2015届高三理科数学考前热身训练试题二(含答案)
2015年高考理科数学模拟试题(二)(含答案)
２０１５年高考数学（理科）模拟试题（二）㊀㊀一㊁选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛０，１，２｝，则集合Ｂ＝｛ｘ－ｙ｜ｘɪＡ，ｙɪＡ｝中元素的个数是（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀Ｂ．３㊀㊀㊀Ｃ．５㊀㊀㊀Ｄ．９２．已知ｉ是虚数单位，若（２－ｉ）㊃ｚ＝ｉ３，则ｚ＝（㊀）．Ａ．１５－２５ｉ㊀㊀㊀㊀Ｂ．－２５＋１５ｉ㊀㊀Ｃ．－２５－１５ｉ㊀㊀Ｄ．１５＋２５ｉ３．命题 对任意ｘɪＲ，都有ｘ２ȡ０ 的否定为（㊀）．Ａ．对任意ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｂ．不存在ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｃ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０ȡ０Ｄ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０＜０４．某班有男生３６人，女生１８人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为９的样本，则抽取的女生人数为（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀㊀Ｂ．４㊀㊀㊀Ｃ．３㊀㊀㊀Ｄ．２５．下列函数中是奇函数且周期是π的是（㊀）．Ａ．ｙ＝２ｃｏｓ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｂ．ｙ＝２ｃｏｓ（ｘ＋π２）Ｃ．ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｄ．ｙ＝２ｓｉｎ（ｘ＋π２）６．如图所示，在下列四个几何体中，其三视图中有且仅有两个相同的是（㊀㊀）．Ａ．②③④㊀㊀Ｂ．①②③㊀㊀Ｃ．①③④㊀㊀Ｄ．①②④７．从１，３，５，７，９这５个奇数中选取３个数字，从２，４，６，８这４个偶数中选取２个数字，再将这５个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列，这样的五位数的个数是（㊀㊀）．Ａ．１８０㊀㊀㊀Ｂ．３６０㊀㊀㊀Ｃ．４８０㊀㊀㊀Ｄ．７２０８．某算法的程序框图如图所示，则输出Ｓ的值是（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀Ｂ．２４Ｃ．１２０㊀㊀Ｄ．８４０㊀㊀９．已知点Ｐ在抛物线ｘ２＝４ｙ上，且点Ｐ到ｘ轴的距离与点Ｐ到此抛物线的焦点的距离之比为１ʒ３，则点Ｐ到ｘ轴的距离是（㊀）．Ａ．１４㊀㊀Ｂ．１２㊀㊀Ｃ．１㊀㊀Ｄ．２１０．设偶函数ｆ（ｘ）（ｘɪＲ）满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），且当ｘɪ［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｘ２．又函数ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓ（πｘ），则函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）在区间［－１２，３２］上的零点个数为（㊀㊀）．Ａ．５㊀㊀㊀Ｂ．６㊀㊀㊀Ｃ．７㊀㊀㊀Ｄ．８二㊁填空题：本大题共５小题，每小题５分，共２５分．１１．二项式２ｘ３－１２ｘ２æèçöø÷５的展开式的常数项是㊀㊀㊀㊀．１２．在平面直角坐标系中，若点Ａ（１，１），Ｂ（２，４），Ｃ（－１，３），则｜ＡＢң－ＡＣң｜＝㊀㊀㊀㊀．１３．设函数ｆ（ｘ）＝２１－ｘ，ｘɤ１，１－ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）ɤ２时ｘ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１４．已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋２＝０有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１５．设满足条件ｘ２＋ｙ２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ１，满足条件［ｘ］２＋［ｙ］２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ２（其中［ｘ］㊁［ｙ］分别表示不大于ｘ㊁ｙ的最大整数，例如［－０．３］＝－１，［１．２］＝１），给出下列结论：①点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｙ＝ｘ左上方的区域内；②点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｘ＋ｙ＝７左下方的区域内；③Ｓ１＜Ｓ２；④Ｓ１＞Ｓ２．其中所有正确结论的序号是㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题：本大题共６小题，共７５分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１６．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）．（Ⅰ）求ｆ（ｘ）的最大值及取得最大值时ｘ的值；（Ⅱ）在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ｆ（Ｃ）＝１，ｃ＝２３，ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，求әＡＢＣ的面积．１７．（本小题满分１２分）在数列｛ａｎ｝中，前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）２．３６（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（Ⅱ）设ｂｎ＝ａｎ２ｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，求Ｔｎ的取值范围．１８．（本小题满分１２分）某中学举行了一次 环保知识竞赛 ．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为１００分）作为样本（样本容量为ｎ）进行统计．按照［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在［５０，６０），［９０，１００］的数据）．（Ⅰ）求样本容量ｎ和频率分布直方图中ｘ㊁ｙ的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是８０分以上（含８０分）的同学中随机抽取３名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的３名同学得分在［８０，９０）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．１９．（本小题满分１２分）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝ＢＢ１＝１２ＢＣ，øＡＢＣ＝９０ʎ，Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点．（Ⅰ）求证：ＣＦʅ平面ＮＦＢ；（Ⅱ）求二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值．２０．（本小题满分１３分）已知点Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），动点Ｇ满足ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２．（Ⅰ）求动点Ｇ的轨迹Ω的方程；（Ⅱ）已知过点Ｆ２且与ｘ轴不垂直的直线ｌ交（Ⅰ）中的轨迹Ω于Ｐ㊁Ｑ两点．在线段ＯＦ２上是否存在点Ｍ（ｍ，０），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数ｍ的取值范围；若不存在，请说明理由．２１．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｋｅｘ－ｘ２（其中ｋɪＲ，ｅ是自然对数的底数）．（Ⅰ）若ｋ＜０，试判断函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上的单调性；（Ⅱ）若ｋ＝２，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，试比较ｆ（ｘ）与２的大小；（Ⅲ）若函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２），求ｋ的取值范围，并证明０＜ｆ（ｘ１）＜１．