、行列式的值一定为正：由于行列式是通过四个数值构成的，并且它们之间都是有关联性的，因此行列式的值永远不会是负值。
2、行列式值与行列式表示形式无关：即无论行列式的排列形式如何，所得到的行列式值是一定的，它们之间不受表示形式的影响。
3、行列式的值只与其取值有关：行列式的值完全由其内容取值决定，根据行列式表示的内容可以进行运算出行列式的值。
总之，行列式是数学中的一种重要的计算工具，常用于表示特定的几何体的形状和有关参数。
它通过一系列的数值构成的矩阵，可以比例地表示复杂的几何图形，进行几何体大小、位置、方向等参数的精确计算和表示，有助于科学研究和工程应用。
行列式定义推导
行列式定义推导
行列式是一个数学概念，通常用于线性代数中。
它最初是由数学家莱布尼茨在17世纪提出的，用于解决线性方程组的问题。
行列式的定义和性质在矩阵理论、线性变换、微分方程等多个领域都有广泛的应用。
行列式的定义有多种方式，其中一种常见的是通过排列和逆序数的概念来定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。
按照定义，|A|是所有取自A的n个不同行、n个不同列的元素的乘积的代数和，其中每个元素的符号由它所在的行号和列号共同决定。
具体来说，对于A中的元素a_ij（i为行号，j为列号），它的符号是(-1)^(i+j)，即当i+j 为奇数时符号为负，为偶数时符号为正。
在推导行列式的定义时，我们可以从二阶行列式开始，逐步推广到n阶行列式。
对于二阶行列式，它只有两个元素，所以定义相对简单。
当推广到n阶行列式时，我们通常使用拉普拉斯展开式或递归定义来计算。
拉普拉斯展开式是将行列式按照某一行或某一列展开，得到一系列低阶行列式的和。
递归定义则是通过行列式的性质，如行列式的转置性质、行列式的行列性质等，来逐步计算出行列式的值。
行列式的定义和性质具有很多重要的应用。
例如，在解线性方程组时，行列式可以用于判断方程组的解的情况；在矩阵理论中，行列式可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的逆等；在微分方程中，行列式可以用于判断线性微分方程组的解的存在性和唯一性等。
因此，行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它的定义和性质值得我们深入学习和理解。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
行列式运算法则
• 利用几何法，通过图形直观地证明性质
行列式的特殊类型
对角行列式
• 对角线上的元素相乘后求和，即det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(I_(ij))，其中I是
单位矩阵
上三角行列式和下三角行列式
• 上三角行列式：主对角线以下的元素全为0的行列式
det(I)
• 伴随矩阵可以用来计算行列式的导数
03
逆矩阵和伴随矩阵的计算方法
• 利用高斯消元法计算逆矩阵
• 利用行列式的性质和公式计算伴随矩阵
05
行列式运算的误差分析与优化
行列式运算的误差来源
误差来源分析
误差控制方法
• 舍入误差：由于计算机的浮点数表示和运算，可能导致
• 提高计算机的浮点数精度
• 对角线求和性：det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(A(ij))，其中A(ij)是去掉第i行和第
j列后的矩阵
• 交换律：det(AB) = det(BA)
• 多行（列）展开性：可以将行列式的一行（列）展开，得到一个新的行列式
行列式性质的证明方法
• 利用定义法，通过计算证明性质
行列式运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS
01
行列式的定义与性质
行列式的定义及其意义
行列式是线性代数中的一个重要概念
• 定义：一个n阶方阵A的元素aij（i, j = 1, 2, ..., n）按照一定的规则
相乘后求和，记作det(A)
• 意义：行列式反映了矩阵的一些重要性质，如线性无关向量组的体
• 行展开式：将第i行展开，得到一个新的(n-1)阶行列式
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
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( i j ).
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 r i kr j 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 3 1 3 0 5 4 2 7 4 7 10 3 9 2 14 10 1 5 1 6 2
3
例１
D
2 3 4
1 3
a 1k 0
例3
设 D
a k1 c 11 c n1
a 11
a kk c1k b 11 bn1 b1 n b nn
b 11 bn1 b1 n , b nn
c nk
a 1k
D 1 det( a ij )
a k1
, D 2 det( b ij ) a kk
a 2n
a nn a 1n a 2n a nn
则D等于下列两个行列式之和：
a 11 D a 21 a n1 a 1i a 2i a ni a 1n a 2n a nn a 21 a n1
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
1 3 2 2 2
r3 r2
0 0 0 0
1
r4 r3
1 2 0 0 0
2 1 1 0 2
3 5 1 1 2
1 3 2 0 2
2
0 0 0 0
1
r5 2 r3
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
证明
D D1D 2 .
