历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11
10
det d d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=， v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(⎰⎰⎰⎰--=
--++
⎰⎰⎰⎰----=---=10
2
1
00
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (
u u
u u u u u u u u v v u
u
v u u u u u ⎰
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
⎰+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
⎰
+-=10
42d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令⎰
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
⎰
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)]
(1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''= 3
22
23
2)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故
nx
n e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰
=10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因⎰=
10
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===⎰f t f g ，
因此，当0≠x 时，⎰=
x
u u f x
x g 0d )(1)(，故 0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→⎰f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='⎰， 2
00000d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂-∂∂=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰-+=
⎰--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂
-∂∂=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰-+y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰+=-
因此
⎰⎰-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
⎰⎰⎰⎰⎰+=+=----D
x y L
D
x y y y
y x e e y x e e x ye y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
⎰⎰⎰⎰⎰+++=----D
x y L
D x
y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+++=
---D
x x D
x x D y
y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=⎰
⎰-x x x e e x x
即 2s i n s i n 25d d π⎰≥--L y
y x ye
y xe 五、（10分）已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰ 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
⎰⎰-+
=+=1
221
2
2
dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ⎰⎰⎰-+-+=10221031
042dt )1(94
dt )1(34dt x a x a a x a ππ
π
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ⎰-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S 则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ⎰
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =，则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<，故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞ ∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 即 ()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑⎰ ⎰ ， 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑∑， 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==⎰ ⎰⎰ ⎰ ∞+-∞ +-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞ ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ 。 （3）设0s >，求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =⎰ 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，2 2 1,(,)r x y g x y f r ⎛⎫ =+= ⎪⎝⎭ ，求2222g g x y ∂∂+∂∂。 （5）求直线10:0 x y l z -=⎧⎨ =⎩与直线2213 :421x y z l ---== --的距离。 解：（1）2 2(1)(1)(1)n n x a a a =+++=2 2(1)(1)(1) (1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =2 2 2(1)(1) (1)/(1)n a a a a -++-= =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞ ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== （3）00001120 21 011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰ 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开： ''' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以 lim ()x f x →+∞ =+∞，lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ⎧=+>-⎨ =⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ⎰ 在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ⎰ 在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ，'2(1)e ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t ψ==+ 22 d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明： （1）当1α>时，级数 1n n n a S α+∞ =∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n a S α +∞ =∑发散。 解： （1）n a >0, n s 单调递增 当 1n n a ∞ =∑收敛时， 1n n n a a s s αα<，而1n a s α收敛，所以n n a s α 收敛； 当 1 n n a ∞ =∑发散时，lim n n s →∞ =∞ 111 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x αααα----==<⎰⎰ 所以，1111 1211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑⎰⎰ 而 1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰ ，收敛于k 。 所以， 1n n n a s α ∞ =∑收敛。 （2） lim n n s →∞ =∞ 所以 1 n n a ∞ =∑发散，所以存在1k ，使得 1 12 k n n a a =≥∑ 于是，1 1 1 12221 2k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得1 12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11 2N k n n a N s α ≥⋅∑ 当n →∞时，N →∞，所以 1n n n a s α ∞ =∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2 2 2 1)αβγ++=的直线，均匀椭球 222 2221x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2 22 2 2 2 22 2 23214 (1)15c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤- ==-=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰ ⎰ 由轮换对称性， 2 32344 ,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2232323444 (1) (1)(1)151515 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-⎰⎰⎰ 2222224 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- （2）a b c >> ∴当1γ=时，22max 4 ()15I abc a b π=+ 当1α=时，22min 4 ()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线 积分 42 2()c xydx x dy x y ϕ++⎰ 的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 42 2()0;c xydx x dy x y ϕ+=+⎰ （2）求函数()x ϕ； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42 2()c xydx x dy x y ϕ++⎰ 。