参考答案一㊁ＣＡＤＣＡ㊀㊀㊀ＡＤＣＢＢ二㊁１１．－５㊀１２．１０㊀１３．［０，＋ɕ）㊀１４．（１，２］㊀１５．①③三㊁解答题１６．解（Ⅰ）由已知，得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）＝３２ｓｉｎ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ＝３ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）．当２ｘ＋π６＝２ｋπ＋π２，即ｘ＝ｋπ＋π６（ｋɪＺ）时，函数ｆ（ｘ）取得最大值２．（Ⅱ）由ｆ（Ｃ）＝２ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１得ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１２，因为π６＜２Ｃ＋π６＜２π＋π６，所以２Ｃ＋π６＝５π６，解得Ｃ＝π３．因为ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，根据正弦定理，得ａ＝２ｂ，由余弦定理，有ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ，（２３）２＝４ｂ２＋ｂ２－２ˑ２ｂ２ｃｏｓπ３＝３ｂ２，解得ｂ＝２，ａ＝４，故әＡＢＣ的面积ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ˑ４ˑ２ˑｓｉｎπ３＝２３．１７．解（Ⅰ）当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１；当ｎȡ２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ（ｎ＋１）２－（ｎ－１）ｎ２＝ｎ，经验证，ａ１＝１满足上式，故数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ｎ．（Ⅱ）由题意，易得Ｔｎ＝１２＋２２２＋３２３＋ ＋ｎ２ｎ，则１２Ｔｎ＝１２２＋２２３＋３２４＋ ＋ｎ２ｎ＋１，两式相减，得Ｔｎ－１２Ｔｎ＝１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－ｎ２ｎ＋１＝１－１２ｎ－ｎ２ｎ＋１，所以Ｔｎ＝２－ｎ＋２２ｎ．由于Ｔｎ＋１－Ｔｎ＝ｎ＋１２ｎ＋１＞０，则Ｔｎ单调递增，故ＴｎȡＴ１＝１２，又Ｔｎ＝２－ｎ＋２２２＜２，故Ｔｎ的取值范围是［１２，２）．１８．解（Ⅰ）由题意可知，样本容量ｎ＝８０．０１６ˑ１０＝５０，ｙ＝２５０ˑ１０＝０．００４，ｘ＝０．１－０．００４－０．０１０－０．０１６－０．０４＝０．０３０．（Ⅱ）由题意可知，分数在［８０，９０）有５人，分数在［９０，１００］有２人，共７人．抽取的３名同学中得分在［８０，９０）的学生个数ξ的可能取值为１，２，３，则Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ１５Ｃ２２Ｃ３７＝５３５＝１７，Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ２５Ｃ１２Ｃ３７＝２０３５＝４７，Ｐ（ξ＝３）＝Ｃ３５Ｃ３７＝１０３５＝２７，所以ξ的分布列如下：ξ１２３ｐ１７４７２７㊀㊀故ξ的数学期望为Ｅξ＝１ˑ１７＋２ˑ４７＋３ˑ２７＝１５７．１９．解㊀解法一：（Ⅰ）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｂ１ＢʅＡＢ，ＢＣʅＡＢ，４６Ｂ１ＢɘＢＣ＝Ｂ，所以ＡＢʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点，所以ＡＢʊＡ１Ｂ１ʊＮＦ，ＮＦʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又因ＦＣ⊂平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ，所以ＮＦʅＦＣ．取ＢＣ中点Ｇ，有ＢＧ＝ＧＦ＝ＧＣ，所以ＢＦʅＦＣ，又ＮＦɘＦＢ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由题意，平面ＡＢＣʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，平面ＡＢＣɘ平面ＡＣＣ１Ａ１＝ＡＣ．过点Ｂ作ＢＨʅＡＣ于Ｈ，则ＢＨʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，所以ＢＨʅＮＣ．过Ｈ作ＨＥʅＮＣ于Ｅ，连结ＢＥ，所以ＮＣʅ平面ＢＥＨ，ＮＣʅＢＥ，则øＢＥＨ是二面角Ｂ ＮＣ Ａ的平面角．在ＲｔәＡＢＣ中，ＢＨˑＡＣ＝ＡＢˑＢＣ．不妨设ＡＢ＝ａ，则ＢＨ＝ＡＢˑＢＣＡＣ＝２５５ａ．因为ＢＦ＝ＣＦ，所以在әＢＮＣ中，ＮＣ＝ＢＮ＝３２ａ，ＢＥˑＣＮ＝ＢＣˑＮＧ．又因为在ＲｔәＢＮＧ中，ＮＧ＝５２ａ，所以ＢＥ＝ＢＣˑＮＧＣＮ＝２５３ａ，故在ＲｔәＢＥＨ中，ｓｉｎøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝３５，则ｃｏｓøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝４５，二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．解法二：（Ⅰ）以Ｂ１为坐标原点，Ｂ１Ｂ，Ｂ１Ｃ１，Ｂ１Ａ１所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴，建立空间直角坐标系．不妨设ＡＢ＝ａ，则Ｂ１（０，０，０），Ｂ（ａ，０，０），Ｆ（０，ａ，０），Ａ１（０，０，ａ），Ｃ１（０，２ａ，０），Ｎ（０，ａ，ａ２），Ｃ（ａ，２ａ，０），则ＢＦң＝（－ａ，ａ，０），ＦＮң＝（０，０，ａ２），ＣＦң＝（－ａ，－ａ，０），ＣＦң㊃ＢＦң＝ａ２－ａ２＝０，ＣＦң㊃ＦＮң＝０ˑ（－ａ）＋０ˑ（－ａ）＋０ˑａ２＝０，所以ＣＦʅＢＦ，ＣＦʅＦＮ，又ＢＦɘＦＮ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ＣＣ１ң＝（－ａ，０，０），Ａ１Ｃ１ң＝（０，２ａ，－ａ），ＢＣң＝（０，２ａ，０），ＢＮң＝（－ａ，ａ，ａ２），设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则有ｎ１㊃ＣＣ１ң＝０与ｎ１㊃Ａ１Ｃ１ң＝０，即－ａｘ１＝０与２ａｙ１－ａｚ１＝０，取ｙ１＝１，ｚ１＝２，则ｎ１＝（０，１，２）．设平面ＢＮＣ的一个法向量为ｎ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则有ｎ２㊃ＢＣң＝０与ｎ２㊃ＢＮң＝０，即２ａｙ２＝０与－ａｘ２＋ａｙ２＋ａ２ｚ２＝０，取ｘ２＝１，ｚ２＝２，则ｎ２＝（１，０，２）．设二面角Ｂ ＮＣ Ａ的大小为θ，则由ｎ２㊃ｎ２＝ｎ１㊃ｎ２ｃｏｓθ得二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．２０．解（Ⅰ）由ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２，且Ｆ１Ｆ２＜２２知，动点Ｇ的轨迹是以Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），ｃ＝ａ２＋ｂ２，由题知，ｃ＝１，ａ＝２，则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２－１＝１，故动点Ｇ的轨迹Ω的方程是ｘ２２＋ｙ２＝１．（Ⅱ）假设在线段ＯＦ２上存在Ｍ（ｍ，０）（０＜ｍ＜１），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，直线ｌ与ｘ轴不垂直，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）（ｋʂ０），由ｘ２＋２ｙ２＝２，ｙ＝ｋ（ｘ－１），{可得（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２，ｘ１ｘ２＝２ｋ２－２１＋２ｋ２，ＭＰң＝（ｘ１－ｍ，ｙ１），ＭＱң＝（ｘ２－ｍ，ｙ２），ＰＱң＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１），其中ｘ２－ｘ１ʂ０．由于ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，所以（ＭＰң＋ＭＱң）ʅＰＱң，则有（ＭＰң＋ＭＱң）㊃ＰＱң＝０，从而有（ｘ２＋ｘ１－２ｍ，ｙ２＋ｙ１）㊃（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）＝０，所以（ｘ２＋ｘ１－２ｍ）（ｘ２－ｘ１）＋（ｙ２＋ｙ１）（ｙ２－ｙ１）＝０，又因ｙ＝ｋ（ｘ－１），则有ｙ２－ｙ１＝ｋ（ｘ２－ｘ１），ｙ２＋ｙ１＝ｋ（ｘ１＋ｘ２－２），故上述式子可以变形为（ｘ１＋ｘ２－２ｍ）＋ｋ２（ｘ１＋ｘ２－２）＝０，将ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２代入上式，可以得到（４ｋ２１＋２ｋ２－２ｍ）＋ｋ２（４ｋ２１＋２ｋ２－２）＝０，即２ｋ２－（２＋４ｋ２）ｍ＝０，所以ｍ＝ｋ２１＋２ｋ２（ｋʂ０），可知０＜ｍ＜１２，故实数ｍ的取值范围是（０，１２）．