北京四中2013届初三上学期期中数学试题
北京四中111104初三数学期中试卷
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）． A ．0B． 2 C ．−1 D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =， AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12． 已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15． 已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？ PQ A DCBP AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y=ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO y四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）五．解答题（本题5分）22．已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O直径，射线线ED与⊙O的另一个交点为C，试判断线段AC与线段BC的关系．六．综合运用（23、25题7分，24题8分）23．已知： 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2−bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证： 关于x 的一元二次方程ax 2−bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根．24．已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）求B、C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？第24题图25．抛物线23A、两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴y ax bx=+-交x轴于B为直线1AB=．x，4=（1）求二次函数23y ax bx=+-的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到CB、两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于NM、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参考答案及评分标准 四中一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9．10． −4， 5 11． 849π- 12． ①②③⑤（少选1个扣1分，多选或选错均不得分）三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）13． 计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π解：原式=127-…………．．4分（化简运算对一个数给1分）=28……………………5分 14．用配方法解方程：212302x x --= 解：21(4)302x x --= ………．．1分 21(2)52x -= ………．．3分2x -= ∴ 1222x x == ……．．5分15．已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有210212m m m +≠⎧⎨--=⎩ (2)解得 m =3………．．．5分16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1） 弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长． 解：依题设有OC ⊥AB 于C ，又∵AB 为⊙O 的弦∴ AC =BC =12AB ……… 2分连结OA 则 AC =又∵OA =6，OC =3∴ AC =∴ AB =………3分（2）由（1）知，在Rt △ACO 中，OA =6，OC =3 ∴ ∠OAC =30° ∴ ∠AOC =60°∴ ∠AOB =120° ………4分∴ AB ⌒ = 123OA π⋅⋅=4π ………．．5 分17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0（1 解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x =1， 顶点坐标为（1，4） ……1分∴ 二次函数解析式可变形为2(1)4y a x =-- 又由图象过（0，-3），有-3=a -4，解得a =1 ∴ 二次函数解析式为223y x x =-- ．．．．．2分（2）将表中的空白处填写完整； ．．．．．3分（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； ………4分 （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．x <−1或x >3．．．．．5分18．如图，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点， 以 OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证： BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5， DC =3， 求AC 的长． 解：（1）证明： 如图1，连接OD ． ∵ OA =OD ， AD 平分∠BAC ，∴ ∠ODA =∠OAD ， ∠OAD =∠CAD ． ………………1分∴ ∠ODA =∠CAD ．∴ OD //AC ． …………………………………2分∴ ∠ODB =∠C =90︒．∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3分 （2）解法一： 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E ． ∴ ∠AED =∠C =90︒．又∵ AD =AD ， ∠EAD =∠CAD ，∴ △AED ≌△ACD ． ∴ AE =AC ， DE =DC =3．在Rt △BED 中，∠BED =90︒，由勾股定理，得 图2 BE =422=-DE BD ． ………………………………………………………4分 设AC =x （x >0）， 则AE =x ．在Rt △ABC 中，∠C =90︒， BC =BD +DC =8， AB =x +4， 由勾股定理，得 x 2 +82= （x +4） 2． 解得x =6．CAOB EB CAO解法二： 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB ． ∵ AD =AD ， ∠EAD =∠BAD ， ∴ △AED ≌△ABD ． ∴ ED =BD=5．在Rt △DCE 中，∠DCE =90︒， 由勾股定理，得CE =422=-DC DE ． ………… ……………4分 图3在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒， BC =BD +DC =8， 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2．即 AC 2 +82=（AC +4） 2．解得 AC =6． …………………………………………………………5分19． 解：（1） 树状图为：共有12种可能结果． ··················································································· 3分 （2）游戏公平． ···················································································· 4分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴ 桐桐获胜的概率P =126=21． ·································································· 5分 大诚获胜的概率也为21． ··········································································· 6分∴ 游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x 元，则有(40)(202)1200x x -+= ……………．2分 可解得1210,20x x ==，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 ………．3分 设降价x 元时，盈利为y 元，则 (40)(202)y x x =-+ 0<x <40 ………．4分 解析式可变形为22(15)1250y x =--+ 且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． …………5分． 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分BDCAOE五．解答题（本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系． 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O ∴∠B +∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45°∴ AC =BC ……．．5分 23． 解：（1）解：由 kx =x +2，得（k -1） x =2．依题意 k -1≠0．∴ 12-=k x ． ……………………………………1分 ∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k -1=1或k -1=2．∴ k 1= 2， k 2=3． …………………………………………………2分 （2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a -b +kc ， kc = b -a ．∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--a ab aba …3分 （3）证明：方程②的判别式为 Δ=（-b ）2-4ac = b 2-4ac ． 由a ≠0， c ≠0， 得ac ≠0．证法一：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分 （ ii ）若ac >0， 由（2）知a -b +kc =0， 故 b =a +kc ．Δ=b 2-4ac = （a +kc ）2-4ac =a 2+2kac +（kc ）2-4ac = a 2-2kac +（kc ）2+4kac -4ac =（a -kc ）2+4ac （k -1）． …………………………………………………5分 ∵ 方程kx =x +2的根为正实数， ∴ 方程（k -1） x =2的根为正实数．