2017届福建省泉州五校高中毕业班“最后一卷”试卷 理科数学

2017届福建省泉州五校高中毕业班“最后一卷”试卷 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在复平面内,复数z 满足3(2)(i z i -=其中i 为虚数单位),则复数z 对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.集合{|15},{|116}A x m x m B x x =+≤≤+=≤≤,则使得()A A B ⊆ 成立的所有m 的值的集合是AA.[0,11]B.(,0][11,)-∞+∞C.[1,21]D.[11,21]3.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是A.求数列1{}n 的前11项和*()n N ∈B.求数列1{}2n 的前11项和*()n N ∈C.求数列1{}n 的前12项和*()n N ∈D.求数列1{}2n 的前12项和*()n N ∈4. 5"x ">是式子2lg(45)x x --有意义的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直线3231+=x y 与幂函数)0()(≠=m x x f m 的图像将于B A 、两点，且10=AB 则m 的值为（ ）.A ．2-B ．21- CD ．28. 何体的体积为( )A.2π+B.4π+C.2π+D.4π+侧(左)视图俯视图7． 如图，四边形ABCD为矩形，AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点率为（ ）A ．16B ．14C ．13 D ．328.已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()⋅+的最小值是（ ）Ａ．225 Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-9．设方程021log 2=⎪⎭⎫⎝⎛-xx 与041log 41=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 的根分另为21,x x ，则（ ）A ．1021<<x xB ．121=x xC ．2121<<x xD ．221≥x x10.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A ，B ，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)[,]x a b a b λλ=+-∈.已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤ 恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[1,3]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 （ ）A. [0,+)∞B. 4[+)3∞C. 4[+)3∞D. 3[+)2∞错误！未找到引用源。

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11.已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组0026312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,则||x y -的取值范围是12.已知函数()sin 5f x a x =,若[lg(lg 2)]3f =,则2[lg(log 10)]f =13．2+2x （）521()mx x-展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 14.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于15.将函数()sin 2(0)f x x x =>的所有极大值点从小到大依次排成数列{}n x , 12n n x x x θ=+++ ,则下列命题正确的是 (写出你认为正确的所有命题的序号)①函数()sin 2f x x =在12x π=处取得极大值;②tan 2n x =③1sin sin n n θθ+≤对于任意正整数n 恒成立;④存在正整数T ,使得对于任意正整数n ,都有sin sin 0n n T θθ++=成立; ⑤n 取所有的正整数,sin n θ的最大值为1三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +.⑴求角B ；⑵若2b =，求ABC ∆面积的最大值.17.第17届亚洲运动会于2014年9月19日——10月4日在韩国仁川举行.现有5个人去观看某日下午的比赛，根据组委会安排当天下午有甲、乙两场比赛，5人约定：每一个人通过一枚质地均匀的骰子决定自己观看哪场比赛，掷出点数为1或2的人去观看甲场比赛，掷出点数大于2的人去观看乙场比赛.⑴求这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率；⑵求这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率；⑶用X,Y 分别表示这5个人中观看甲、乙场比赛的人数，记=X Y ξ-，求随机变量ξ 的分布列与数学期望E ξ.18.如图,在四棱锥B -AA 1C 1C 中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-C 的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上1BC 存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求1BDBC 的值.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离21+（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）过X 轴上一点)0,(m M （)0a m <<的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在椭圆C 上是否存在定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在，求出m 的值及点T 的坐标，若不存在，请说明理由.20.已知函数1ln ().xf x x+=（Ⅰ）求函数()1f x x =在处的切线方程;（Ⅱ）若a 为实数，函数()(,1)f x a a +在区间上的有极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）试问是否存在,k b N ∈，使得()x e kx b f x >+>恒成立？若存在，请写出,k b 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分． (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.（Ⅰ）求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；（Ⅱ）若矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系错误！未找到引用源。

中，直线错误！未找到引用源。

的参数方程为错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为参数），在极坐标系（与直角坐标系错误！未找到引用源。