２１．解㊀（Ⅰ）由ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ可知，当ｋ＜０时，由于ｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＜０，故函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上是单调递减函数．（Ⅱ）当ｋ＝２时，ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，令ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２，由于ｘɪ（０，＋ɕ），故ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２＞０，于是ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ在区间（０，＋ɕ）上为增函数，所以ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞ｈ（０）＝２＞０，即ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，从而ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２在区间（０，＋ɕ）上为增函数，故ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２＞ｆ（０）＝２．（Ⅲ）函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２，则ｘ１，ｘ２是ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＝０的两个根，即方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，设φ（ｘ）＝２ｘｅｘ，则φᶄ（ｘ）＝２－２ｘｅｘ，当ｘ＜０时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＜０；当０＜ｘ＜１时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＞０；当ｘ＞１时，φᶄ（ｘ）＜０，函数φ（ｘ）单调递减且φ（ｘ）＞０．要使方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，只需０＜ｋ＜φ（１）＝２ｅ，故实数ｋ的取值范围是（０，２ｅ）．又由上可知函数ｆ（ｘ）的两个极值点ｘ１，ｘ２满足０＜ｘ１＜１＜ｘ２，由ｆᶄ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－２ｘ１＝０，得ｋ＝２ｘ１ｅｘ１，所以ｆ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－ｘ２１＝２ｘ１ｅｘ１ｅｘ１－ｘ２１＝ｘ１（２－ｘ１）＝－ｘ２１＋２ｘ１＝－（ｘ１－１）２＋１，由于ｘ１ɪ（０，１），故０＜－（ｘ１－１）２＋１＜１，所以０＜ｆ（ｘ１）＜１．５６。
2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷(2)数学(理科)
2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷（2）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1|52A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}|B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．12a <B ．12a ≤C ．1a ≤D ．1a <2．i 是虚数单位，复数242(1)412ii i i+----＝ A ．0B ．2C ．4i -D ．4i3．已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是A ．m ∥α，m ∥βB ．α⊥γ，β⊥γC ．,,m n m αβ⊂⊂∥nD ．,m n 是异面直线，,m m α⊂∥,,n n ββ⊂∥α4．一个几何的三视图如图所示，其中，正（主）视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A ．1B ．32C ．2D ．45．1211x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数等于 A ．6B ．8C ．12D ．16正(主)视图侧(侧)视图俯视图6．在各项均为正数的等比数列{}n a中，31a =，51a ，则2326372a a a a a ++＝A ．4B ．6C ．8D．8-7．已知函数(4),0,()(4),0,x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =，4a c +=，则a 的值为A ．1B ．1或3C ．3D．2+9．执行右面的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的n 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，对任意非零实数x ，()(0)f x f ≠，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()()(2)n n f a n N f a ++=∈--，则2015a 的值为A ．4029B ．4017C ．4018D ．401911．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足1()()2f x xf x ''>，若(2,3)a ∈，则 A ．2(log )(2)(2)af a f f << B ．2(2)(2)(log )af f f a << C ．2(2)(log )(2)af f a f <<D ．2(2)(log )(2)af f a f <<12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且2,1,2((0,1))AB AD DC x x ===∈，以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为A ．[)2,+∞B．)+∞C．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D．)1,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名．若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取 名． 14．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则11m n+的最小值为 ．15．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ． 16．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2，1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 首项1256a =，前n 项和为n S ，且21,,n n n S S S ++成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）用n ∏表示{}n a 的前n 项之积，即12n n a a a ∏=⋅⋅⋅，试比较7∏、8∏、9∏的大小．18．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面为正方形，,P O 分别是上、下底面的中心，点E 是AB 的中点，1AB kAA =．（1）求证：1A E ∥平面PBC ；（2）当k =PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．