由 x >0， 2>0， 得 k -1>0． …………………………………6分 ∴ 4ac （k -1）>0． ∵ （a -kc ）2≥0，∴Δ=（a -kc ）2+4ac （k -1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分 证法二：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分 （ ii ）若ac >0，∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=（-b ）2-4akc =b 2-4akc ≥0． （b 2-4ac ）-（ b 2-4akc ）=4ac （k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0．∴ Δ= b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分 综上， 方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知，a b kc =-，∴2222244()(2)4(1)b ac b c b kc b c k c ∆=-=--=-+- 可以证明2b c -和c 不能同时为0（否则0a =），而10k ->，因此20∆>．24．解：（1）∵A （2，0）， ∴OA =2．作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG =3， ∴B （1，3）． ………………………………1分 连AC ，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO =60°．90AOC ∠=，∴OC =332． ∴C （0，332）． …………………………………2分（2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD =32．∴D （32-，0）． 设直线CD 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==bk b 320332，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3323b k ∴直线CD 的解析式为y =3323+x ．…4分 （3）∵AB =OA =2，OD =32，CD =2OD =34，BC =OC =332，∴四边形ABCD 的周长6+332． 设AE =t ，△AEF 的面积为S ， 则AF =3+33－t ，S =t 43（3+t -33）． ∵S =t 43（3+t -33）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2337639432t ． ∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+≤≤≤322333020t t ∴2331≤≤+t …………………………6分 ∴当t =639+时，S 最大=831237+．…………8分（第24题）EF（第24题）25．（1）设抛物线的解析式为2(1)y a x h =-+，∵点(3 0)B ，、0 3C -（，）在抛物线上，∴403.a h a h +=⎧⎨+=-⎩， 解得14.a h =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--． ……………2分 （2）223(1)(3)y x x x x =--=+-， ∴A （1-，0），B （3，0）． ∴221310AC =+=． ∴P A=PB ，∴PB PC PA PC -=-． ………．．3分 如图1，在△P AC 中，PA PC AC -<，当P 在AC 的延长线上时，10PA PC AC -==． 设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴03.k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得33.k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为33y x =--． 当1x =时，336y =--=-．∴当点P 的坐标为（1，6-）时，PA PC -的最大值为10．……………．5分 （3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，N y r =． ∵点N 的横坐标为1r +，∴22(1)2(1)34N y r r r =+-+-=-． ∴24r r -=． 解得11172r +=，21172r -+=． ……………．．7分。
北京四中111104初三数学期中试卷
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号姓名分数一、选择题（每题4分，共32分．以下各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．）1．以下事件是必定事件的是（）．A．任意掷两个均匀的骰子，向上边的点数之和是 6B．掷一枚硬币，正面向上C．3 个人分红两组，必定有两个人分在一组D．翻开电视，正在播放动画片2．抛物线 2y (x1) 2 能够由抛物线2y x 平移而获得，以下平移正确的选项是（）．A．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位B．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位D．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（）．A． 2250 cm B．2500 cm C．2 2750 cm D．1000 cm4．两圆半径分别为 2 和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的地点关系是（）．A．外离B．外切C．订交D．内切5．同时扔掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）．1 1 3 1 A．B．C．D．4 3 4 2y N6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P 与x 轴P 相切于点Q ，与y 轴交于M (0，2) ，N (0，8) 两点，则点P 的坐标是Mx （）．OQA．(5，3) B．(3，5) C．(5，4) D．(4，5)7．抛物线 2 1y x kx 与2y x x k 订交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（）．A．0 B． 2 C．- 1 D．1 48．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC， C 90 ，CD 6cm，A D AD＝2cm，动点P、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA、AD、DC 运P动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P抵达点A时，点Q 正好抵达点C ．B Q C设P 点运动的时间为t (s) ，△BPQ 的面积为y 2(cm ) ．以下图中能正确表示整个运动中y 对于t 的函数关系的大概图象是（）．A．B．C．D．二．填空题（每题4分，此题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．10．函数 2 2 3( 2 2)y x x x 的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40 °，则图中阴影部分的面积是 AP_______________．F EBD C12．已知二次函数 2y ax bx c 知足：（1）a b c；（2）a b c ；（3）图象与x轴有2 个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①a 0 ②a b c 0 ③c 0 ④a 2b 0 ⑤b 1 2a 4三．解答题（每题5分，此题共30分）13．计算：31 150 2 2 14．用配方法解方程：2 3122x 2x 3 015．已知 2 2 1m my (m 1)x (m 3)x m ，当m 为什么值时，是二次函数？16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OC 为3 cm．试求：（1）弦AB 的长；（2）A⌒B 的长．OA C B17．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象的极点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：x 0 2y 0 - 3 - 4 - 3 0（1）求出二次函数的分析式；yxO（2）将表中的空白处填写完好；2+bx+c的图象；（3）在右侧的坐标系中画出y=ax（4）依据图象回答：2+bx+ c的值大于0．_______________________ 当x 为什么值时，函数y=ax18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的均分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D．（1）求证：BC 是⊙O 切线；A （2）若BD =5，DC=3，求AC 的长．OB CD四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．以下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从节余的 3 张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；不然，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的全部结果；（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公正吗？请说明原因．20．某体育品商铺在销售中发现：某种体育器械均匀每日可售出20 件，每件可赢利40 元；若售价减少 1 元，均匀每日便可多售出 2 件；若想均匀每日销售这类器械盈利1200 元，那么每件器械应降价多少元？若想赢利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的地点．（保存作图印迹，不写作法）五．解答题（此题5分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个极点A、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为C，试判断线段AC 与线段BC 的关系．BOGAE D C六．综合运用（23、25题7分，24题8分）23．已知：对于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2- bx+ k c （c≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；2 2()的值；kc b ab（2）求代数式akc2- bx+ c=0 ②必有两个不相等的实数根．（3）求证：对于x 的一元二次方程ax24．已知：如图，在直角坐标系xoy 中，点A（2，0），点 B 在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C，过点C 的圆的切线交x 轴于点D．（1）求B、C 两点的坐标；（2）求直线CD 的函数分析式；（3）设E、F 分别是线段AB、AD 上的两个动点，且EF 均分四边形ABCD 的周长．尝试究：当点 E 运动到什么地点时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？第24 题图25．抛物线 2 3y ax bx 交x 轴于A、B两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线x 1，AB 4．