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ， 使之包围原点。 则有 132 3 4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ϕϕϕ-+++++=-+++⎰⎰⎰ （2） 令4242 2() ,xy x P Q x y x y ϕ= =++ 由（1）知 0Q P x y ∂∂-=∂∂，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ϕϕ+-=- 上式将两边看做y 的多项式，整理得 2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ϕϕϕ+-=-+ 由此可得 '()2x x ϕ=- '435()()42x x x x x ϕϕ-= 解得：2 ()x x ϕ=- （3） 取' L 为4 2 4 x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y ∂∂-=∂∂ '''4242422 42()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ϕϕϕπ ξ - - ++++∴=++++= -=⎰ ⎰⎰⎰ 2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求11cos 0 sin lim x x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； 解：（用两个重要极限）： () () 20003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-∙ ---→→----- -→-⎛⎫⎛⎫ =+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ===== （2）.求1 11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝ ⎭； 解：(用欧拉公式）令111 ...12n x n n n n =+++ +++ 11 1ln =C+o 121 1111ln 2=C+o 12 12n n n n n n +++-+ +++++-+由欧拉公式得（），则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪ ⎨ =-⎪⎩ ，求22 d y dx 。 解：222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()() 222222412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+⎛⎫∴=∙== ⎪⎝⎭ 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设 dz Pdx Qdy =+ ()()() (),0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-⎰⎰⎰ ,P Q y x ∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰ 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()'"0,0,0f f f 均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦ 即 []()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()()()()() 1232 '''1230 230lim 2233lim 0 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()''' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦ 即 ()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()()()()() ()()()'''1230 """1230 ""1232233lim 24293lim 02 4900 00 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠ 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231 231230490 k k k k k k k k k ++=⎧⎪ ++=⎨⎪++=⎩的解 设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，则Ax b =， 增 广 矩 阵 *111110031230010314900011A ⎛⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则 ()(),3R A b R A == 所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1 233,3,1k k k ==-=。 四．（本题17 分）设222 1222:1x y z a b c ∑++=，其中0a b c >>>， 2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面 到原点距离的最大值和最小值。 解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222 222,,1x y z F x y z a b c =++-， 则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为： 222,,,x y z t a b c ⎛⎫ =∴ ⎪⎝⎭ 1∑在点M 处的切平面为∏： ()()()2220x y z X x Y y Z z a b c -+-+-= 原点到平面 ∏ 的距离为 2 2 2 44 4 1d x y z a b c = ++，令 ( )2 224 44,,,x y z G x y z a b c =++ 则() 1,,d G x y z =， 现在求 ( )222 444,,, x y z G x y z a b c =++在条件 222 2221x y z a b c ++=，222z x y =+下的条件极值， 令 ()()222 22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭ 则由拉格朗日乘数法得： '1242'12 42'124 2222 22222222202220 222010 0x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪ ⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪ ⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩ ， 解得2222 220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩ 或22 22220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪ =⎩， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222,,a c G x y z a c a c +=+ 此时的22 144 b c d bc b c +=+或22 244 a c d ac a c +=+ 又因为0a b c >>>，则12d d < 所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 22 244 a c d ac a c +=+，22 144 b c d bc b c +=+ 五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面 的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，() ,,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1）(),,S z dS x y z ρ⎰⎰； （2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰ 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2 22310x y z z ++=≥ 令22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===， 切平面∏的法向量为(),3,n x y z =， ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面∏的距离()2222 2 2 2 2 2 31,,99x y z x y z x y z x y z ρ ++= = ++++ ()22219,,S S z I dS z x y z dS x y z ρ∴==++⎰⎰⎰⎰ 将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ ()() ()() 22 221 210 2 2 2 323244sin 3131xz D z x z r r dr I dxdz d x z r π θθ⎡⎤-+-⎣⎦ ∴==---⎰⎰ ⎰⎰ ()() ()22221 2 2 32sin 32sin 443 31r r dr d r π θθθ --==-⎰ ⎰ 4313322 24223ππ ⨯⎛⎫=-= ⎪⨯⎝⎭ (2)方法一： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3,,999x y z x y z x y z x y z λμν= = = ++++++ ()2 2 2213392S S I z x y z dS z x y z dS I π λμν∴=++=++== ⎰⎰⎰⎰ 六．