（本小题满分12分）生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：ABC A 1B1C 1D 1P OD E（1）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下：①记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，正△12PF F 的中心恰为椭圆的上顶点A ，且122AF AF ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 的直线l 与椭圆E 交于两点,M N ，点B 在x 轴上，△BMN 为顶角B 的等腰直角三角形，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)(1)x f x x a e b x =--++，2()xg x x e =，,a b R ∈． （1）若b 是函数()g x 的极大值点，求b 的值；（2）在（1）的条件下，若函数()f x 在()0,+∞内存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）若120,0x x >>，且12x x ≠，求证：1212212x x x x e e e x x +->-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB AC =，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD相交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ； （2）若6AB =，4BC =，求AE 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非AB CM ND E负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=:3OM πθ=与圆C 交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|||3|f x x x =-+． （1）求()f x 的最大值；（2）若存在实数x 使|2|()m f x -≤成立，求实数m 的取值范围．2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷（2）数学（理科）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。
2015年高考数学模拟冲刺卷(理科)含答案
2015年高考数学模拟冲刺卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．A ．奇函数且图象关于点（2π，0）对称B ．偶函数且图象关于直线x=2π对称 C ．奇函数且图象关于直线x=2π对称D ．偶函数且图象关于点（2π，0）对称． ． ． ．设平面PAB 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0=∙AB n ,0=∙PB nm =（x ，y ，z ），则n CB =0,m PB =0，即x=0,3y-x=021．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是0.5；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为0.75，0.6．（Ⅰ）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则P (A )＝213303)21(21)21(⨯⨯+⨯C C （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2P (X ＝0)＝(1−101)531()43=-⨯P (X ＝1)＝20953)431()531(43=⨯-+-⨯，P (X ＝2)＝2095343=⨯EX ＝0×101×1209+×209+2×209=2027设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3，P (Y ＝0)＝303)21(⨯C ＝(Y ＝1)＝13C ×21×(21)2＝P (Y ＝2)＝23C ×(21)2×21＝(Y ＝3)＝33C ×(21)3＝若在线段MN 上取一点R ，使得RN MR λ-=，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）∴b ＝（Ⅱ）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为y=k （x+4），并设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x+64k 2-12=0，则x 0＝解：（1）函数f （x ）的定义域是：（0，+∞）由已知f ′(x )＝∴x=e ∵当0＜x ＜e 时，f ′(x )＝0ln 12>-x x ，当x ＞e 时，f ′(x )＝2ln 1xx -＜0∴函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减故①当0＜2m ≤e 即0＜m ≤(x )m ax ＝f (2m )＝m m 2)2ln(−1，②当m ≥e 时，f （x ）在[m ，2m]上单调递减∴f (x )max ＝f (m )＝mm ln −1，m ＜e 时∴f (x )m ax ＝f (e )＝e1−1．（3）由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f (x )max ＝f (e )＝e1−1，∴在（0，+∞）上恒有f (x )＝m m ln −1≤e1−1，≤≤e 10，nn +1≠e ，∴ln n n +1＜e 1•n n +1⇒ln (n n +1)e ＜n n +1，即对∀n ∈N *，不等式ln (n n +1)e＜。
2015年高考考前热身试卷理科数学(二)
【模拟二】2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|||1}A x x =<，{|21}xB x =>，则A B =I（A ）(1,0)- （B ）(1,1)-（C ）)21,0(（D ）(0,1)（2（A ）1（B ）i（C ）12（D ）12i （3）设||1=a ，||2=b ，且a ，b 夹角3π，则|2|+=a b （A ）2（B ）4（C）（D）（4）在长为3的线段上任取一点，则该点到两端点的距离均不小于1的概率为（A ）13（B ）23（C ）49（D ）59（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（A ）18（B ）36（C ）54（D ）72（6）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（A ）2 （B ）92（C ）32（D ）3正视图 侧视图x（7）如图，程序输出的结果132S =，则判断框中应填（A ）10?i ≥（B ）11?i ≥ （C ）11?i ≤ （D ）12?i ≥（8）设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥，则α∥β是a b ⊥的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件（9）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 （A ）[3,3]-（B ）11(,][,)33-∞-+∞ （C ）(,3][3,)-∞-+∞（D ）11[,]33-（10）在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是 （A ）△OAB 的面积为定值2 （B ）△OAB 的面积有最小值为3 （C ）△OAB 的面积有最大值为4（D ）△OAB 的面积的取值范围是[3,4]（11）已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,CD 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为 （A ）221()42x y +-= （B ）221()42x y -+= （C ）221()22x y +-=（D ）221()22x y -+=（12）已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（A ）1(,)2+∞ （B ）1(0,)2（C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
数学_2015年河南省安阳市某校高考数学热身试卷(理科)(2)(含答案)