（1）求二次函数 2 3y ax bx 的分析式；（2）在抛物线对称轴上能否存在一点P ，使点P 到B、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明原因；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M、N 两点，若以MN 为直径的圆恰巧与x 轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参照答案及评分标准四中一、选择题：（此题共32 分，每题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B B A D B B 二、填空题：（此题共16 分，每题 4 分）9．3 2210．- 4， 5 11． 48912．①②③⑤（少选 1 个扣 1分，多项选择或选错均不得分）三、解答题：（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：50 2 122 0133解：原式=5 2 2 1 27 ⋯⋯⋯⋯．．4 分（化简运算对一个数给 1 分）= 4 2 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分14．用配方法解方程：122x 2x 3 0解：122(x4x) 3 0 ⋯⋯⋯．．1 分122(x 2 ) 5 ⋯⋯⋯．．3 分x 2 10∴x1 2 10, x2 2 10 ⋯⋯．．5 分15．已知 2 2 1m my m x m x m ，当m 为什么值时，是二次函数？( 1) ( 3)解：依题设，若原函数为二次函数，则有m 1 02m 2m 1 2⋯⋯⋯．2 分解得m=3 ⋯⋯⋯．．．5 分16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OC 为3 cm．试求：（1）弦AB 的长；（2）A⌒B 的长．解：依题设有OC⊥AB 于C，又∵AB 为⊙O 的弦1∴AC=BC= AB ⋯⋯⋯ 2 分2 AOC B连结OA 则 2 2AC OA OC又∵OA=6，OC=3∴AC=3 3 ∴AB=6 3 ⋯⋯⋯3 分（2）由（1）知，在Rt△ACO 中，OA=6，OC=3 ∴∠OAC=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=120°⋯⋯⋯4 分⌒∴AB = 132 OA =4 ⋯⋯⋯．．5 分2+b x+c 的图象的极点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下17．已知二次函数y=ax表是x 与y 的对应值表：x -1 0 1 2 3y 0 -3 -4 -3 0 （1）求出二次函数的分析式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1，极点坐标为（1，4）⋯⋯1 分∴二次函数分析式可变形为 2y a( x 1) 4又由图象过（0，-3），有-3= a-4，解得a=1∴二次函数分析式为 2 2 3y x x ．．．．．2 分（2）将表中的空白处填写完好；．．．．．3 分（3）在右侧的坐标系中画出y=ax2+bx+ c的图象；⋯⋯⋯4 分（4）依据图象回答：当x 为什么值时，函数y=ax2+b x+c 的值大于0．x<- 1 或x>3．．．．．5 分18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的均分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D．（1）求证：BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5，DC=3，求AC 的长．解：（1）证明：如图1，连结OD．A ∵OA=OD，AD 均分∠BAC，O ∴∠ODA =∠OAD ，∠OAD =∠CAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴∠ODA =∠CAD．∴OD //AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴∠ODB =∠C =90 ．B D C∴BC 是⊙O 的切线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分图1（2）解法一：如图2，过 D 作DE⊥AB 于E．A∴∠AED =∠C =90 ．又∵AD =AD，∠EAD =∠CAD，∴△AED≌△ACD．EO∴AE= A C，DE =DC =3．B在Rt△BED 中，∠BED =90 ，由勾股定理，得图2D C2 DE2BE= BD 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设AC =x（x>0），则AE= x．在Rt△ABC 中，∠C=90 ，BC=BD +DC=8，AB =x+4，由勾股定理，得2 x2+8 = （x+4）2．解得x=6．即AC=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分解法二：如图3，延伸AC 到E，使得AE=AB．A ∵AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴△AED≌△ABD．O∴ED =B D= 5．在Rt△DCE 中，∠DCE =90 ，由勾股定理，得B D C2 DC2CE= DE 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分图3E 在Rt△ABC 中，∠ACB=90 ，BC=BD+DC =8，由勾股定理，得AC2 + B C2= AB 2．2 即AC2+8 =（AC +4）2．解得AC=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分19．解：（1）树状图为：共有12 种可能结果．···················································································3 分（2）游戏公正．···················································································4 分∵两张牌的数字都是偶数有 6 种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴桐桐获胜的概率P=612=12．··································································5 分大诚获胜的概率也为12．···········································································6 分∴游戏公正．20．某体育品商铺在销售中发现：某种体育器械均匀每日可售出20 件，每件可赢利40 元；若售价减少 1 元，均匀每日便可多售出 2 件．若想均匀每日销售这类器械盈利1200 元，那么每件器械应降价多少元？若想赢利最大，应降价多少？解：设若想盈余1200 元，每件器械应降价x 元，则有( 4 0 x ) ( 2 0x 2 ) 1 2 ⋯⋯⋯⋯⋯．2 分可解得x1 10, x2 20 ，答：若想盈余1200 元，每件器械降价10 元或20 元均可⋯⋯⋯．3 分设降价x 元时，盈余为y 元，则y (40 x)(20 2x) 0<x<40 ⋯⋯⋯．4 分分析式可变形为 2y 2(x 15) 1250 且0<15<40由此可知，当降价15 元时，最大赢利为1250 元．⋯⋯⋯⋯5 分．21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的地点．（保存作图印迹，不写作法）任作2 弦给1 分，两条中垂线各 1 分，标出并写出点O 即为所求给 1 分五．解答题（此题 5 分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个极点A、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为C，试判断线段AC 与线段BC 的关系．解：线段AC 与线段BC 垂直且相等⋯⋯⋯1 分证明：连结AD ⋯⋯⋯2 分∵四边形AEDG 为正方形B ∴∠ADE=45°∵四边形ABCD 内接⊙O A G O∴∠B+∠ADC =180°⋯⋯．．．3 分又∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE=45°又∵AB O为⊙直径E D C∴∠ACB=90°，即AC⊥BC ⋯⋯4 分∴∠BAC=45°∴AC=BC ⋯⋯．．5分23．解：（1）解：由kx= x+2，得（k- 1）x=2．依题意k- 1≠0．∴2x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分k 1∵方程的根为正整数，k 为整数，∴k- 1=1 或k- 1=2．∴k1= 2，k2=3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2）解：依题意，二次函数y=ax2- bx+ k c 的图象经过点（1，0），∴0 =a- b+ k c，kc = b- a ．∴( 2 2 22 2 2kc) b ab (b a) b ab b abakc a(b a)ab2a2ab 2 ab 2a ab= 1.2ab a⋯3 分（3）证明：方程②的鉴别式为Δ=（- b）2- 4ac= b2- 4ac．由a≠0，c≠0，得ac≠0．证法一：（i ）若ac<0，则- 4ac>0．故Δ=b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯ 4 分（ii ）若ac>0，由（2）知a- b+kc =0，故b= a+kc．2- 4ac= （a+kc）2- 4ac= a2+2kac+（kc）2- 4ac = a2- 2kac+（kc）2+4kac- 4acΔ=b=（a- kc）2+4ac（k- 1）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵方程kx=x+2 的根为正实数，∴方程（k- 1）x=2 的根为正实数．由x>0，2>0，得k- 1>0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 0，∴4ac（k- 1）>0．∵（a- kc）∴Δ=（a- kc）2+4 a c（k- 1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯⋯⋯7 分证法二：（i ）若ac<0，则- 4ac>0．故Δ=b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯4 分（ii ）若ac>0，∵抛物线y= a x2- bx+kc 与x 轴有交点，∴Δ1=（- b）2- 4akc =b2- 4akc 0．（b2- 4ac）- （b2- 4akc）=4ac（k- 1）．由证法一知k- 1>0，∴ b2- 4ac> b2- 4akc 0．∴Δ= b2- 4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分综上，方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知， a b kc，∴ 2 2 2 22 b 4ac b 4c(b kc) (b 2c) 4(k 1)c能够证明b 2c 和c 不可以同时为0（不然a 0），而k 1 0，所以 2 0．24．解：（1）∵A（2，0），∴OA =2．作BG⊥OA 于G，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG= 3 ，∴B（1， 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分连AC，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO=60°．