2.5 一元一次不等式与一次函数(1)
2014年北师大版八年级下2.5一元一次不等式与一次函数(1)课件
(即y>0)
5 x 5 5的解集 2
X<0
11
从数的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值 大于0（或小于0）时x 的取值范围
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
直线y= ax+b在X轴上方或 下方时自变量的取值范围
所以不等式的解集为x＜2
9
例 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等 式的解集 y y=3x+6 y
y=-x+3
-2 x
3 x
(1)3x+6>0 (即y>0) X>-2 (2)3x+6 ≤0 (即y≤0) X≤-2
(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3 (4) –x+3<0 (即y<0) x>3
界点。
1
-1 -1 -2 0 1 2 3 4
7 ,5 ) 4 4
5 6
x
-3
-4 -5
y1 x 3
7
1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时
（1）y1＜y2？ 即：-x+3＜3x-4
（2）y1=y2？
即：-x+3=3x-4
即：-x+3 ＜ 3x-4
（3）y1>y2？
解不等式法：
12
P 20 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。 已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。 列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20米？谁先跑过 100米？ 你是怎样求的？与同伴交流。 设x 为哥哥起跑开始的时间, 则 哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的关系式分别是： 1、直接解不等式； y1= 4x ，y2= 9+3x . 2、先通过列方程找到追 及弟弟的时间。
北师版《一元一次不等式与一元一次不等式组》2.5.1一元一次不等式与一次函数的关系(练习题课件)
12．【2019·常德】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡， 设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时， y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
解：设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100， 解得k1＝20，∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x＋100， 将点(20，300)的坐标代入得20k2＋100＝300， 解得k2＝10.∴y乙＝10x＋100.
4．如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点 P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b>kx－1 的解集在数轴上表示正确的是( A )
*5.如图，已知正比例函数 y1＝ax 与一次函数 y2＝12x＋b 的图象交于点 P.下面有四个结论：①a＜0；②b＜0； ③当 x＞0 时，y1＞0；④当 x＜－2 时，y1＞y2.其中正 确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①④
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10 000 只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设 购进A型口罩m只，这10 000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
解：根据题意得， W＝0.5m＋0.6(10 000－m)＝－0.1m＋6 000， 由题知10 000－m≤1.5m，解得m≥4 000. ∵－0.1＜0，∴W随m的增大而减小． ∴当m＝4 000时，W取最大值， W最大＝－0.1×4 000＋6 000＝5 600， 即药店购进A型口罩4 000只、B型口罩6 000只，才能使 销售总利润最大，最大总利润为5 600元．
【点拨】由图象知，对于 y1＝ax，y1 随 x 的增大而减小， ∴a＜0，故①正确；直线 y2＝12x＋b 与 y 轴交于正半轴， ∴b＞0，故②错误；当 x＞0 时，y1＜0，故③错误；当 x＜－2 时，直线 y1＝ax 在直线 y2＝12x＋b 的上方，
学练优数学八年级下册(北师版)教学课件：2.5 第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
直线y= ax+b在x轴上方或 下方时自变量的取值范围
首页
合作探究
某单位计划在新年期间组织员工 费 乙
甲 到某地旅游,参加旅游的人数估计为
：
： 每 位 游 客
10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质 量相同,且报价都是每人200元.经过协 商：
做一做
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业 务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3 元；乙 种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选 择乙种业务对顾客更合算？
解：设顾客每月通话时长为x min，那么甲种业务
每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2， 根据题意可知y1=10+0.3x y2=0.4x
该选择哪一家旅行社呢？
,
用先
游 客 的
优
惠旅
惠
游
首页
解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行 社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费 用为y2元,则：
y1 = 200×0.75x, y2 = 200×0.8(x-1),
即y1 = 150x 即y2= 160x-160
第二章 一元一次不等式 与一元一次不等式组
2.5 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入 一元一次不等式与一次函数的关系
从数的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
2.5第1课时一元一次不等式与一次函数的关系-北师大版八年级下册数学教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次不等式与一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（3）实际问题中的一元一次不等式与一次函数关系：将实际问题转化为数学模型，找到关键信息，对部分学生来说是一个挑战。