2015年河南省安阳市某校高考数学热身试卷（理科）（2）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合A ={x ∈N|0<x <4}的真子集个数为（ ） A 3 B 4 C 7 D 82. 设i 是虚数单位，那么使得(−12+√32i)n =1的最小正整数n 的值为（ ）A 2B 3C 4D 53. 已知向量a →=(0,−2√3)，b →=(1,√3)，则向量a →在b →方向上的投影为（ ） A −3 B −√3 C √3 D 34. 要得到函数y =sin2x 的图象，只需将函数y =cos(2x −π3)的图象（ ）A 向右平移π6个单位长度 B 向左平移π6个单位长度 C 向右平移π12个单位长度 D 向左平移π12个单位长度5. 已知a >1，f(x)=a x 2+2x ，则f(x)<1成立的一个充分不必要条件是（ ）A 0<x <1B −1<x <0C −2<x <0D −2<x <16. 已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A −sin 2C)=(√2a −b)sinB （其中a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边），那么角C 的大小为（ ） A 30∘ B 45∘ C 60∘ D 90∘7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A 2x ±y =0B x ±2y =0C 4x ±3y =0D 3x ±4y =08. 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A1180B1288C1360D14809.下列对于函数f(x)=3+cos 2x ，x ∈(0,3π)的判断正确的是（ ） A函数f(x)的周期为π B对于∀a ∈R ，函数f(x +a)都不可能为偶函数 C∃x 0∈(0,3π)，f(x 0)=4 D函数f(x)在区间[π2,5π4]内单调递增10. 执行如图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x =( )A √3 B1+√32C √13 D1+√13211. 直角梯形ABCD ，满足AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB =2AD =2CD =2现将其沿AC 折叠成三棱锥D −ABC ，当三棱锥D −ABC 体积取最大值时其外接球的体积为（ ） A√3π2 B 43π C 3π D 4π 12. 已知函数f(x)=x 3−mx ，x ∈R ，若方程f(x)=2在x ∈[−4, 4]恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A (−312，3] B (3,312] C (−∞,−3)∪(312，+∞) D (−∞,3)∪(312，+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 13. 在(x 2+4x 2−4)5的展开式中含x 4项的系数是________．（用数字填写答案）14. 已知过定点P(−2,0)的直线l 与曲线y =√2−x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为________．15. 平面上满足约束条件{x ≥2x +y ≤0x −y −10≤0的点(x, y)形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x ，对称的区域为E ，则区域D 和E 中距离最近两点的距离为________．16. 若数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n 2+a n ，n ∈N +，且b n =11+a n，P n =b 1⋅b 2...b n ，S n =b 1+b 2+...+b n ，则2P n +S n =________．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinB =513，且a ，b ，c 成等比数列．（1）求1tanA +1tanC 的值；（2）若accosB =12，求a +c 的值．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB // CD ，∠DAB =60∘，AB =AD =2CD =2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形．（1）证明：AD ⊥PB ；（2）若四棱锥P −ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 国家AAAAA 级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD 如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y ＝Asinx 的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）． (Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率；(Ⅱ)设X 为某队获奖等次，求随机变量X 的分布列及其期望．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点F 1，F 2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线F 1P 的垂线F 1M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（3）若切线MP 与直线x =−2交于点N ，求证：|NF 1||MF 1|为定值．21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2+x ，a ∈R ． （1）讨论函数f(x)的单调区间；（2）已知a <0，对于函数f(x)图象上任意不同的两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，其中x 2>x 1，直线AB 的斜率为k ，记N(u, 0)，若AB →=λAN →(1≤λ≤2)，求证f′(u)<k ．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22. 如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60∘，∠ABC=90∘，∠BCD=120∘，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30∘；（2）AD=DC．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ= 4√2cos(θ+π4).(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(2, 0)作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求1|PA|+1|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x−a|．(1)若f(x)≤m的解集为{x|−1≤x≤5}，求实数a，m的值．(2)当a=2且0≤t<2时，解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2)．2015年河南省安阳市某校高考数学热身试卷（理科）（2）答案1. C2. B3. A4. C5. B6. B7. C8. C9. C10. D11. B12. B13. −96014. 30∘15.12√5516. 2 17. 解：（1）依题意，b 2=ac ，由正弦定理及sinB =513，得sinAsinC =sin 2B =25169．1tanA +1tanC =cosAsinA+cosC sinC =sin(A+C)sinAsinC=sinB sinAsinC=513×16925=135．（2）由accosB =12知cosB >0．由sinB =513，得cosB =±1213．（舍去负值） 从而，b 2=ac =12cosB=13．由余弦定理，得b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ． 代入数值，得13=(a +c)2−2×13×(1+1213)．解得：a +c =3√7．18. （1）证明：取AD 的中点G ，连接PG 、GB 、BD∵ PA =PD ，∴ PG ⊥AD ．∵ AB =AD ，且∠DAB =60∘，∴ △ABD 是正三角形，∴ BG ⊥AD ， 又∵ PG ∩BG =G ，PG 、BG ⊂平面PGB ∴ AD ⊥平面PGB ． ∴ AD ⊥PB ．