AOC 90 ，∴OC= 2 33．（第24 题）∴C（0，2 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分3（2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径，又∵CD 是圆的切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD =30°，OD=23 ．∴D（23，0）．设直线CD 的函数分析式为y=kx+ b（k≠0），b 0 2 3323k b，解得kb233则3∴直线CD 的分析式为y=2 33x ．⋯4 分3（3）∵AB=OA =2，OD= 2，CD=2 OD=34，BC=OC =32 3 ，32 3∴四边形ABCD 的周长6+．3 设AE= t，△AEF 的面积为S，则AF =3+3 ∵S=t43－t S=t，343（3+ t3）=3（3+ t339 373t．4632）．EF∵点E、F 分别在线段AB、AD 上，∴0 t3233t 2231 3∴t 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3（第24 题）∴当 t= 9 3 6 时，S 最大= 7 3 12 3 8 ．⋯⋯⋯⋯ 8 分25．（1）设抛物线的分析式为 2y a( x 1) h ，∵点B( 3，0) 、C（0，3）在抛物线上，∴4a h 0，a h 3.解得ah1，4.∴抛物线的分析式为 2 2y (x 1) 4 x 2x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2） 2 2 3 ( 1)( 3)y x x x x ，∴A（1，0），B（3，0）．∴ 2 2AC 1 3 10 ．∴PA=PB ，∴PB PC PA PC ．⋯⋯⋯．．3 分如图1，在△PAC 中，PA PC AC ，当P 在AC 的延伸线上时，PA PC AC 10 ．设直线AC 的分析式为y kx b ，∴k bb0，3.解得kb3，3.∴直线AC 的分析式为y 3x 3．当x 1 时，y 3 3 6 ．∴当点P 的坐标为（1，6）时，PA PC 的最大值为10 ．⋯⋯⋯⋯⋯．5 分（3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，y r ．N∵点N 的横坐标为 1 r ，∴ 2 2y (r 1) 2(r 1) 3 r 4 ．N∴r 2 4 r ．解得1 17r ，121 17r ．⋯⋯⋯⋯⋯．．7 分22。
北京四中111104初三数学期中试卷
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 _________ 学号 __________ 姓名 _____________ 分数 __________________一、选择题（每小题4分，共32分.下列各题均有四个选项，其中只有一个.是符合 题意的.）1 •下列事件是必然事件的是（ ）.A .随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是 6B. 掷一枚硬币，正面朝上C. 3个人分成两组，一定有两个人分在一组D. 打开电视，正在播放动画片2. 抛物线y （x 1）2 2可以由抛物线y x 2平移而得到，下列平移正确的是（）.4. 两圆半径分别为2和3,圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关 系是（）.A .先向左平移1个单位，再向上平移B .先向左平移1个单位，再向下平移 C .先向右平移1个单位，再向上平移 D .先向右平移1个单位，再向下平移3. 已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 面积为（）.2个单位 2个单位 2个单位2 A. 250 cm2 B. 500 cm C. 750 cm 2 D . 1000 cm 2A .外离B .外切C .相交D .内切 5.同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）. C .6.如图, 在平面直角坐标系中，点D.- 2 P 在第一象限, 相切于点Q ,与y 轴交于M （0,2）, N （0,8）两点，则点P 的坐标是 ( ). A . (5,3) B . (3,5) C . (5,4) D . (4,5) 抛物线 x 2 kx 1 与 y x 2 x k 相交, 有一个交点在 )轴上, k 的值为-4BC , 如图，在直角梯形 AD = 2cm ,动点P 、Q 同时从点B 出发， 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ,而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C . ABCD 中, AD // C 90o , CD 点P 沿P 与x 轴 6cm ,DQ设P点运动的时间为t(s), △ BPQ的面积为y(cm2).下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是( ).填空题(每小题4分，本题共16 分)9.正六边形边长为3,则其边心距是 _________ m.10.函数y x22x 3( 2 x 2)的最小值为_________ 最大值为11.如图，在△ ABC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的O A 与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是。
北京四中09-11初三数学期中试卷
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．抛物线2)1(2+-=x y 的顶点是（ ） A ．)2,1(- B ．)2,1( C ．D ．)2,1(-- 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =A ， 则B cos 等于（ ）A ．43B ．43-C ．53D ．543．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且cm DE cm EC cm AE 6,5,3===，则BC 等于（ A ．10cm B．cm 5184．将抛物线22y x =经过怎样的平移可得到抛物线22(3)4y x =++？答：（ ）A. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C. 先向右平移3个单 位，再向上平移4个单位D. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位5．如右图，⊙O 的半径OA 等于5，半径OC ⊥AB 于点D ，若OD=3，则弦AB 的长为（ ）. A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6．下列说法正确的个数有 ( )① 平分弦的直径垂直于弦; ② 三点确定一个圆; ③ 等腰三角形的外心一定在它的内部; ④ 同圆中等弦对等弧 A.0个B. 1个C. 2个D. 3个7．如右图,在△ABC 中,AB=AC,36A ︒∠=,BD 平分ABC ∠, DE//BC, 则图中 与△ABC不包括△ABC ）的个数有（ ）A.0个 B ．AB CD E2个 D ．3个8．已知b < 0时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析，a 的值等于．．．．（ ）. A. -2B.-1C. 1D. 2二、填空题（每小题4分，本题共16分）9．已知关于x 的一元二次方程01)12()1(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为为26cm ，弦AB长为24cm ，且OP ⊥AB于P 点，则tan AOP ∠的值为 . 11．己知菱形ABCD 的边长是6，点E 在 直线ADBE 与对角线AC 相交于点 M ，则AMMC的值是 .12．已知：抛物线2y ax bx c =++与y 交于C 点，顶点为M,直线CM 的解析式为3y x =-+ 并且线段CM 的长为的解析式为 . 三、解答题（ 小题6分，本题 23-)-1–14．解方程： .15．如图, 在4 ⨯ 4的 正方形网格中, △ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空: ∠ABC = __________°, BC = __________; (2) 判断△ABC 与△DEF 是否相似, 并证明你的结论.四、解答题（每小题5分，本题共10分）点BC ，直线AD 过圆心O ，若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=小圆O,现有直尺和圆规.ABCDFE（1）简要说明确定大圆的圆心'O 的步骤；（2）作直线l ，使其将两圆的面 积均二等分。
北京四中九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=-2（x-3）2-4的顶点坐标（）A. (−3,4)B. (−3,−4)C. (3,−4)D. (3,4)2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sin A等于（）A. 35B. 45C. 34D. 433.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A. 23B. 12C. 34D. 354.若A（-4，y1），B（-1，y2），C（2，y3）为二次函数y=-（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3小关系是（）A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y35.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A. y=254x2B. y=−254x2C. y=−425x2D. y=425x26.如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（）A. ∠D=∠BB. ADAB=AEACC. ADAB=DEBCD. ∠AED=∠C7.已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0．其中正确的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，tan A=23，则AC=______．10.若b−2aa=83，则ba=______．11.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是______米．12.抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是______．13.已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______．14.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为______．15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：则a+b+c=______．16.如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17.若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，-1）两点，求此二次函数的解析式．