（本题12分）设f(x)是在 (),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、， 其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明： ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 证明：()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=- 由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间，使得 ()()()() ()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----= - ()() ()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-= -， 又 ()()f m f ξξ<、得 ()() 'f m f ξξ< 111210 ...n n n n n a a m a a m a a ----∴-<-<<-01m << ∴级数1 10 1 n n m a a ∞ -=-∑收敛，∴级数 1 1 n n n a a ∞ -=-∑收敛，即 () 11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 七．（本题15分）是否存在区间 []0,2上的连续可微函数 f(x)，满足 ()()021f f ==， ()()2 01,1f x f x dx ≤≤⎰、 ？请说明理由。 解：假设存在，当[]0,1x ∈ 时，由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+， 同理，当[]1,2x ∈ 时，由拉格朗日中值定理得： 2ξ∃介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+- 即 ()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、， ()[]()[]11,0,1;13,1,2x f x x x x f x x x ∴-≤≤+∈-≤=-∈ 显然， ()()2 00,0f x f x dx ≥≥⎰ ()()()()()1 2 2 1 2 1 1 111133 x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()20 1f x dx ∴≥⎰，又由题意得()()22 00 1,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰ 即 ()2 1f x dx =⎰ ，()[][] 1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()()()()1 1111111lim lim 1,lim lim 1111 1x x x x f x f f x f x x x x x x + +-+ →→→→----====----- ()'1f ∴不存在， 又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数，即()' 1f 存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识， 适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， 令u t -=1，则21t u -= 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f , 则= )(x f ____________. 解: 令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2 2 22 -+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即 曲面 22 22 -+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲; 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才; “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生; 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题; 中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性含左连续与右连续、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理. 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数. 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达L ’Hospital 法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线水平、铅直和斜渐近线、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念. 2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨Newton-Leibniz 公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分. 7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利Bernoulli 方程、全微分方程. 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： ),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. 5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积 7. 欧拉Euler 方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. 第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类，2012） 本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1)222220sin cos lim sin x x x x x x →- 22222222224 004200sin cos sin cos lim lim sin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=解： (2) 1311lim tan 2x x x x e x →+∞⎡⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣ 1231 3233 022******** 320033(1tan )1112:lim 1tan lim 2(1tan )1(1tan )1 22=lim =lim 2(1tan )2x t t x x t t t t t t t t t e x e x x x t t t t t e t t t e t t t t t t e =→+∞→→→+-⎡⎛⎫+-−−−→⎢ ⎪⎝⎭⎣+---+---=+∞⎡+-⎢⎣令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且 0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22y x ∂∂ 2 22222 3 (,)0=()()()20 x x y y y xx yx x yx yy x y y x y xx x yx x yx x yy y y xx x yx x yy y y y x z z f x y x f y y f f x x f y y f f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =∂∂+⇒=-∂∂∂∂+-+∂∂ ∂∂=-=-∂∂--+-+=- =-=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导 大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算)cos 1(cos 1lim 0 x x x x --+→= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算 dxdy x y D ⎰⎰ -2，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解： dxdy x y D ⎰⎰-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -⎰⎰<+ ⎰⎰≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(20 21 -⎰⎰+dy x y dx x )(1 210 2⎰⎰- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号： 所在院校 年级： 专业： 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2 x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dx y d . 解： )],(cos[)(222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22 2 2 2 2 2 2 2 x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 1 23ln 0 = -⋅⎰ dx e e a x x ，求a 的值. 解： )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰ ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ⎰⎰ -- =-⋅231 ln 0 2123---------6分 =a t 231 2 33 221-⋅-------------7分 =]1)23([31 3--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31 ，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分. 大学生数学竞赛非数学类试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空每小题5分,共20分. 计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= . 2设()f x 在2x =连续,且2()3lim 2x f x x →--存在,则(2)f = . 3若tx x x t t f 2)11(lim )(+=∞→,则=')(t f . 4已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '⎰= . 121. 2 3 . 3t e t 2)12(+ . 4C x x +-2ln ln 2. 二、5分计算dxdy x y D ⎰⎰-2,其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(20210-⎰⎰+dy x y dx x )(12102⎰⎰- -------------4分 =3011 -------------5分. 