基于密度法的热传导结构拓扑优化准则算法

KTe = B kTe B dV =
Ve Ve
B k ∫
T
T0
B dV, 则中间密度单元的单元热刚
∫
T
xe
1 + p ( 1 - xe ) V e
B k B dV ∫
T T0
3 3 3 3 量 x ( x1 , x2 , …, xn ) 处取极值的必要条件为 9L 9Z λ 9V λ 9 ( KT T ) 3 = 3 + 1 3 + 2 3 9xi 9 xi 9xi 9 xi λ3 i +λ4 i = 0 ( i = 1, 2, …, n ) ( 13 ) 当 s3 = 0, s4 = 0, 约束起作用 λ3 i > 0,λ4 i > 0, 3 λ 3 ( xm in - x ) = 0 3 λ - 1) = 0 4 (x V = fV0 , F = KT T,
[6]
实际工程中的许多结构都是在一定温度条件下 运行 ,温度场的存在对结构的性能有很大影响 ,严重 时可导致结构工作不正常 , 因此设计中要求改善结 构散热条件 ,尽可能降低或改善结构温度场 . 如在芯 片设计 、 微机电产品设计中 ,其导热结构和散热装置 设计的优良与否直接影响着结构性能状况 . 许多学 者对导热优化进行了研究 , Bejan
法 (OC )和数学规划方法 (M P )是拓扑优化设计的主
28
华 南 理 工 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )
[9]
第 34 卷
要求解方法
. 本研究将结构力学中的拓扑优化思
1. 2 导热结构拓扑优化模型
根据导热理论 , 正交各向异性固体中热传导微 [ 10 ] 分方程为 : 9 9T + 9 9T + 9 9T + q = k k k v 9x x 9 x 9y y 9 y 9z z 9 z 9T ρ ( 3) vc p 9t 式中 : T 表示物体瞬态温度 , t表示过程进行的时间 , kx , ky , kz 表示材料 x, y, z三个主方向的导热系数 , ρ v 表示材料密度 , cp 为材料的比热 , qv 为材料内热源 强度 . 对各向同性材料方程表示为 : 2 2 T 9T 9T 9T 9 ( 4) k + qv = ρ vc p 2 + 2 + 2 9t 9x 9y 9z 9T = 0, 本研究只考虑稳态温度 9t 场 , 式 ( 4 ) 变为 Poisson方程 2 2 2 9T 9 t 9T ( 5) k + qv = 0 2 + 2 + 2 9x 9y 9z 即 2 ( 6) T + qv / k = 0 由有限元方法得 ( 7) KT T = F 对稳态温度场 式中 : F = F v - F 2 + F 3 , KT = K + K , K =
即
KTe = xe KT0 1 + p ( 1 - xe )
T
,
( 9)
定义结构的热力能 Z = T KT T, 根据最小热量 传递势容耗散原理 : 导热过程必然导致热量传递势 容的耗散 , 对具有一定约束条件的导热过程 , 与热量 传递势容耗散最小对应的导热材料分布 , 使导热性 能最好 . 最小热量传递势容耗散对应最高导热效率 , 最小热量传递势容耗散体现了在相同热负荷作用 下 , 结构有最低的温度分布及最均匀的的温度梯度 . 设定以最小热量传递势容耗散为拓扑优化的目 标函数 , 结构的体积作为优化的约束条件 , 考虑三类 边界条件 , 基于 RAM P插值的优化模型表述为 :
[7]
在电子器件设
[3]
: 通过改变形状和
计中引入高导热材料强化导热 , Snider 基于体点 导热优化问题提出树形分布导热优化 . 这些研究都 是基于求解导热系数 k 在结构中的分布 , 或者就具 体结构分析其导热性能 拓扑优化 . 拓扑优化设计技术通常用于产品概念设计阶 段 ,它对提高结构性能及随后进行的形状和尺寸优 化奠定了基础 . 相对而言 , 结构拓扑优化的研究 、 应 用主要基于结构应力场
6
n
Ke , =
在 RAM P模型中假设材料的属性张量是各向 同性的 . 泊松比为常量 , 且与密度无关 , 而导热系数 k随 ρ 变化而变化 . 理论上 , RAM P 模型当 p 大于一定值时能保证 得到一个可行的设计空间 , 优化过程有好的的稳定 性 , 得到的拓扑优化结果满足热力学原理 , 解是可行 解 . RAM P密度函数模型如图 1 所示 , 在图中 , ρ 和 p 是控制参数. p取不同值时 , 不同的中间密度单元 ρ 导 致单元材料属性参数有逼近 0 或 C 的趋势 . 为直观 起见本文以下用变量 xi 代替 i单元相对密度 ρ .