18.已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（3取1.73，2取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．四、解答题（本大题共8小题，共56.0分）19.求值：3cos245°-sin30°tan60°+12sin60°．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．21.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y=-10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．22.已知抛物线y1=x2+2（m+2）x+m-2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），对称轴为直线x=-1．（1）m的值为______；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（）若直线2过点且与抛物线交于点（，-3），根据图象直接写出当x取什么值时，y2≤y1．23.在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=56，求CE的长．24.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B 左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤-12之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．25.如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．26.阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x，点A（1，t）在抛物线y=x2-4x+5上，求点A到直线l的距离d．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：（1）图1中，AD=______，点A到直线l的距离d=______．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y=x2-4x+5上的一动点，设点M到直线l 的距离为d．（2）如图2，①l：y=-x，d=522，则点M的坐标为______；②l：y=-x，在点M运动的过程中，求d的最小值；（3）如图3，l：y=2x-7，在点M运动的过程中，d的最小值是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵y=-2（x-3）2-4是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（3，-4）．∴则答案为C故选：C．根据顶点式直接可得顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的解析式的特点解决问题．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．3.【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．4.【答案】C解：二次函数y=-（x+2）2+3的图象的开口向下（因为a=-1＜0），对称轴是直线x=-2，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，点A关于对称轴对称的点的坐标为（0，y1），∵-1＜0＜2，∴y3＜y1＜y2，故选：C．根据二次函数的性质和已知函数的解析式得出图象的开口向下（因为a=-1＜0），对称轴是直线x=-2，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，再得出选项即可．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：依题意设抛物线解析式y=ax2，把B（5，-4）代入解析式，得-4=a×52，解得a=-，所以y=-x2．故选：C．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，B、∵=，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；C、∵=，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等，∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确；D、∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；故选：C．求出∠DAE=∠BAC，根据相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）即可判断选项A和D；根据相似三角形的判定（有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）即可判断B和C．本题考查了相似三角形的判定的应用，主要考查学生运用性质进行辨析的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形才相似．7.【答案】C【解析】解：①由抛物线的对称轴可知：-＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②由图象可知：△＞0，∴b2-4ac＞0，故②正确；③∵（0，c）关于直线x=1的对称点为（2，c），而x=0时，y=c＞0，∴x=2时，y=c＞0，∴y=4a+2b+c＞0，故③正确；④∵-=1，故选：C．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8.【答案】A【解析】解：∵ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1-m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1-m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴1-m＜2，∴m＞-1∵m是整数，∴m=0，故选：A．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．9.【答案】6【解析】解：如图：∵BC=4，tanA==，∴AC=6．故答案为：6．根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10.【答案】143【解析】解：，-2==，故答案为：．根据分式的减法法则的逆运算变形，计算即可．本题考查的是比例的性质，掌握比例的性质、分式的加减混合运算法则是解题的关键．11.【答案】8【解析】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=，CD=8米，故答案为：8．首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．12.【答案】y=-2（x-1）2-2【解析】解：抛物线y=-2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，-2），所以平移后的抛物线的解析式是y=-2（x-1）2-2．故答案为y=-2（x-1）2-2．先确定抛物线y=-2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）的对应点的坐标为（1，-2），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.【答案】m＞5【解析】解：∵二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有公共点，∴△=（-1）2-4（m-1）＜0，∴m＞5．故答案为m＞5．利用判别式的意义得到△=（-1）2-4（m-1）＜0，然后解关于m的不等式即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．14.【答案】x1=-2，x2=1【解析】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．故答案为x1=-2，x2=1．根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．15.【答案】-1.5【解析】解：∵x=3，y=2.5；x=5，y=2.5，∴抛物线的对称轴为直线x=4，∴当x=1和x=7时函数值相等，而x=7时，y=-1.5，∴x=1时，y=-1.5，即a+b+c=-1.5．故答案为-1.5．利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=4，则可判断当x=1和x=7时函数值相等，所以x=1时，y=-1.5，然后把x=1时，y=-1.5代入解析式即可得到a+b+c的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16.【答案】8：5【解析】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．∴EF：FC=BD：DC，AM：MD=AE：EF．∵BD：DC=2：3，∴EF：FC=BD：DC=2：3．设EF=2a，则CF=3a．∵AM：MD=AE：EF，∵AM：MD=4：1∴AE：EF=4：1∴AE=8a∴AE：EC=8a：5a=8：5．故答案是：8：5．如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF：FC=BD：DC=2：3．AM：MD=AE：EF=4：1，由此求得AE：EC=8：5．本题考查平行线分线段成比例定理．解题时，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．17.【答案】解：根据题意得a+b+3=04a+2b+3=−1，解得a=1b=−4．所以此二次函数的解析式为y=x2-4x+3．【解析】先把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a和b的方程组，然后解方程组即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18.【答案】解：设AB为x米．依题意，在Rt△ABE中，∠BEA=45°，∴AE=AB=x．∴AD=AE-DE=x-5，AC=BC+AB=2.35+x．在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴AC=AD•tan∠CDA=3AD．∴x+2.35=3（x-5）．∴（3-1）x=2.35+53．解得x=53+2.353−1．∴x≈15．答：商场大楼的高度AB约为15米．【解析】由于在E出的仰角是45°，所以可得AE=AB，可设其值为x，再结合D出的仰角60°以及题中的条件，进而求解直角三角形即可．本题主要考查了生活中仰角俯角的问题，其中解题关键还是解直角三角形的问题，应熟练掌握．19.【答案】解：3cos245°-sin30°tan60°+12sin60°=3×12-12×3+12×32=32-32+34=34．【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、平方、二次根式等考点的运算．20.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴∠ACB=∠CDB=90°又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．