取相同的长度单位，且以原点错误！未找到引用源。

为极点，以错误！未找到引用源。

轴正半轴为极轴）中，曲线错误！未找到引用源。

的极坐标方程为错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求直线错误！未找到引用源。

普通方程和曲线错误！未找到引用源。

的直角坐标方程；（Ⅱ）设点错误！未找到引用源。

是曲线错误！未找到引用源。

上的一个动点，求它到直线错误！未找到引用源。

的距离的取值范围. (3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.联考理科数学学科试卷答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内,复数z 满足3(2)(i z i -=其中i 为虚数单位),则复数z 对应的点在D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.集合{|15},{|116}A x m x m B x x =+≤≤+=≤≤,则使得()A A B ⊆ 成立的所有m 的值的集合是A.[0,11]B.(,0][11,)-∞+∞C.[1,21]D.[11,21]3.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是 A.求数列1{}n的前11项和*()n N ∈B.求数列1{}2n 的前11项和*()n N ∈ C.求数列1{}n的前12项和*()n N ∈D.求数列1{}2n的前12项和*()n N ∈A ．1B ．2C ．3D ．44. 5"x ">是式子2lg(45)x x --有意义的 （ B ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直线3231+=x y 与幂函数)0()(≠=m x x f m 的图像将于B A 、两点，且10=AB ，则m 的值为（ C ）.A ．2-B ．21-C ．21D ．2 6. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (C )A.2π+B.4π+C.2π+D.4π7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，为半径画圆，交线段于，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率为（ C ） A ．B ．C ．D ．8.已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()⋅+的最小值是( D ) Ａ．225 Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225- 9．设方程021log 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 与041log 41=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 的根分另为21,x x ，则（ A ）A ．1021<<x xB ．121=x xC ．2121<<x xD ．221≥x x10.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A ，B ，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)[,]x a b a b λλ=+-∈.已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k≤ 恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[1,3]上“k 阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ B ）侧(左)视图正(主)视图 俯视图A. [0,+)∞B. 4[-,+)33∞C. 4[+)3∞D. 3[+)2∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组0026312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,则||x y -的取值范围是 [0, 4 ]12.已知函数()sin 5f x a x =,若[lg(lg 2)]3f =,则2[lg(log 10)]f = 713．2+2x （）521()mx x-展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 答案：7±14.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于答案：21332n n n +--+15.将函数()sin 2(0)f x x x =>的所有极大值点从小到大依次排成数列{}n x ,12n n x x x θ=+++ ,则下列命题正确的是 1/2/4/5 (写出你认为正确的所有命题的序号)①函数()sin 2f x x =在12x π=处取得极大值;②tan 2n x =③1sin sin n n θθ+≤对于任意正整数n 恒成立;④存在正整数T ,使得对于任意正整数n ,都有sin sin 0n n T θθ++=成立; ⑤n 取所有的正整数,sin n θ的最大值为1三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）解⑴由已知及正弦定理得cos sin sin A B C C B =+. ① 又)A B C π=-+ （,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+ ②由①②和0C π∈（，），得sin B B . 又0B π∈ （，），=3B π∴.⑵由已知及余弦定理得2242cos 3a c ac π=+-.又222a c ac +≥，故422cos 3ac ac π≥-，4ac ∴≤，当且仅当a c =时，等号成立.ABC ∴∆的面积1sin 4244S ac B ∴==≤=， 17.（本小题满分13分）解 依题意知，这5个人中，每个人去观看甲场比赛的概率为13，去观看乙场比赛的概率为23.设“这5个人中恰有i 人去观看甲场比赛”为事件i A (0,1,2,3,4,5)i =，则5512()()()33i i ii P A C -=.⑴这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率223251280()()()33243P A C ==.⑵设“这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数”为事件B ，则345B A A A =⋃⋃，由于3A 与4A 与5A 互斥，故345++P B P A P A P A =（）（）（）（）332441550555121212()()+()()+()()333333P B C C C =（）1781= 所以这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率为1781. ⑶ξ的所以可能的取值为1,3,5，2340(1)()+()=81P P A P A ξ== 1410(3)()+()=27P P A P A ξ==，0511(5)()+()=81P P A P A ξ==所以ξ 的分布列为故1+3+5=81278181E ξ=⨯⨯⨯. 因此ABC ∆18.如图,在四棱锥B -AA 1C 1C 中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-C 的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上1BC 存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求1BDBC 的值.(I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩, 令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.同理可得,平面BCC 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1-BC 1-C 为钝角,所以二面角A 1-BC 1-C 的余弦值为1625-. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B = ,即9250λ-=.解得925λ=.因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D, 使得AD⊥A 1B. 此时,1925BD BC λ==.19．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离21+（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）过X 轴上一点)0,(m M （)0a m <<的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在椭圆C 上是否存在定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在，求出m 的值及点T 的坐标，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为)0,(1c F依题目意得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=22221c b a c a c b 分2解得：⎪⎩⎪⎨⎧===112c b a 分3所以，椭圆方程为： 1222=+y x 分4 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为m x =，由1222=+y m ，得：2122m y -= 此时以AB 为直径的圆的方程为：()121)(222m y m x -=+-分5 当：直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为0=y此时以AB 为直径的圆的方程为：()2222 =+y x 分6要使定点T 存在，可知方程()()2,1联立方程组只有一解，⎪⎩⎪⎨⎧=+=∴04321y m m x 分7 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=+202)4321(2m m m 解得32=m 分8 所以点M 的坐标为)0,32(时，可能椭圆上存在定点)0,2(T 满足题意. 分9当过点)0,32(M 直线l 斜率存在时，存在定点)0,2(T 满足题意， 设直线l 的方程为：32+=ky x ，),(),,(2211y x B y x A 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=123222y x ky x ，得：0916322)2(22=-++ky y k 分10 0)2(9649822>++=∆k k )2(916,)2(322221221+-=⋅+-=+k y y k k y y 分11 此时，),2(),,2(2211y x y x -=-=098])2(322[322])2(916)[1(98)(322)1(22221212=++--+-+=++-+=⋅k k k k k y y k y y k 分12因些，过点)0,32(M 直线l 斜率存在时，以AB 为直径的圆过定点)0,2(T 综上所述：存在定点)0,2(T 满足题意。