解决方法：引导学生学会从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，运用所学知识解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元一次不等式与一次函数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数的大小关系的情况？”（如购物时比较价格）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次不等式与一次函数的奥秘。
4.在探索不等式与一次函数关系中，激发学生的创新意识和团队合作精神，培养他们严谨、勤奋的数学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元一次不等式与一次函数的关系：重点讲解一元一次不等式的图像表示，以及一次函数图像与不等式解集之间的对应关系。
举例：对于不等式2x - 3 > 0，理解其图像表示为一条直线y = 2x - 3在x轴上的交点右侧部分。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我深刻地感受到了学生们对一元一次不等式与一次函数关系的探究热情。从导入新课的提问开始，他们就积极参与，分享自己在生活中遇到的实际问题。这一点让我觉得，将数学知识与现实生活相结合的教学方法对学生来说非常具有吸引力。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
《第二章5一元一次不等式与一次函数》作业设计方案-初中数学北师大版12八年级下册
《一元一次不等式与一次函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元一次不等式与一次函数的综合练习，加深学生对基本概念的理解，提高学生的运算能力和解题技巧，同时培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、作业内容作业内容主要围绕一元一次不等式与一次函数的认知、性质及运用展开。
具体包括：1. 回顾一次函数的基本概念，包括函数表达式、图像特征及性质。
2. 掌握一元一次不等式的解法，包括不等式的变形、求解及解集的表示。
3. 结合一次函数与一元一次不等式，进行实际应用题的练习。
例如，利用一次函数解决生活中的最值问题，利用一元一次不等式描述现实生活中的数量关系等。
4. 强化学生对函数图像与不等式解集关系的理解，通过绘制函数图像，分析解集的几何意义。
5. 布置一定量的练习题，包括选择题、填空题和解答题，题型涵盖基础知识和拔高知识，以满足不同层次学生的学习需求。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案或使用网络搜索答案。
2. 要求学生按照课本知识和课堂讲解的内容进行答题，注重理解题目中的关键词和隐含条件。
3. 对于需要画图的题目，要求使用数学工具准确绘制函数图像，并在图像上标明关键点。
4. 解题过程要清晰，步骤完整，结果准确。
对于解答题，需写出详细的解题思路和步骤。
5. 作业需按时提交，迟到或未交作业将按照班级规定处理。
四、作业评价1. 教师将根据学生的答题情况，对作业进行批改和评价。
2. 评价标准包括知识点的掌握程度、解题思路的正确性、计算过程的准确性以及答案的完整性等。
3. 对于优秀作业，将在班级内进行展示和表扬，激励学生积极学习。
4. 对于存在问题的作业，教师将给出详细的批改意见和指导建议，帮助学生改进学习方法。
五、作业反馈1. 教师将通过作业反馈，及时了解学生的学习情况，以便调整教学策略。
2. 针对学生在作业中出现的共性问题，将在课堂上进行讲解和指导。
3. 学生应根据教师的反馈意见，认真反思自己的学习过程，找出不足之处并加以改进。
一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行 社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费 用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
探究新知
例 3 ： 为绿 化 校园 ， 某校 计 划购 进 A， B两 种 树苗 ， 共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种 树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定 月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月 租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业 务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为 常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次 函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围． 从 图 象 上 看 ， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的 解 集 是 使 直 线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一： 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规 定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租 费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对 顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
初中数学北师大版八年级下册《25一元一次不等式与一次函数(1)》教学设计
北师大版数学八年级下 2.5 一元一次不等式与一次函数(1)教学设计同学们，在前面的学习中，我们学习了一次函数的相关知识，下面请同学们回答：问题1.什么是一次函数？答案：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．问题2.你能在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x－5的图象吗？答案：1.列表；2.描点；3.连线x0 2.5y-50观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：(1)x取何值时，y＝0？答案：x=2.5时,y=0;(2)x取哪些值时，y＞0？答案：x>2.5时,y>0;(3)x取哪些值时，y＜0？答案：x<2.5时,y<0;(4)x取哪些值时，y＞1？答案：x>3时,y>1.想一想：如果y＝－2x－5.(1)当x取何值时，y＞0？解：－2x－5>0－2x>5x<－2.5答案：当x<－2.5时,y>0;(2)当x取哪些值时，y＜0？解：－2x－5<0－2x<5x>－2.5答案：当x>－2.5时,y<0;(3)当x取哪些值时，y＞1？解：－2x－5>1－2x>6x<－3答案：当x<－3时,y>1.追问1：你还有其他的方法吗？解：函数y＝-2x－5的图象如图所示：(1)当x<－2.5时,y>0;(2)当x>－2.5时,y<0;(3)当x<－3时,y>1.追问2：你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？