证明
对 D 1 作运算 r i kr j，把
p 11 设为 D1 pk1 p kk 0 p 11 p kk ;
D 1 化为下三角形行列式
对 D 2 作运算
c i kc j , 把 D 2 化为下三角形行列式
q 11 0 p nk q 11 q nn .
思考题
计算 4 阶行列式
a
2
1 a 1 b 1
2
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
b D c d
2 2
2
2
已知
abcd
1
c 1 d
2
2
思考题解答
解
a b D c d
2 2
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1
1 a 1 b 1 c 1 d
设为
D2
q n1
对 D 的前 k 行作运算
r i kr j ，再对后
n 列作运
算 c i kc j , 把 D 化为下三角形行列式
p 11 D pk1 c 11 c n1
故
p kk c1k c nk q 11 q n1
0 , q nn
D p 11 p kk q 11 q nn D 1 D 2 .
例4
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1 1 x2 x2 x2
n1 2
1 xn xn
2
Dn
x1 x1
2
( x i x j ).
(1 )
n i j1
n1
xn
n1
证 用数学归纳法
D2
1 x1
1 x2
x2 x1
( x i x j ),
2
2
2
2
2
2
2 i j1
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（ 1）对于
Dn 1 0 0 0 x2
n2
n 1 阶范德蒙德行列式成立
，
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) x3
n2
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 ) ( x3 x1 )
a 11 a 1i a 2i a ni a1 j a 1n a2j a nj a1 j a2 j
nj
例如
a 21 a n1 a 11 a 21
j
a2 j k a ) ( a 2 i ka
a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n
ka
i1
in
ka
i2
ka
k a i1
a i2
a in
a n1 a n2 a nn
a n1 an2 a nn
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
例如
1 7 5 1 7 5
1 6 3
7 6 5
5
7
1 6 3
5 2. 8
6 3
6 5
2 3 8 6
5 6
8, 2
2 6 8
5
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D ,
D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
ka
i2
ka
a n1 a n2 a nn
a n1 an2 a nn
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a a (a a ) a
11 12 1i 1i 1n
例如
D
a 21 a n1
a 22 a n2
(a 2i a ) 2i ( a ni a ) ni a 11 i a1 a 2i a ni
1
1 0 2 2 0
1 1 2 2 0 0
2 1 0 1 2
2 1 0 1 2
3 0 4 5 2
3 5 4 0 2
1 2 1 3 2
1 3 1 2 2
r 3 3 r1
r 4 4 r1
0 0 0 0
r2 r4
0 0 0 0
1
1 2 0 0 0
1 xn x1 xn ( xn x1 )
n2
xn
( xn x1 )
按第 1 列展开，并把每列的公 就有
因子 ( x i x 1 ) 提出，
1 ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 ) x2 x2
n2
1 x3 x3
n2
1 xn
n2
xn
n-1阶范德蒙德行列式
D n ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 )
(xi x j )
n i j 2
( x i x j ).
n i j1
三、小结
行列式的6个性质 (行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值．
t
1
1 a p 1a p 2 a p n .
t
1 2 n
又因为行列式D可表示为
D
1 a p 1a p 2 a p n .
t
1 2 n
故
D D .
T
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
记 D det a ij 的转置行列式
b 11 D
T
b 12 b 22
b1 n b2 n ,
b 21
bn1 bn 2
,n,
2
b nn
即 b ij a ji i , j 1, 2 ,
按定义
n
D
T
1 b 1 p b 2 p b np
2 j
a1n a2 j
ri kr
a n1
( a ni ka
)
a nj
a nj
性质6 行列式任一行（列）的元素与另一行 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j.
1 1 a ( n 1 ) b 1 1 1 a ( n 1 ) b b ab
b a b b b
b b a b
b
b b b a
ab
0
ab
a ( n 1 ) b ( a b )
n1
.
0
a 11
第 i 行
a i1 A
j1
a in A
jn
a i1 a n1
相同
第 j 行
当 i j时,
a i1 A
j1
a i2 A
j2
a in A
jn
0,
( i j ).
同理
a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a ni A nj 0 ,
1 3 0 5 4