张量分析课件-1.6 张量的基本概念

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的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi

r xi

zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi

j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk

1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；

张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)欧阳文创编

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。

向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。

而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。

张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。

我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。

张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。

在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。

而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。

要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。

进而发展了张量分析。

现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。

比如泛函分析、纤维从理论等。

代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。

其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。

而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。

线性代数的精髓概念根本涉及不到。

这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。

现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。

这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。

公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。

武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。

应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。

《张量基础知识》课件

2 线性变换(linear transformation)
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多维数据。
《张量基础知识》PPT课件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组，用于表示和处理多维数据。它具有多个轴和形状，可以存储和计算多维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维度和形状。它可以是标量、向量、矩阵或更高维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的不同可以分为标量、向量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量在基向量变换下的行为。张量的象性可以用来研究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量在坐标变换中的不变性。幺模张量在物理和拓扑学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程，张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两个形状相同的张量可以直接相加。

数学张量分析PPT课件

x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度：左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为和ijk 。ijk 由此定义可知

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件

精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时当r, s, t为逆序排列时当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章张量函数和张量分析

| x x0 |
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函数的连续性定义。设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ：对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则：（4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。

张量的基本概念

张量的基本概念
嘿，咱来说说“张量”是啥玩意儿哈。

有一回我看一本很复杂的物理书，里面提到了张量。

我当时就懵了，这是啥神秘的东西呢？后来我专门去研究了一下。

张量呢，简单来说就是一种比普通数字和向量更复杂的东西。

就像你玩游戏，有普通的道具，还有那种很厉害很复杂的超级道具。

张量就有点像那个超级道具。

比如说，我们平时说的速度、力这些都是向量，只有大小和方向。

但是张量呢，它可以描述更多的信息。

我记得有一次，我看到一个工程师在计算桥梁的受力情况。

他就用到了张量，因为桥梁的受力很复杂，不是简单的一个方向的力就能说清楚的。

所以啊，张量就是一种很厉害的数学和物理工具，可以帮助我们描述更复杂的情况。

下次你看到那些很复杂的科学问题的时候，说不定就有张量在里面发挥作用呢。

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证：刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证：质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

《张量分析本科》课件

2
流体力学
流体力学中的张量可描述液体和气体的流动性质，从而帮助工程师设计和优化流体系统。
3
材料科学
张量在材料的力学行为、热膨胀和磁性等方面的研究中起着重要作用，有助于材料性能的改进。
经济学中的张量应用
金融风险评估市场分析关联性，对风险评估和投资决策具有重要意义。
《张量分析本科》PPT课件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科，促进了不同学科之间的交流与合作，推动了学科发展的跨越性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助初学者快速入门和掌握张量分析的基本概念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析可以用于挖掘大规模数据集中的模式和趋势，为经济预测和决策提供准确和可靠的依据。
张量分析的重要性
科学研究
张量分析在各个学科的科学研究中发挥着重要作用，帮助解决复杂问题和揭示自然规律。
技术发展
随着科技的发展和应用领域的拓展，张量分析为新技术的发展提供了关键理论基础。
张量的坐标表示和变换规律

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T ij βki βl jT kl
T
i j
Tij βik β ljTkl
j k j l T β β i i l T k
β β T
l j
i k
k l
同一坐标系内，张量的逆变、协变、混变分量之间满足指标升降关系。m 阶张量可以有 nm 种分量的集合。 n 维空间中 m 个矢量分量进行并乘运算所得到 nm 个数的集合可构成 m 阶张量。例如：
t Tijk βir β s β j k Trst
T
ij k
β β β T
t k
i r
j s
rs t
t r T i jk βri β s β T j k st

1.6.2.1 张量的实体表示法（并矢表示法）
j i T T ij gi g j Tij g i g j T i j gi g j T i g gj k i j k T T ijk gi g j gk Tijk g i g j g k T ij g g g T g g g k i j jk i
基张量（基矢量的并矢）线性无关。
在张量的实体表示法中，分量指标的排列顺序和相配基矢量的排列顺序是一一对应的，不能随意更换。例如
T T gi g j T g j gi T gi g j T g j gi
ij ji ji ij
1.6.3
度量张量
G g ij gi g j gij g i g j δ ij gi g j δi j g iT
st i

T
ij
β β T rs
r i s j rs s j r s s r
Tij β β T T
i j j i i r
β β T
r i j s
T
β β T
或者
T ijk βri βsj βtk T rst
gjg j g jgj
张量分析及连续介质力学
1.6 张量的基本概念
1.6.2 张量的定义与两种表示法
在n维空间中，由nm个有序数组成的集合，当坐标系改变时满足坐标转换关系，则该集合称为n维空间中的m阶张
量。若坐标转换系数均为逆变（或协变）转换系数，则这nm
个数称为张量的逆变（或协变）分量，用上标（或下标）加以标识；若坐标转换系数既有逆变、又有协变转换系数，则这nm个数称为张量的混变（或混合）分量。例如：
Tij g ir g jsT girT
rs
r j
g jsT
s i

或者
js kt i T ijk g ir g js g ktTrst g ktT ij g g T st t
Tijk gir g js g ktT
坐标转换关系
rst
g ktT
i r j s
T
T
1.6.2.1
ik j
i k j
u vjw
i
m j m k n
k
n β u β v β w β β β T lm n m j
i l l
i l
k n
张量的分量表示法
指标升降关系
T ij g ir g jsTrs g irT r j g jsT is