∴由勾股定理得AB=5∵△ABC∽△CBD，∴ABCB=BCBD∴BD=BC2AB=325=95【解析】（1）由于∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，从而可证明△ABC∽△CBD；（2）由勾股定理可求出AB=5，易证△ABC∽△CBD，所以=，从而可求出BD的长度．本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．21.【答案】解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：w=（x-30）y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000．∵a=-10＜0，∴当x=50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【解析】设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，利用配方法将二次函数关系式变形为顶点式是解题的关键．22.【答案】-1【解析】解：（1）抛物线对称轴为直线x=-=-1，解得m=-1，函数解析式为y=x2+2x-3，（2）∵直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（-2，-3），∴x＜-2或x＞1时，y2≤y1．（1）根据对称轴列出方程求解即可得到m的值，然后根据二次函数图象的画法描点，连接即可；（2）根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数图象，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．23.【答案】解：（1）如图作FK⊥AD于K，FH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAD=∠PAB=45°，∵PK⊥AD，PH⊥AB，∴PK=PH，∴S△APDS△APM=PDPM=12⋅AD⋅FK12⋅AM⋅PH=ADAM，∴AB=AD=2，AM=BM=1，∴DM=5，∴PDPM=2，∴PD=23×5=253．（2）∵PF=56，PD=253，DM=5，∴DF=125，PM=53，∵DE∥AM，∴∠AMP=∠EDF，∵∠DFE=∠MAP=45°，∴△AMP∽△FDE，∴PMDE=AMDF，∴53DE=1125，∴DE=56，∴EC=2-56=76．【解析】（1）如图作FK⊥AD于K，FH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明= =2即可解决问题；（2）由△AMP∽△FDE，推出=，即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．24.【答案】（1）证明：由根的判别式，可得：Δ=（3m+1）2-4×m×3=（3m-1）2，∵（3m-1）2≥0，∴Δ≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，解得：x1=-3，x2=-1m，∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，∴m=1，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；（3）如图，∵当x=0时，y=3，∴C（0，3），∵当y=0时，x1=-3，x2=-1，又∵点A在点B的左侧，∴A（-3，0），B（-1，0），∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，∴k+b=0b=3，解得：k=−3b=3，∴直线CD的表达式为：y=-3x+3，又∵当x=-12时，y=(−12)2+4×(−12)+3=54，∴点E（-12，54），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-12+n，54），当直线y=-3x+3经过点A′（-3+n，0）时，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，当直线y=-3x+3经过点E′（-12+n，54），时，得：-3（-12+n）+3=54，解得：n=1312，∴n的取值范围是1312≤n≤4．【解析】（1）先求出根的判别式，判断的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；（3）先求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．25.【答案】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACB=∠ECD=90°CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=12BD，PN=12AE，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=12BD，PM∥BD；PN=12AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴BCAC=CDCE=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=12BD，PN=12AE．∴PM=kPN．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键．26.【答案】3 322（0，5）或（3，2）355【解析】解：（1）∵点A （1，t）在抛物线y=x2-4x+5上，∴t=1-4+5=2，∴点A的坐标为（1，2）．∵AD∥y轴交直线l于点D，直线l：y=-x，∴点D的坐标为（1，-1），∴AD=2-（-1）=3．∵△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=90°，∴d=AB=AD=．故答案为：3；．（2）如下图，过点M作y轴的平行线交直线l于点N，过点M作MH⊥l，交l 于点H，设点M的坐标为（m，m2-4m+5），则点N坐标为（m，-m），由（1）知：d=MH=MH=（m2-m+5）…①，①d=代入①式，得：M坐标为（0，5）或（3，2）；②d=MH=MH=（m2-m+5）=[（m-）2+]，则d的最小值；（3）如下图，过点M作y轴的平行线交x轴于点G，交直线l于点N，过点M作MH⊥l，交l于点H，设：点M的坐标为（m，m2-4m+5），则点N坐标为（m，2m-7），由题意得：tanα=2，则cosα=，则d=MH=MN•cosα=（m2-4m+5-2m+7）=[（m-3）2+3]，故d的最小值为，故答案为：．（1）由题意得：d=AB=AD=，即可求解；（2）如下图，设点M的坐标为（m，m2-4m+5），则点N坐标为（m，-m），则由（1）知：d=MH=MH=（m2-m+5）即可求解；（3）如下图，点M的坐标为（m，m2-4m+5），则点N坐标为（m，2m-7），由题意得：tanα=2，则d=MH=MN•cosα即可求解．本题是二次函数的综合题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第21页，共21页。
2013-2014学年北京四中九年级(上)月考数学试卷(10月份)_0
2013-2014学年北京四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：1．（3分）已知sinA=，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A．2：1B．4：1C．1：2D．1：43．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1B．（x﹣2）2=1C．（x+2）2=9D．（x﹣2）2=9 4．（3分）如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．6．（3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．7．（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b=2c B．3a=2b C．2b=c D．2a=b8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，1），点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC、当C（x，y）在第一象限内时，下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：9．（3分）如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．10．（3分）如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．11．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．12．（3分）在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点A2013的纵坐标是．三、解答题：13．计算：sin30°+cos45°•sin45°﹣tan60°14．计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．15．解方程：x2﹣2x=5．16．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7，求AC的长．17．已知如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=18，求：BC、AB的长．18．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．19．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，在观测点C测得其仰角是30°，火箭又上升了10km到达B点时，测得其仰角为60°，求观测点C到发射点O的距离，（结果精确到0.1km．参考数据：，，）20．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．21．已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB=15，AC=13，求BC的长．22．当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是；（2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=，求S．△ADC23．如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点．如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点．如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6．（1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为；（2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P的坐标；（3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式．24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BM•DN=；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．25．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．2013-2014学年北京四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题：1．A；2．C；3．D；4．C；5．B；6．C；7．A；8．A；二、填空题：9．∠B=∠D；10．（6，0）；11．5；12．；三、解答题：13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．C；23．（6，2）；24．NDA；a2；25．；。