归纳：一次函数和一元一次不等式的关系任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为kx ＋b ＞0或kx ＋b ＜0(k ≠0，k ，b 为常数)的形式； 所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x 的取值范围；反映在图象上，就是直线y ＝kx ＋b 在x 轴上方的部分或在x 轴下方的部分对应的自变量x 的取值范围． 即：关于一次函数的值的问题代数法图象法关于一次不等式的问题做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m ，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m ，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象. 观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20m?谁先跑过100m?解：设哥哥跑的时间为x s ，他们跑的路程为y m.根据题意得：4y x 哥＝，39y x 弟＝ 函数图象如图所示：（1）令4x =3x +9, 解得，x =9根据图象可知：9s 前，弟弟跑在了哥哥的前面. （2）根据图象可知：9s 后，哥哥跑在了弟弟的前面. （3）当x ＝9时，y ＝36.根据图象可知：弟弟先跑过了20m ，哥哥先跑过了100m. 练习：已知函数y 1＝2x －5，y 2＝3－2x ，求当x 取何值时，(1)y 1＞y 2？(2)y 1＝y 2?(3)y 1＜y 2?解：方法一：代数法(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2.(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2.(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.答：当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.方法二：图象法解：在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.1．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是()A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2答案：B2．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x>ax＋3的解集是()A．x>2 B．x<2 C．x>－1 D．x<－1答案：D若一次函数y＝ax＋b(a>0)的图象与x轴的交点坐标是(m，下面让我们一起赏析中考题：（2018·锦州）如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是_______.答案：x>1在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y(m)
48 42 36 30 24 18 12 6
y1=4x
(9,36) y2=3x+9
0 2 4 6 8 10 12 x(s)
思路一:图象法 (1)___0_(_s)_<_x_<_9_(_s_) ___时,弟弟跑在哥哥前面. (2)___x_>_9_(_s)___时,哥哥跑在弟弟前面. (3)_弟__弟___先跑过20m._哥__哥___先跑过100m.
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
(4)你是怎样求解的?与同伴交流.
解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距 离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每 人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分 别是: y1=4x y2=3x+9
y
4 3 2 1
-2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5
y=2x-5
1 2345 x
概括总结
通过对图象的观察、分析,得: 我们既可以运用函数图象解不等式,也可以运 用解不等式帮助研究函数问题,二者相互渗透,互 相作用.不等式与函数是紧密联系着的一个整体.
想一想：如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时, y<0?
当x取哪些值时, y<1? 你是怎样求解的？
y
y=-2x-5
4
3
2 (-2.5,0)1
-5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 x
-2 -3 -4 -5
典例精析
例1：兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开 始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关 系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:
概括总结
从数的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值 大于0（或小于0）时x 的取值范围
直线y= ax+b在x轴上方或 下方时自变量的取值范围
当堂练习
1.利用y= 5 x 5 的图像，直接写出： 2 y
思路二:代数法
哥哥: y1=4x 弟弟: y2=3x+9 (1)何时弟弟跑在哥哥前面?
4x<3x+9 x<9 (2)何时哥哥跑在弟弟前面?
4x>3x+9 x>9
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
4x=20 x=5
3x+9=20
∴弟弟先跑过20m
4x=100 x=25 3x+9=100 ∴哥哥先跑过100m
11 x=
3 91 x= 3
例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式 的解集.
y y=3x+6
y
y=-x+3
-2
x
3x
(1)3x+6>0 (即y>0) x>-2
(2)3x+6 ≤0 (即y≤0) x≤-2
(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3
(4) –x+3<0 (即y<0) x>3
通过图象 可直接解 答不等式
一次函数
2.5 一元一次不等式与一次函数(1)
导入新课
复习引入
1.解不等式2x－5＞0.
x＞ 5 2
2.一次函数的图象是_一__条__直__线___.它与x轴的交点坐标
是
b a
,0
，与y轴的交点坐标是 （0，b）；要作
一次函数的图象，只需___两____点即可.
3. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标
是
5 2
,
0
，与y轴的交点 坐标是（0,－5） .
下面我们来探讨一下一元一
作出一次函数y=2x-5的图象
x… y=2x-5 …
0 2.5 … -5 0 …
观察图象回答下列问题: (1)x取何值时, 2x-5=0 (2)x取哪些值时, 2x-5>0 (3)x取哪些值时, 2x-5<0 (4)x取哪些值时, 2x-5>1
5
y=
5
x+5
2
2
x
(1)方程 5 x 5 0的解
2
x=2
(即y=0)
(2)不等式 5 x 5 0的解集
2
x<2
(即y>0)
(3)不等式 5 x 5 0的解
2
x>2
(即y<0)
(4)不等式 5 x 5 5的解集
2
x<0
(即y>5)
课堂小结
一元一次不等式
可以研究一 次函数的图 象走向