…（2）解：∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ， ∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形ABCD 中，由已知可得BC =√3，由V P−ABCD =32，即13[12⋅(1+2)⋅√3]⋅PG =32，得PG =√3，而BG =CG =√3，DG =1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB =√6、PC =√6、PD =2， 在△PCD 中，cosPDC =PD 2+CD 2−PC 22⋅PD⋅CD=−14，∴ sinPDC =√154，∴ △PCD 的面积S △PDC =12⋅PD ⋅CD ⋅sinPDC =√154， 设点B 到平面PCD 的距离为ℎ，由V P−BCD =V B−PCD 得ℎ=2√155， ∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为ℎPB =2√155⋅1√6=√105．… 19. （1）由题意知：S 矩形＝10×10＝100，S =2∫ π05sinxdx =20，记某队员投掷一次“成功”事件为A ， 则P(A)=SS =20100=15⋯．（2）因为X 为某队获奖等次，则X 取值为1、2、3、（4）P(X =1)=C 33(15)3⋅(1−15)0=1125，P(X ＝2)=C 32(15)2(1−15)=12125， P(X ＝3)=C 3115(1−15)2=48125，P(X ＝4)=C 30(1−15)3=64125⋯．即X 分布列为：所以，X 的期望EX ＝1×1125+2×12125+3×48125+4×64125=175⋯20. 解：（1）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =2√3； ∴ 椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1； …（2）设P(x 0, y 0)，由（1），F 1(−2, 0)，设P(x 0, y 0)，M(x, y)过椭圆C 上过P 的切线方程为：x 0x16+y 0y 12=1，①直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0x+2，则直线MF 1的斜率k MF 1=−x 0+2y 0，于是，则直线MF 1的方程为：y =−x 0+2y 0(x +2)，即 yy 0=−(x 0+2)(x +2)，② ①、②联立，解得 x =−8，∴ 点M 的轨迹方程为 x =−8； … （3）依题意及（2），点M 、N 的坐标可表示为M(−8, y M )、N(−2, y N )， 点N 在切线MP 上，由①式得 y N =3(x 0+8)2y 0，点M 在直线MF 1上，由②式得 y M =6(x 0+2)y 0，|NF 1|2=Y N 2=9(x 0+8)24y 2，|MF 1|2=[(−2)−(−8)]2+y M 2=36[y 02+(x 0+2)2]y 2，∴|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 2⋅y 236[y 02+(x 0+2)2]=116(x 0+8)2y 02+(x 0+2)2，③注意到点P 在椭圆C 上，即 x 0216+y 0212=1， 于是y 0=48−x 24代人③式并整理得 |NF 1|2|MF 1|2=14，∴ |NF 1||MF 1|的值为定值12．…21. （1）解：f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x +2ax +1=2ax 2+x +1x当a ≥0时，f′(x)>0在(0, +∞)上恒成立，f(x)在定义域内单调递增； 当a <0时，令f′(x)=0，解得，x =−1±√1−8a4a（舍负） 则x ∈(0,−1−√1−8a4a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x ∈(−1−√1−8a4a，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；综上，a ≥0时，f(x)的单调递增区间为(0, +∞)； a <0时，f(x)的单调递增区间为(0,−1−√1−8a4a)，f(x)的单调递增区间为(−1−√1−8a4a，+∞)．（2）证明：k =y 2−y 1x 2−x 1=lnx 2+ax 22+x 2−lnx 1−ax 12−x 1x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1+a(x 1+x 2)+1，∵ N(u,0),A(x 1，y 2)，B(x 2,y 2)，AB →=λAN →(1≤λ≤2)， ∴ x 2−x 1=λ(u −x 1)，∴ u =x 2+(λ−1)x 1λ，又f′(x)=1x+2ax +1，∴ f′(u)=λx 2+(λ−1)x 1+2ax 2+(λ−1)x 1λ+1，∴ f′(u)−k =λx2+(λ−1)x 1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1+aλ(2−λ)(x 2−x 1)，∵ a <0，x 2>x 1，1≤λ≤2， ∴ aλ(2−λ)(x 2−x 1)<0， 要证：f′(u)<k ．，只需证λx 2+(λ−1)x 1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1<0，即证：λ(x 2−x 1)x2+(λ−1)x 1−(lnx 2−lnx 1)<0，设t =x2x 1>1，令g(t)=λ(t−1)t+λ−1−lnt ，则g′(t)=−t 2+(λ2−2λ+2)t−(λ−1)2(t+λ−1)2t，令ℎ(t)=−t 2+(λ2−2λ+2)t −(λ−1)2， t >1，1≤λ≤2，对称轴t =(λ−1)2+12≤1，ℎ(t)<ℎ(1)=0，∴ g′(t)<0，故g(t)在(1, +∞)内单调递减，则g(t)<g(1)=0，故f′(u)<k ． 22. 证明：（1）由已知得∠ADC =90∘，从而A ，B ，C ，D 四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作PM ⊥BD 于点M ，知M 为BD 的中点，所以∠BPM =12∠BPD =∠A =60∘，从而∠PBM =30∘． …（2）作SN ⊥BP 于点N ，则SN =12SB ．又DS =2SB,DM =MB =12BD ，∴ MS =DS −DM =2SB −32SB =12SB =SN ， ∴ Rt △PMS ≅Rt △PNS ， ∴ ∠MPS =∠NPS =30∘，又PA =PB ，所以∠PAB =12∠NPS =15∘，故∠DAC =45∘=∠DCA ，所以AD =DC ．… 23. 解：(1)由ρ=4√2cos(θ+π4)，可得ρ=4cosθ−4sinθ， ∴ ρ2=4ρcosθ−4ρsinθ， ∴ x 2+y 2=4x −4y ， 即(x −2)2+(y +2)2=8.(2)过点P(2, 0)作斜率为1直线l 的参数方程为： {x =2+√22t ，y =√22t ， 代入(x −2)2+(y +2)2=8， 得t 2+2√2t −4=0，A ，B 对应的参数为t 1、t 2， 则t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=−4， 由t 的意义可得： 1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2| =|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√62． 24. 解：(1)∵ f(x)≤m ，∴ |x −a|≤m ，即a −m ≤x ≤a +m ， ∵ f(x)≤m 的解集为{x|−1≤x ≤5}， ∴ {a −m =−1,a +m =5,解得a =2，m =3．(2)当a=2时，函数f(x)=|x−2|，则不等式f(x)+t≥f(x+2)等价为|x−2|+t≥|x|．当x≥2时，x−2+t≥x，即t≥2与条件0≤t<2矛盾．，成立．当0≤x<2时，2−x+t≥x，即0≤x≤t+22当x<0时，2−x+t≥−x，即t≥−2恒成立．]．综上不等式的解集为(−∞, t+22。
江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学理科试题有答案(扫描版)
2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
河南河北山西2015届高三高考考前质量监测(二)数学(理)试题及答案
A． 5
2
2． ( x 0
B． 10
1 1)dx
2
A． -l
B．0
C． 15
1
C．
2
D． 20 D． 1
3．已知集合 A y | y a,或 y a2 1 , B y | y 2x 1, 2 x 3 ，若 A B
，则实数
a 的取值范围是A． 来自 ,2)D．2
6．设函数 f (x) 2cos 2 (x ) sin(2 x ) ，则
6
3
A． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递减 B． f (x) 在区间 ( , ) 内单调递减
2
44
C． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递增 2
7．已知向量 a，b 的夹角为 2 ， b 3
D． f ( x) 在区间 ( , ) 【 _孚， 4 ）内单调递增 44
( I)求证 ： EF AC1；
(Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值．
19.（本小题满分 12 分）
如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为
l ， 3， 5，7．
规定：击中 A，B，C，D 区域分别可获得 5 分， 3 分， 2 分， 1 分，脱靶（即击中最大圆之
外的某点）得 0 分．
于点 B）是点 B 关于 x 轴的对称点，求△ AOC面积的取值范围， 请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请
写清题号． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲
如图，在△ ABC中，点 D 为线段 BA 延长线上的一点， 且 BDC = A CB， O 为△ ADC 的外接圆． (I)隶证： BC是 O 的切线；
福建省厦门双十中学2015届高三高考前热身考试卷数学【理】试题及答案
厦门双十中学5月热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U N M = ð ( ) A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.下列结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或” 4．已知等比数列{an }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞ 5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A.1B.2C.3D.46.则y 对x A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x –（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1021k n <≤+ B ．0<k．121n +≤kD．0k <<10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f ：M→N，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC 的内切圆圆心为P ，且满足()PA PC PB R λλ+=∈，则满足条件的ABC ∆有（ ）A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
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2015届高三理科数学考前热身训练试题二一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}是虚数单位 , , )1(|2i R a i a a x x A ∈-+==，若R A ⊆，则=a A ．1 B ．1- C ．1± D ．0⒉若四边形ABCD 满足0=+，0)(=⋅-，则该四边形一定是 A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形⒊某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为A ．20B ．24C ．30D ．36 ⒋直线3π=x ，2π=x 都是函数) , 0)(sin()(πϕπωϕω≤<->+=x x f 的对称轴，且函数)(x f 在区间2, 3[ππ上单调递减，则A ．6=ω，2πϕ=B ．6=ω，2πϕ-=C ．3=ω，2πϕ=D ．3=ω，2πϕ-=⒌一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱， 上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示， 则这个几何体的体积=V A ．3054+π B ．π69 C ．π66 D ．2454+π⒍a 、b 、0>c ，“a ln 、b ln 、c ln 成等差数列”是“a2、”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件⒎在平面直角坐标系xOy 中，0=++c by ax 与c by ax =+22所 表示的曲线如图2所示，则常数a 、b 、c 之间的关系可能是 A ．0<<a c 且0>b B ．0<<a c 且0<b C ．0>>c a 且0<b D ．A 或C⒏已知平面区域{}21 , 21|) , (≤≤-≤≤-=y x y x D ，y ax z +=（a 是常数），D y x P ∈∀) , (00，记2500≥+=y ax z 为事件A ，则使81)(=A p 的常数a 有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个以上二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知) , (~2σμN X ，68.0)(=+≤<-σμσμX P ，95.0)22(=+≤<-σμσμX P ，某次全市20000人 参加的考试，数学成绩大致服从正态分布)100 , 100(N ， 则本次考试120分以上的学生约有 人． ⒑图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入)( 11sin+∈=N i ia i π，则输出=i ． ⒒设抛物线C ：x y 42=的准线与对称轴相交于点P ， 过点P 作抛物线C 的切线，切线方程是 ．⒓在平面直角坐标系中，四边形ABCD 在映射f ：)1 , 2() , (x y y x -→作用下的象集为四边形////D C B A ，若ABCD 的面积1=S ，则////D C B A 的面积=/S ． ⒔以下命题中，真命题的序号是 （请填写所有真命题的序号）．①回归方程x y5.12ˆ+-=表示变量x 增加一个单位时，y 平均增加5.1个单位． ②已知平面α、β和直线m ，若α//m 且βα⊥，则β⊥m ．③“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是“若1-<x 或1>x ，则12>x ”．④若函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，b a f =)(，若2)(/=a f ，则21)(/=b g ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧=-=t y t x 21（R t ∈为参数）与圆⎩⎨⎧+==a y x θθsin cos （πθ20<≤，θ为参数，a 为常数且0>a ）相切，则=a ． ⒖（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外 一点，直线PO 与圆O 相交于C 、D ，PA 、PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ．若1==CD PC ， 则四边形PADB 的面积=S ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．ABCDEF1A 1B 1C 1D⒗（本小题满分14分）如图5，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距km 680的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成o 45角的方向直飞到达B 处．已知135sin =θ． ⑴在飞行路径ABC ∆中，求C tan ； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km ．（参考数据：414.12=，732.13=）⒘（本小题满分12分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为91．⑴求选手甲可进入决赛的概率；⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．⒙（本小题满分14分）如图6，1111D C B A ABCD -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且BF AE =．