北京四中111104初三数学期中试卷
数学试卷<考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题<每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意地．）1．下列事件是必然事件地是< ）．A ．随意掷两个均匀地骰子，朝上面地点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片 2．抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确地是< ）．A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆地半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽地侧面积为< ）． A ．B．C ．D．4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为<1，0）和<-4，0），则两圆地位置关系是<）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面地概率为< ）． A ．B． C ．D ．6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙与轴相切于点，与轴交于，两点，则点地坐标是< ）． A ．B．C ．D ．7．抛物线与相交，有一个交点在x 轴上，则k 地值为< ）．A ．0B ．2C ．−1D．8．如图，在直角梯形中，∥，，，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点出发，点沿BA 、AD 、DC 运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时地速度都是1cm/s ，而当点到达点时，点正好到达点．设P点运动地时间为，地面积为．下图中能正确表示整个运动中关于地函数关系地大致图象是< ）．A． B．C． D．二．填空题<每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．10．函数地最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径地⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分地面积是_______________．12．已知二次函数满足：<1）；<2）；<3）图象与x轴有2个交点，且两交点间地距离小于2；则以下结论中正确地有．①②③④⑤三．解答题<每小题5分，本题共30分）13．计算：14．用配方法解方程：15．已知，当m为何值时，是二次函数？16．如图，在半径为6 cm地⊙O中，圆心O到弦AB地距离OC为3 cm．试求：<1）弦AB地长；<2）错误!地长．17．已知二次函数y=ax2+bx+c地图象地顶点位于x轴下方，它到x轴地距离为4，下表是x与y地对应值表：<1<2）将表中地空白处填写完整；<3）在右边地坐标系中画出y=ax2+bx+c地图象；<4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c地值大于0．_______________________ 18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC地平分线，O是AB上一点，以OA为半径地⊙O经过点D．<1）求证：BC是⊙O切线；<2）若BD=5，DC=3，求AC地长．四．应用题<19题6分，20题5分，21题4分）xOy19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中地4张扑克牌地正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余地3张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出地两张牌地数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．<1）请用列表<或树状图）表示出两人抽牌可能出现地所有结果；<2）若按桐桐说地规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆地圆心O<保留作图痕迹，不写作法）五．解答题<本题5分）22．已知如图，正方形AEDG地两个顶点A、D线ED与⊙O地另一个交点为C，试判断线段AC六．综合运用<23、25题7分，24题8分）23．已知：关于x地一元一次方程kx=x+2数，二次函数y=ax2−bx+kc<c≠0）地图象与x地横坐标为1．<1）若方程①地根为正整数，求整数k地值；<2）求代数式地值；<3）求证：关于x地一元二次方程ax2−bx+c=0 ②必有两个不相等地实数根．24．已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A<2，0），点B在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB地外接圆交y轴地正半轴于点C，过点C地圆地切线交x轴于点D．<1）求B、C两点地坐标；<2）求直线CD地函数解读式；<3）设E、F分别是线段AB、AD上地两个动点，且EF平分四边形ABCD地周长．试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF地面积最大？最大面积是多少？25．抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线地对称轴为直线，．<1）求二次函数地解读式；<2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；<3）平行于轴地一条直线交抛物线于两点，若以为直径地圆恰好与轴相切，求此圆地半径．初三期中考试参考答案及评分标准四中一、选择题：<本题共32分，每小题4分）二、填空题：<本题共16分，每小题4分）9． 10．−4， 5 11． 12．①②③⑤<少选1个扣1分，多选或选错均不得分）三、解答题：<本题共30分，每小题5分）13．计算：解：原式=…………．．4分<化简运算对一个数给1分）=……………………5分14．用配方法解方程：解：………．．1分………．．3分∴……．．5分15．已知，当m为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有 (2)解得m=3 ………．．．5分16．如图，在半径为6 cm地⊙O中，圆心O到弦AB地距离OC为3 cm．试求：<1）弦AB地长； <2）错误!地长．解：依题设有OC⊥AB于C，又∵AB为⊙O地弦∴AC=BC=AB……… 2分连结OA则又∵OA=6，OC=3∴AC=∴AB=………3分<2）由<1）知，在Rt△ACO中，OA=6，OC=3∴∠OAC=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=120°………4分∴错误!= =………．．5 分17．已知二次函数y=ax2+bx+c地图象地顶点位于x轴下方，它到x轴地距离为4，<1解：由上表可知，二次函数图象地对称轴为直线x=1，顶点坐标为<1，4）……1分∴二次函数解读式可变形为又由图象过<0，-3），有-3=a-4，解得a=1∴二次函数解读式为．．．．．2分<2）将表中地空白处填写完整；．．．．．3分<3）在右边地坐标系中画出y=ax2+bx+c地图象；………4分<4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c地值大于0．x<−1或x>3．．．．．5分18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC地平分线，O是AB上一点，以OA为半径地⊙O经过点D．<1）求证：BC是⊙O切线；<2）若BD=5，DC=3，求AC地长．解：<1）证明：如图1，连接OD．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．………………1分∴∠ODA=∠CAD．∴OD//AC．…………………………………2分∴∠ODB=∠C=90︒．∴BC是⊙O地切线．……………………………3分图1<2）解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E．∴∠AED=∠C=90︒．又∵AD=AD，∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD．∴AE=AC，DE=DC=3．在Rt△BED中，∠BED =90︒，由勾股定理，得图2BE=．………………………………………………………4分设AC=x<x>0），则AE=x．在Rt△ABC中，∠C=90︒，BC=BD+DC=8，AB=x+4，由勾股定理，得x2+82=<x+4）2．解得x=6．即AC=6．…………………………………………………………5分解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB．∵AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴△AED≌△ABD．∴ED=BD=5．在Rt△DCE中，∠DCE=90︒，由勾股定理，得CE=．………………………4分图3在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，BC=BD+DC=8，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2．即AC2+82=<AC+4）2．解得AC=6．…………………………………………………………5分19．解：<1）树状图为：共有12种可能结果． 3分<2）游戏公平． 4分∵两张牌地数字都是偶数有6种结果：<6，10），<6，12），<10，6），<10，12），<12，6），<12，10）．∴桐桐获胜地概率P==．·····································································5分大诚获胜地概率也为． ················································································6分∴游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x元，则有 (2)可解得，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 (3)设降价x元时，盈利为y元，则 0<x<40 (4)解读式可变形为且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元．…………5分．21．用尺规作图找出该残片所在圆地圆心O地位置．<保留作图痕迹，不写作法）任作2弦给1分，两条中垂线各1分，标出并写出点O 即为所求给1分五．解答题<本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 地两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 地另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 地关系．