万有引力与航天典例分析
高中物理第四章《第四节万有引力与航天》教学课件
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2．星体表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为 g(不考虑地球自转)，由 mg＝GmRM2 ，得 g＝GRM2 . (2)设在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，由 mg′＝(RG＋Mhm)2，得 g′＝
GM (R＋h)2 所以gg′＝(R＋R2h)2.
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们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 已 火．
知它们的轨道半径 R 金<R 地<R 火，由此可以判定
()
A．a 金>a 地>a 火
B．a 火>a 地>a 金
C．v 地>v 火>v 金
D．v 火>v 地>v 金
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根
据 GMRm2 ＝m4πT22R，M＝ρ·43πR3，得 ρ＝G3Tπ2，代入数据解得 ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确．
地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
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[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着 h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述 F 随 h 变化 关系的图象是 D. [答案] D
Mm G R2
张如鹏(万有引力与航天)
经典力学的基础是牛顿运动定律 经典力学只适用于宏观物体的低速运动 经典力学是相对论与量子力学的特殊情形
广义相对论：将引力描述 成因时空中的物质与能量 而弯曲的时空，以取代传 统对于引力是一种力的看 法。 实例：这也就解释了为什 么水星的轨道飘忽不定。
M
m
Mm v G 2 m r r GM \v r
2
7.9 km / s
R
v2 或者mg m 所以v gR 7.9km/ s R
黑洞：质量很大﹑半径很小的天体。 黑洞的脱离速度：
2GM v c R
言外之意就是一旦进入了黑洞的引力范围之内，连光 都无法逃脱其束缚而被完全吞噬掉！
黑洞的产生过程：某一个恒星准备灭亡，其核心在自身重力的作
用下迅速地收缩，塌陷，发生强力爆炸。 紧接着被压缩成一个 密实的星体，同时也 压缩了内部的空间和 时间。剩下来的是一 个密度高到难以想象 的物质。 高质量微体积的黑洞 在吞噬万物的同时也 会释放一部分物质， 射出两道纯能量—— γ射线。
那么黑洞是如何诞生的呢？
月球受地球的引力F月=GM地m月/r地月2
则：地面附近自由落体加速度g=GM地/R地2
月球向心加速度a月=GM地/r地月2
又：r地月≈60R地，那么g=3600a月
由此我们便可以以科学的视角来观察和研究月球的运动规律！
应用二：测地球的质量
首先若不考虑地球自转，地表物体的重力为：
Mm mg G 2 R
m
m0 v2 1 2 c
m：物体在速度为 v时的质量， m ：物体静止时的质量 0
物理 万有引力与航天
知识要点：理解万有引力的推理过程，理解万有引力定律的意义，知道应用条件。
知道万有引力应用的理论意义，知道万有引力定律在天体运动、人类探索太空的中的重要意义及其成就。
三. 重难点解析：1. 月一地检验牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度a==2.74×10-3m／s2一个物体在地面的重力加速度为g=9．8m／s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定律可以导出a∝（a∝，而=k，则a∝）。
因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，a=g=2．74×10-3m／s2。
即其加速度近似等于月球的向心加速度的值。
月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1／3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律。
2. 万有引力定律宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体之间的吸引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比。
公式：F=，其中G=6．67×10-11N·m2／kg2，称为万有引力恒量，而m1、m2分别为两个质点的质量，r为两质点间的距离。
使用条件：① 严格地说，严格的说万有引力只是用于质点之间的作用。
② 两个质量分布均匀的球体，吸引力的计算也可以用上式。
③ 一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
④ 两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。
对万有引力定律的理解① 万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物质之间都存在着这种相互作用。
② 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。
它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
万有引力与航天ppt课件
识 整
4．地球同步卫星的特点
合
(1)轨道平面一定：轨道平面和 赤道 平面重合． (2)周期一定：与 地球自转 周期相同，即 T＝ 24 h .
知 能
高 频 考
(3)高度一定：由 G(RM＋mh)2＝m4Tπ22(R＋h)得，离地面的高
3 度 h＝
G4MπT2 2－R.