⑴求证：E C F A 11⊥；⑵当1A 、E 、F 、1C 共面时，求： ①1D 到直线E C 1的距离；②面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值．⒚（本小题满分14分）已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点)0 , 1、)0 , 1(2F 的距离之和为常数，曲线C 的离心率21=e ． ⑴求圆锥曲线C 的方程；⑵设经过点2F 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A 、B ，试证明在x 轴上存在一个定点P ，使⋅的值是常数．⒛（本小题满分12分）已知数列{})(+∈N n a n ，01=a ，n n n n a a 221⨯+=+)1(≥n ． ⑴求数列{}n a 的通项；⑵设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试用数学归纳法证明2)43(221-+-⨯=-n n S n n ．21（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间) , (b a （a b >）上的函数，若对1x ∀、) , (2b a x ∈，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-，则称)(x f y =是区间) , (b a 上的平缓函数． ⑴试证明对R k ∈∀，1)(2++=kx x x f 都不是区间)1 , 1(-上的平缓函数；⑵若)(x f 是定义在实数集R 上的、周期为2=T 的平缓函数，试证明对1x ∀、R x ∈2，1|)()(|21≤-x f x f ．参考答案与评分建议一、选择题 CBBA DDAC二、填空题 ⒐500 ⒑22 ⒒01=+±y x （对一个3分，全对5分） ⒓2⒔①④（正确选项一个3分，全对5分；错误选项一个扣3分，2个扣5分，扣完为止） ⒕52+（答52±给3分，其他0分） ⒖322三、解答题 ⒗⑴135sin =θ，θ是锐角，所以125tan =θ， )45tan()]45(tan[tan 00+-=+-=θθπC ，0045tan tan 145tan tan ⋅-+-=θθ，717112511125-=⨯-+-=． ⑵26217)45sin(sin 0=+=θC ，由正弦定理θsin 45sin sin 0BC AC C AB ==， 得52045sin sin 0=⨯=CABAC ，2200=BC ， 新的飞行路程比原路程多)(8.1226802200520km AB BC AC =-+=-+． ⒘⑴设选手甲任答一题，正确的概率为p ，依题意91)1(2=-p ，32=p ，甲选答3道题目后进入决赛的概率为278)32(3=，甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为27831)32(323=⋅C 、8116)31()32(2324=C ，所以选手甲可进入决赛的概率81648116278278=++=P ．⑵ξ可取3，4，5，依题意31271278)3(=+==ξP ，27103132)31(3231)32()4(223223=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ， 27831)32()31(32)31()32()5(22242224=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ，所以，ξ的分布列为：27107278527104313=⨯+⨯+⨯=ξE ．⒙⑴以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)6 , 0 , 6(1A 、)6 , 6 , 0(1C ，设m AE =，则)0 , , 6(m E ，)0 , 6 , 6(m F -，从而)6 , 6 , (1--=m F A 、)6 , 6 , 6(1--=m E C ，直接计算知011=⋅F C F A ，所以E C F A 11⊥．⑵①当1A 、E 、F 、1C 共面时，因为底面1111//D C B A ABCD ，所以EF C A //11，所以AC EF //，从而E 、F 分别是AB 、BC 的中点，设1D 到直线E C 1的距离为h ，在E D C 11∆中，93662221=++=E C ，221111BC D C h E C ⨯=⨯，解得24=h ． ②由①得，)0 , 3 , 6(E 、 )0 , 6 , 3(F ，设平面DE A 1的一个法向量为) , , (1c b a n =，依题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅066036111c a DA n b a n ，所以)1 , 2 , 1(1-=n ，同理平面DF C 1的一个法向量为)1 , 1 , 2(2-=n ，由图，面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值21||||cos 2121=⋅=n n θ． ⒚⑴依题意，设曲线C 的方程为12222=+by a x （0>>b a ），1=c ，21==a c e ，2=a ，322=-=c a b ，所求方程为13422=+y x ． ⑵当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，得0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k ， 从而22438k k x x B A +=+，2243)3(4k k x x B A +-=⋅，设)0 , (t P ，则B A B A y y t x t x +--=⋅))(( 2222222243)485(123)())(()1(k k t t t t k x x k t x x k B A B A ++--+-=++++-+=，当4485312322t t t +--=-，811=t 时，对R k ∈∀，64135-=⋅；当x AB ⊥轴时，直线AB 的方程为1=x ，1==B A x x ，23)(±=B A y y ，对811=t ，6413549649))((-=-=+--=⋅B A B A y y t x t x PB PA ，即存在x 轴上的点)0 , 811(P ，使⋅ 的值为常数64135-． ⒛⑴由n n n n a a 221⨯+=+得n a a n n n n =--+1122，122211-=----n a a n n n n ，所以 101232212111)22()22()22(2a a a a a a a a n n n n n n n n n n +-++-+-=-------- 1)2()1(++-+-= n n 2)1(-=n n ，所以)1(22-⨯=-n n a n n ．⑵1=n 时，左边011==a S ，右边02)431(12)43(221=-+-⨯=-+-⨯-n n n ，左边=右边，命题成立；设)(+∈=N k k n 时，命题成立，即2)43(221-+-⨯=-k k S k k ，则11+++=k k k a S S ，2)2(2)1(22)43(22121-+-=+⨯+-+-⨯=--k k k k k k k k k 2]4)1(3)1[(22-++-+⨯k k k ，从而1+=k n 时，命题成立． 综上所述，数列{}n a 的前n 项和2)43(221-+-⨯=-n n S n n ． 21.⑴1x ∀、)1 , 1(2-∈x ，|||||)()(|212121x x k x x x f x f -⨯++=-．若0≥k ，则当1x 、)1 , 21(2∈x 时，121>++k x x ……2分，从而|||)()(|2121x x x f x f ->-；若0<k ，则当1x 、)21, 1(2--∈x 时，121-<++k x x ，1||21>++k x x ，从而|||)()(|2121x x x f x f ->-，所以对任意常数k ，1)(2++=kx x x f 都不是区间)1 , 1(-上的平缓函数．⑵若1x 、]2 , 0[2∈x ，①当1||21≤-x x 时，1|||)()(|2121≤-≤-x x x f x f ；②当1||21>-x x 时， 不妨设2021≤<≤x x ，根据)(x f 的周期性，)2()0(f f =，|)()2(||)0()(||)()2()0()(||)()(|212121x f f f x f x f f f x f x f x f -+-≤-+-=- 1)(22|2|||122121<--=-+=-+≤x x x x x x ， 所以对1x ∀、]2 , 0[2∈x ，都有1|)()(|21≤-x f x f ．对1x ∀、R x ∈2，根据)(x f 的周期性（且2=T ），存在1p 、]2 , 0[2∈p ，使)()(11p f x f =、)()(22p f x f =，从而1|)()(||)()(|2121≤-=-p f p f x f x f ．。