解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O ∴∠B +∠ADC =180°……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴∠BAC =45°∴AC =BC ……．．5分23．解：<1）解：由 kx =x +2，得<k -1） x =2．依题意 k -1≠0．∴． ……………………………………1分∵ 方程地根为正整数，k 为整数， ∴k -1=1或k -1=2．∴k 1= 2， k 2=3．…………………………………………………2分 <2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 地图象经过点<1，0）， ∴ 0 =a -b +kc ， kc = b -a ． ∴=…3分<3）证明：方程②地判别式为Δ=<-b ）2-4ac =b 2-4ac ． 由a ≠0，c ≠0， 得ac ≠0．证法一：<i ）若ac <0，则-4ac >0．故Δ=b 2-4ac >0．此时方程②有两个不相等地实数根．……4分<ii ）若ac >0，由<2）知a -b +kc =0， 故 b =a +kc ．Δ=b 2-4ac =<a +kc ）2-4ac =a 2+2kac +<kc ）2-4ac =a 2-2kac +<kc ）2+4kac -4ac =<a -kc ）2+4ac <k -1）． …………………………………………………5分 ∵ 方程kx =x +2地根为正实数， ∴ 方程<k -1） x =2地根为正实数． 由 x >0， 2>0， 得k -1>0． …………………………………6分 ∴4ac <k -1）>0． ∵ <a -kc ）2≥0，∴Δ=<a -kc ）2+4ac <k -1）>0． 此时方程②有两个不相等地实数根． …………7分 证法二：<i ）若ac <0，则-4ac >0．故Δ=b 2-4ac >0．此时方程②有两个不相等地实数根． ……4分<ii ）若ac >0，∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点， ∴Δ1=<-b ）2-4akc =b 2-4akc ≥0．<b 2-4ac ）-<b 2-4akc ）=4ac <k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴b 2-4ac >b 2-4akc ≥0．∴Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等地实数根．…………………7分 综上， 方程②有两个不相等地实数根． 证法三：由已知，，∴可以证明和不能同时为0<否则），而，因此．24．解：<1）∵A<2，0），∴OA=2．作BG⊥OA于G，∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG =，∴B<1，）．………………………………1分连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．，∴OC =．∴C<0，）．…………………………………2分<2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆地直径，又∵CD是圆地切线，∴CD⊥AC．∴∠OCD=30°，OD =．∴D <，0）．设直线CD地函数解读式为y=kx+b<k≠0），则，解得∴直线CD地解读式为y =．…4分<3）∵AB=OA=2，OD =，CD=2OD =，BC=OC =，∴四边形ABCD地周长6+．设AE=t，△AEF地面积为S，则AF =3+－t，S =<3+）．∵S =<3+）=．∵点E、F分别在线段AB、AD上，∴∴…………………………6分∴当t =时，S最大=．…………8分25．<1）设抛物线地解读式为，∵点、在抛物线上，<第24题）E <第24题）∴解得∴抛物线地解读式为．……………2分<2），∴A<，0），B<3，0）．∴．∴P A=PB，∴．………．．3分如图1，在△P AC中，，当P在AC地延长线上时，．设直线AC地解读式为，∴解得∴直线AC地解读式为．当时，．∴当点P地坐标为<1，）时，地最大值为． (5)<3）如图2，当以MN为直径地圆与轴相切时，．∵点N地横坐标为，∴．∴．解得，．……………．．7分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
北京四中初三上册期中考试数学(含解析).docx
北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）． A ．22 B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCBA OCAE DB16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=， ∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴AF AE =， ∴2AB AE =．∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx11 北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，12∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1，∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =． F EO C D A B13 ∴6AC =，142CD BC ==， ∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x ba +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11cx a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。
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2012-2013第一学期北京四中初三年级数学期中测试题
初三数学备课组
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．一元二次方程的解是（）
A．B．C．或D．或
2．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（）
A．9B．6C．3D．4
3．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．120°C．30°D．90°
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）
A．60°B．30°C．40°D．50°
5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．700m B．500m C．400m D．300m
（5题）（6题）
6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，
则tanB′的值为（）
A．B．C．D．
7．如图⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6则⊙O 的半径为（）
A．6B．13C．D．
8．如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是上不同于A、B的动点，过点C
作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=DE．
设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象
可能
是（）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知⊙O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_______cm．
（9题）（10题）
10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，
OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11．如图，圆A、圆B的半径分别为4、2，且AB=12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直线上，
且圆C与另两个圆一个外切、一个内切，则圆C的半径长可能为__________．
12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是__________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解关于x的方程：x2+4x-2=0．
15．丁丁要制作一个形状如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度．（精确到个位，）
图1图2 16．请利用直尺和圆规，过定点A作⊙O的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．
17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求tanC 的值．
18．如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点且∠AFE＝∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的圆心为点D，连结AD、CD．
请完成下列问题：
①写出点D的坐标：D___________；
②D的半径=_____（结果保留根号）；
③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为__________（结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°，
AC=10，试求CD的长．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．
22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
（3）若把正方形放在直线上，让纸片ABCD按上述方法旋转，请直接写出经过多少次旋转，顶点A经过的路程是．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的方程（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此方程总有两个不等的实数根、；
（2）设此方程的两个实数根为、，若，求k的值．
24．在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△
（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．
（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；
（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．
25．如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC
于点E，点F与点E关于点B对称．
（1）求证：∠CFE=∠AFE；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．。