高职高等数学9-高阶导数
2024年度-高等数学(高职)教案
08
多元函数微积分学初步
38
多元函数概念及其性质
多元函数定义
设D为一个非空的n元有序数 组的集合，f为某一确定的对 应规则。若对于每一个有序 数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确定的 实数y与之对应，则称对应规 则f为定义在D上的n元函数。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期 性、连续性等。
应用
在近似计算、函数性质研究、微分方程求解等方面有广泛应用。
26
07
空间解析几何与向量代数
27
空间直角坐标系和向量概念
02
01
03
空间直角坐标系的概念和性质 定义空间直角坐标系 阐述坐标轴、坐标平面和坐标原点的概念
28
空间直角坐标系和向量概念
01
介绍右手坐标系和左手坐标系的区别和应用
02
向量的概念和性质
函数的分类
03
根据函数的性质，可以将函数分为基本初等函数、初等函数和
非初等函数等类型。
8
极限概念及运算法则
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势的重要工具。
极限的性质
包括唯一性、有界性、保号性等，这些性质是求解极限问题的基 础。
极限的运算法则
包括四则运算法则、复合函数的极限运算法则、洛必达法则等， 这些法则是求解复杂极限问题的有效手段。
高等数学(高职)教案
1
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 函数、极限与连续 • 导数与微分 • 积分学 • 微分方程初步 • 无穷级数初步 • 空间解析几何与向量代数 • 多元函数微积分学初步
2
01
课程介绍与教学目标
高等数学隐函数求导高阶导数
一、隐函数求导简介d e f 变量 y 对变量x 的函数关系通过一个方程来给出()0,=y x F决定了一个关于x 的函数()x f y =，我们称它为由上述方程确定的隐函数。
例1： 122=+y x 0,11≥≤≤-y x ⇒21x y -= 11≤≤-x122=+y x 0,11≤≤≤-y x ⇒21x y --= 11≤≤-x例2： 12222=+by a x ⇒22x a a b y -±=()a x a ≤≤- 求导1、 求方程122=+y x 所确定隐函数的()x f y =导数.解 对方程进行微分022=+ydy xdx于是 ()yx dx dy x f -==' 可以利用21x y -=来验证2、 求方程0=--xy e e yx 所确定的隐函数()x f y =的导数. 解 对方程两端进行微分0=---xdy ydx dy e dx e y x于是 ()xe y e dx dy xf y x +-==' 二、高阶导数()x f 在区间I 上可导，则()x f '仍然是定义在I 上的函数，如果()x f '也在I 上可导，则称其导函数()()''x f 为()x f 的二阶导数，记为)(x f ''，表示方法还有,,22dx y d y ''22dx f d . 类似可以定义函数()x f y =的三阶、四阶以至n 阶导数.三阶导数皆为)(x f '''，四阶导数记为()()x f 4，n 阶导数记为()()x fn 或者分别记为()()n y y y ,,4'''，或者n n dx y d dx y d dx y d ,,4433，即()()()()()'=-x f x f n n 1或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11n n n n dx y d dx d dx y d 例 设a x y =，求()n y解 1-='a ax y ，()()211---='=''a a x a a ax y …………()()()n a n x n a a a y -+--=11 m a =（整数），那么m n >时()0=n y例 设bx e y =求()n y解 bx be y ='，bx e b y 2='',, ()bx n n e b y =.例 设()x y +=1ln 求 ()n y解 x y +='11，()()21)1(11--+-='+=''x x y ,, ()()()()()()()()n n n n x n x n y +--=-+---=--1!1111211例 设x y sin =，求()n y .解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=''22sin sin πx x y ,, ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x y n Leibniz 公式()()[]()()()()()∑=-=n j j n j j n n x g x f C x g x f 0 条件是()()x g x f ,都有n 阶导数例 设x x y sin 2=，求()1998y解 ()()()()()()()xx x x x x x x x x y sin 3990006cos 3996sin sin 3990006sin 3996sin 219961997199821998++-=++=。
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
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高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高等数学《高阶导数》
'2 (t)
'(t)
''(t )
'(t) '(t) '3 (t)
''(t )
d3y dx3
d dx
(
d2y dx2
)
d dt
(
d2y dx2
)
dx
dt
例12
x y
ln(1 t2 ) t arctan
t
,
求
d2 dx
y
2
，d 3 y dx3
解：dy
1
1 1 t
2
dx
2t
1 t2
t 2
3、 设 y (1 x 2 )arctan x，则 y=________.
4、 设 y xe x2 ,则 y=_________.
5、 设 y f ( x 2 ), f ( x)存在，则 y=_________.
6、 设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2)=_________.
cos(
x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n )
2
同理可得
(cos
x)(n)
cos( x
n
)
2
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cos x)(n) cos( x n )
1、 y 2x 3 x 4 ； x
2、 y cos2 x ln x ；
3、 y ln( x 1 x 2 ).
高等数学高职高专教材第九版
高等数学高职高专教材第九版第一章极限与连续性1.1 集合的表示与性质集合的概念是数学中重要且基础的概念之一。
集合是由一些确定的事物组成的整体，通常用大写字母A、B、C等表示。
集合中的元素则用小写字母a、b、c等表示。
集合中的元素可以是任意事物，可以是数字、字母、符号、几何图形等。
1.2 极限的定义与性质极限是数学中用来研究函数性质的重要概念。
对于一个函数f(x)，当自变量x趋近于某个数a时，如果函数值f(x)也趋近于一个确定的数L，那么称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的定义可以用ε-δ语言表示，也可以用数列收敛的概念表示。
1.3 极限的运算极限具有一些重要的运算性质。
例如，当两个函数的极限存在时，它们的和、差、积、商的极限也存在，并且有相应的性质和定理可以应用。
在进行极限运算时，我们需要注意一些常见的极限形式，如0/0型、无穷/无穷型、1^∞型等。
1.4 无穷小与无穷大在研究极限时，我们经常会遇到无穷小和无穷大的概念。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于无穷大的函数。
无穷小和无穷大具有一些重要的性质和运算规则。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是研究函数变化率的重要工具。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数是函数在这一点的切线斜率，记作f'(x)。
导数有一些重要的性质，如可加性、可乘性、导数与函数的凹凸性等。
2.2 基本导数公式在计算导数时，有一些基本的导数公式可以帮助我们简化计算。
这些基本公式包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等。
通过掌握这些基本公式，我们可以有效地计算各种函数的导数。
2.3 高阶导数与高阶微分在导数的概念中，还有一个重要的概念是高阶导数。
高阶导数指的是对函数的导数再求导数。
同样地，高阶导数也有一些基本公式和性质。
高阶微分是导数的进一步推广，它表示对函数的微分再进行微分。
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
《高阶导数》课件
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2