达 标 训 练
点
突 破
(4)绕行方向一定：与 地球自转 的方向一致．
整 合
的半径为 r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为 m2，则 A．X 星球的质量为 M＝4GπT2r2113
知 能
高 频
B．X 星球表面的重力加速度为 gX＝4πT212r1 C．登陆舱在 r1 与 r2 轨道上运动时的速度大小之比为
vv12＝
达 标 训 练
考 点
m1r1
突
m2r1
破
D．登陆舱在半径为 r2 轨道上做圆周运动的周期为 T2＝T1
GM
an＝GMr2
r
v减小 增大时ωT增减大小
an减小
知 能 达 标 训 练
菜单
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理
[例1] (2011·浙江理综)为了探测 X 星球，载着登陆舱的探
主 干
测飞船在以该星球中心为圆心，半径为
r1 的圆轨道上运动，周
知 识
期为 T1，总质量为 m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理
主 干 知 识 整 合
知
第四节 万有引力与航天
能 达
标
训
练
高 频 考 点 突 破
菜单
第四章 曲线运动 万有引力与航天
万有引力与航天
万有引力与航天,万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2. 3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．,环绕速度1.第一宇宙速度又叫环绕速度． 推导过程为：由mg ＝m v 2R ＝GMm R2得： v ＝＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．,第二宇宙速度和第三宇宙速度 1.第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．●特别提醒(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大的环绕速度等于最小的发射速度(3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 不同1.人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系GMm r 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ma ―→a ＝GM r 2―→a ∝1r 2m v 2r ―→v ＝ GM r ―→v ∝1r mω2r ―→ω＝ GM r 3―→ω∝1r 3m 4π2T 2r ―→T ＝ 4π2r 3GM ―→T ∝r 3越高越慢 2.同步卫星的五个“一定”轨道平面与赤道平面共面.与地球自转周期相同，T ＝24h.与地球自转的角速度相同.由G Mm （R ＋h ）2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R .v ＝ GM R ＋h .1.关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是( ). A.公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B.当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C.两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D.公式中引力常量G 的值是牛顿规定的2.关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( ).A.第一宇宙速度又叫脱离速度B.第一宇宙速度又叫环绕速度C.第一宇宙速度跟地球的质量无关D.第一宇宙速度跟地球的半径无关3.三颗人造地球卫星A 、B 、C 在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知R A ＜R B ＜R C .若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示．那么再经过卫星A 的四分之一周期时，卫星A 、B 、C 的位置可能是( ).4.苹果自由落向地面时加速度的大小为g ，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为( ).A.gB.12gC.14g D ．无法确定5.一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ).A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3G ρ12B.⎝⎛⎭⎫34πG ρ12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫πG ρ12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3πG ρ12 考点一 万有引力定律在天体运动中的应用(小专题)利用万有引力定律解决天体运动的一般思路1.一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型.2.两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T 2·r ＝mamg ＝GMm R 2(g 为星体表面处的重力加速度)【典例1(2010·海南卷，10)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( ).A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B.火星公转的周期比地球的长C.火星公转的线速度比地球的大D.火星公转的向心加速度比地球的大【变式1】 “嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得( ). A.绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B.绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D.月球与地球质量之比为1∶96【变式2】 (2011·广西模拟)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为( ).A.1.8×103 kg/m 3 B ．5.6×103 kg/m 3C.1.1×104 kg/m 3 D ．2.9×104 kg/m 3考点二 天体表面重力加速度的求解星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM R 2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，即g ′＝GM （R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g .【典例2】英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M和半径R 的关系满足M R ＝c 22G(其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ).A.108 m/s 2 B ．1010 m/s 2 C.1012 m/s 2 D ．1014 m/s 2【变式3】近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则( ).A.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 243B.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 143 C.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 22 D.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 12考点三 卫星的在轨运行和变轨问题(1)圆轨道上的稳定运行G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mm r 2和需要的向心力m v 2r不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mm r 2＞m v 2r时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mm r 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小.【典例3】如图442所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”( ).A.应从较低轨道上加速B.应从较高轨道上加速C.应在从同空间站同一轨道上加速D.无论在什么轨道上只要加速就行【变式4】“天宫一号”被长征二号火箭发射后，准确进入预定轨道，如图443所示，“天宫一号”在轨道1上运行4周后，在Q 点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P 点，开启发动机再次加速，进入轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是( ).A.“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C.“天宫一号”在轨道1上经过Q 点的加速度大于它在轨道2上经过Q 点的加速度D.“天宫一号”在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度6.双星模型1.模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．2．模型特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等．(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r 1＋r 2＝L .1．(2010·重庆理综，16)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )．A ．1∶6 400B ．1∶80C ．80∶1D ．6 400∶12．(2010·天津理综，6)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )．A ．轨道半径变小B ．向心加速度变小C ．线速度变小D ．角速度变小3.(2010·山东理综，18)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图444所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 km 和2 384 km ，则( )．A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能B ．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度C ．卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度D ．卫星在N 点的速度大于7.9 km/s4．(2011·江苏卷，7)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v .引力常量为G ，则( )．A ．恒星的质量为v 3T 2πGB ．行星的质量为4π2v 3GT 2 C ．行星运动的轨道半径为v T 2πD ．行星运动的加速度为2πv T 5．(2011·大纲全国卷，19)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)，然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )．A ．卫星动能增大，引力势能减小B ．卫星动能增大，引力势能增大C ．卫星动能减小，引力势能减小D ．卫星动能减小，引力势能增大。