姓名 ： 身 份 证 号 ： 所在院 校 ： 年级： 专 业 ： 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 三、10分设)](sin[2 x f y =,其中f 具有二阶 导数,求22dx y d . 解：)],( cos[)(222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、15分已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,求a 的值. 解：)23(232 123ln 0ln 0x a x a x x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 2312 3 3221-⋅-------------7分 =]1)23([3 13--⋅-a ,-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,故]1)23([313--⋅-a =3 1,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3=a -------------15分. 第五届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷 一、解答下列各题（共4小题，每小题6分，共24分） 1. 求极限( lim 1sin n n π→∞ +。 【解析】：因为sin(sin(2)n π==。 原式lim 1exp lim ln 1n n n n →∞→∞ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ 4exp lim exp n n n e π→∞⎡⎤⎡⎤===⎢⎢⎣⎣ 2. 证明广义积分 0sin x dx x +∞ ⎰不是绝对收敛的。 【解析】：(1)|sin | n n n x a dx x ππ+=⎰，只要证明0 n n a ∞=∑发散。因为 (1)0112 |sin |sin (1)(1)(1)n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰ 02 (1)n n π∞=+∑发散。由正项级数的比较判别法可知，0 n n a ∞=∑发散，即0sin x dx x +∞⎰不绝对收敛。 3. 设()y y x =由323322x x y y +-=所确定，求()y x 的极值。 【解析】：方程两边对x 求导，得222 22 (2) 363602x x y x xy x y y y y y x +'''++-=⇒= - 令 ()00,2y x x x y '=⇒==-。将0,2x x ==-代入所给方程，得 0,1;2,1x y x y ==-=-=。又有222222 (2)(222)(2)(42) (2)y x x xy y x xy yy x y y x ''-++++-''=- 从而有0211 10,10x x y y y y y y ==-=-=''==''''=-<=>。所以(0)1y =-为极大值，(2)1y -=为极小值。 4. 过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使得该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的 面积为 3 4 。求点A 的坐标。 【解析】：设切点A 的坐标为(t ，曲线过A 点的切线为)y x t = -。 令0y =，可得切线与x 轴交点的横坐标为02x t =-。因此平面图形的面积0S Ax t =∆的面积-曲边梯 形OtA 的面积03 314 t S t t = -=⇒=⎰。所以A 的坐标为()1,1。 第二题：（12分）计算定积分2sin arctan 1cos x x x e I dx x π π - ⋅= +⎰。 第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案 （非数学类，2011） 一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。） （1）.求11cos 0sin lim x x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； 解：方法一（用两个重要极限）： () () 20003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-∙ ---→→----- -→-⎛⎫⎛⎫ =+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ===== 方法二（取对数）： 02 020003 2 2 sin 1sin 1ln lim 11cos lim 1cos 2 01sin cos 12lim lim lim 11333 222 sin lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e x e e e e →→→→→-⎛⎫ ⎪ ⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭==== （2）.求1 11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝ ⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n =++++++ 11 1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n n n n n + ++-++++++-+由欧拉公式得（），则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= 方法二（用定积分的定义） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰ -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰ =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）⎰⎰ -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π⎰ ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 全国大学生竞赛历年试题名师精讲 （非数学类） （——） 第五届全国大学生数学竞赛初赛试卷 （非数学类） 一、 解答下列各题（每题6分共24分，规定写出重要环节） 1. 求极限( lim 1sin n n →∞ +. 解 由于( ) sin sin 2sin n ππ==……（2分）； 原式lim 1exp lim ln 1sin n n n n →∞ →∞⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣ ⎦ ………………………………………………………………………………………(2 分 ) ； 14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分 sin x dx x +∞ ⎰ 不是绝对收敛旳 解 记()1sin n n n x a dx x π π += ⎰，只要证明0n n a ∞ =∑发散即可。……………………（2分） 由于()()()()101 12 sin sin 111n n n a x dx xdx n n n π π π π ππ +≥ ==+++⎰ ⎰。…………（2分） 而()02 1n n π ∞ =+∑发散，故由比较鉴别法0n n a ∞ =∑发散。…………………………………… （2分） 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=拟定，求()y x 旳极值。 解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分） 故() 22 22x x y y y x +'= -，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=， 将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分） 又()()()() () 222 2 222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''= - ()()() 0,1,0 2,1,02 00220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---'' '' = =-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。…………………………（3分） 4. 过曲线)0y x ≥上旳点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成旳平面图形旳面积为 3 4 ，求点A 旳坐标。 解 设切点A 旳坐标为(t ，曲线过A 点旳切线方程为)y x t -= - ……………………………………………………………………………（2分）； 令0y =，由切线方程得切线与x 轴交点旳横坐标为02x t =-。 从而作图可知，所求平面图形旳面积 ( )0 332144t S t t t =---==⇒=⎤⎦， 故A 点旳坐标为()1,1。……………………………………………………（4分） 二、（满分12）计算定积分2 sin arctan 1cos x x x e I dx x π π -⋅= +⎰ 解 0 22 sin arctan sin arctan 1cos 1cos x x x x e x x e I dx dx x x π π - ⋅⋅= +++⎰⎰ 前三届高数竞赛初赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，适当看某些辅导书及有 关题目，核心是某些各大高校试题。） 第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 和两坐标轴所围成三角形区域. 解：令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(⎰⎰⎰⎰--= --++ ⎰⎰⎰⎰----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ⎰ -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ⎰+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ⎰ +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是持续函数，且满足⎰ -- =20 22d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ____________. 解：令⎰ = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ⎰ ,历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页
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