高中物理：万有引力与航天重点知识归纳及经典例题
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律（1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：kTa=23。
其中k 值与太阳有关，与行星无关。
（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。
当卫星绕行星旋转时，kTa=23，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。
（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动；③k TR =23，R ——轨道半径。
2. 万有引力定律（1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。
（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。
（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。
（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。
3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。
①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m RMm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。
由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。
(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。
在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GMg mg h R Mm G hh +=⇒=+，所以g h R R gh22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。
万有引力与航天 课件
由万有引力提供向心力GRM2m＝mvR2，可得 v＝
GRM，即vv火 地＝
M火R地＝ M地R火
15，因为地球的第一宇宙速度为 v 地＝7.9 km/s，
所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率 v 火
≈3.5 km/s，选项 A 正确．
【答案】 A
【例 3】 如图所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动， 星球相对飞行器的张角为 θ，下列说法正确的是( )
题时不仅要明确各字母的物理意义，还要善于观察各选项的特
点，灵活组建方程．
选项B中有地球表面重力加速度g0，
因有F万＝
GMm r2
，mg0＝
GMm R02
，GM＝g0R
2 0
.因此F万＝mR
2 0
g0/(R0＋h)2，B项对．
选项C的特点是有g0、ω0两个量，两式G重＝mg，F向＝ mrω2中的量统一到了一个表达式中，没有距离h、R0量，因此 结果中设法消去(R0＋h)一项．
典例2 同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度
为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一
宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A.aa12＝Rr
B.aa12＝Rr 2
C.vv12＝Rr
D.vv12＝
R r
解析 设地球质量为 M，同步卫星质量为 m1，地球赤道上 的物体质量为 m2，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相 同，则 a1＝rω21，a2＝Rω22，ω1＝ω2，所以aa12＝Rr ，故 A 选项正 确．
径，T为地球的自转周期，即一昼夜的时间；卫星环绕地球运
行的向心加速度ar＝
GM r2
，式中M为地球质量，r为卫星距地心
高考物理 热点4 万有引力与航天
热点4万有引力与航天考向一星球表面重力与引力的关系【典例】(2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。
如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动①,轨道平面与赤道平面接近垂直。
卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈②。
已知地球半径为地轴R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g③,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为()A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13 C.(gR2T24n2π2)13-R D.(gR2T24n2π2)13【审题思维】题眼直击信息转化①万有引力全部提供圆周运动向心力②地球自转周期是卫星周期的n倍③黄金代换GM=gR2涉及地球自转问题的解题流程1.维度:万有引力定律的应用理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。
现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体,O 为球心,以O 为原点建立坐标轴Ox ,如图所示,一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示,则选项所示的四个F 随x 变化的关系图像中正确的是 ( )2.维度:万有引力定律在火星上的应用“祝融号”火星车搭载着陆平台着陆火星,如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。
着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动,且已知火星质量约为地球质量的110,火星直径约为地球直径的12。
则 ( )A .该减速过程火星车处于失重状态B .该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力C .火星车在火星表面所受重力约为在地球表面所受重力的25D .火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为15考向二 天体质量和密度【典例】(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置①如图所示。
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万有引力与航天典例分析
【学习目标】
1、熟练运用万有引力定律和动力学规律解决天体运行问题。
2、卫星的变轨问题、近地卫星、同步卫星、地球赤道上物体的运动比较
【自主梳理】
应用万有引力定律解决问题的两条思路
思路1：天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，关系式为____________________．
思路2：天体表面重力等于万有引力，关系式为___ ____， 常用替换关系式_ 。
例1：有一宇宙飞船到了某行星的表面附近(该行星没有自转运动)，以速度v 绕行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可得
A.该行星的半径为
B.该行星的平均密度为
C.测出该行星的质量
D.该行星表面的重力加速度为
探究点一：请推导地球卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系
例2：甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是( )
A.甲的周期大于乙的周期
B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度
D.甲在运行时能经过北极的正上方 探究点二：卫星的变轨问题
例3：如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”( )．
A ．应从较低轨道上加速
B ．应从较高轨道上加速
C ．应在从同空间站同一轨道上加速
D ．无论在什么轨道上只要加速就行
探究点三、近地卫星、同步卫星、地球赤道上物体的运动比较
例4：地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，
向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )
A ．F1＝F2＞F3
B ．a1＝a2＝g ＞a3
C ．v1＝v2＝v ＞v3
D ．ω1＝ω3＜ω2
探究点四：天体运动的“相遇”问题
例5、如图所示，有A 、B 两个行星绕同一恒星O 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T1，B 行星的周期为T2，在某一时刻，两行星第一次相遇(即距离最近)，则( )
A ．经过时间t ＝T1＋T2，两行星将第二次相遇
B ．B ．经过时间t ＝T1T2T2－T1
，两行星将第二次相遇 C ．经过时间t ＝T1＋T22
，两行星将第一次相距最远
D ．经过时间t ＝12·T1T2T2－T1
，两个行星将第一次相距最远
针对训练、两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，地球的质量为M ，a 卫星离地面的高度等于R ，b 卫星离地面高度为3R ，则：
(1)a 、b 两卫星运行周期之比Ta ∶Tb 是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a 至少经过多少个周期与b 相距最远？
小结：在不同圆周轨道上绕同一圆心运动的两个行星，当两行星在圆心同侧且和圆心在同一条直线上时，相距最近．当两行星在圆心异侧且和圆心在同一条直线上时，相距最远．解决这类问题的关键是：根据两个行星转动的角度差等于2k π或k π，列出方程求解．
探究点五：双星模型（多星问题）
模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．
例6、宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式
针对训练：月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )．
A ．1∶6 400
B ．1∶80
C ．80∶1
D ．6 400∶1
【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m .
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?。