[ 12 2]
Q ing L i等
利用渐进拓扑优化方法对热传导场进
行了研究 : 将每个单元的热传导系数视作设计变量 , 进行离散温度敏度分析 , 通过移除或弱化具有最小 负敏度值的单元材料来优化结构 , 使得目标位置的 温度获得最有效的降低 . 传统热传导结构的优化设计主要集中在基于尺 寸和形状改变量的热敏度分析
ljcgd211@ sina. com.
. 密度法是目前最有代表性的插值模
型 ,工程中常用的密度插值模型有材料属性合理近 似模 型 ( Rational App roxim ation of M aterial Proper2
ties, RAM P )及固体各向同性微结构惩罚模型 ( Solid Isotrop ic M icrostructures w ith Penalization, SI MP ) , RAM P模型比 SI M P模型有更好的稳定性 . 优化准则
摘 要 : 热传导结构优化设计研究主要集中在形状及尺寸优化方面 , 这类方法由于结构 初始估计构形带有经验性 ,通常并不是结构的最优拓扑 ,使设计具有局限性 ; 为了有效求 解热传导结构的最优拓扑 ,将结构力学中成熟的拓扑优化思想及其方法拓展到热传导结 构的拓扑优化设计中 ,同时以最小热量传递势容耗散为优化目标 ,基于密度法建立热传导 结构拓扑优化设计数学模型 ,并推导相应的优化准则 ; 计算过程中应用基于卷积的滤波技 术处理迭代密度场 ,消除数值计算不稳定性 ; 不同条件下的数值算例验证了本文思想和算 法的正确性 、 有效性 ,所得拓扑优化结果为后继的形状和尺寸优化提供了可靠的依据 . 关键词 : 热传导 ; 拓扑优化 ; 密度法 ; 最小热量传递势容耗散 ; 滤波技术 中图分类号 : TH 122 文献标识码 : A
0
=
e =1
6
n3
Ke , F v
3
=
e =1
6
n
F ve , F 2
T
=
3
e =1
6
n2
F 2e ,
T
F3
e =1
6
n3
F 3e , T
e
= N Te , Ke = B kB dV, Ke =
Ve
F ve =
Ve
q N dV, F ∫
T v
2e
=
Γ e
∫ q N dS, F ∫
T 2
Γ
3e
=
Γ e
e
3
图 1 RAM P密度函数模型
Fig . 1 Model of RAM P density functionality
kTe =
xe
1 + p ( 1 - xe )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kT0
( 8)
第 2期
李家春 等 : 基于密度法的热传导结构拓扑优化准则算法
29
初始材料相对密度为 1 时的单元热刚度矩阵 为 : KT0 = 度矩阵为 :
K
3 3
e =1
想拓展到热力学领域 , 将变密度法引入热传导问题 的材料拓扑优化设计中 ,基于 RAM P 模型和优化准 则法求解热传导结构拓扑优化问题 .
1 基于 RAM P 的导热结构拓扑优化
模型
1. 1 RAM P 插值法
RAM P方法是在 0 2 1 离散模型中引入连续变量
ρ 、 系数 p 及中间密度单元 , 从而将离散型优化问题 ρ≤1, p 为惩罚 转换成连续型优化问题 , 并且令 0 ≤ 因子 , 通过设定 p > 1 对中间密度单元进行有限度的 惩罚 , 以尽量减少中间密度单元的数目 , 使结构单元 密度尽可能趋于 0 或 1. 在优化前和优化后的材料 属性张量之间引入关系式 : ρ 0 m in ) = (C - ρ ) C (ρ ) 1 + p(1 - ρ
( 1)
0 m in 式中 : C (ρ) 为插值以后材料属性张量 , ( C - C )
为实体材料属性张量与空洞部分材料的属性张量之 差 . 由于 C 远小于 C , 故 C 可以忽略不计 . 式
( 1 ) 简化为 : ) = C (ρ
m in 0 m in
ρ
) 1 + p(1 - ρ
C
0
( 2)
m in Z = F T = T KT T =
T T
e =1
xm in ≤xi ≤1.
3 当 λ3 =λ < xm in或 4 = 0 时 , 约束条件不起作用 , 即 xi
3
者 xi > 1 或者 xm in < xi < 1; 当 xi = xm in时 , 设计变 量的下限起作用 , 此时 , λ3 i ≥0, λ4 i = 0; 当 xi 时 , 设 计变量的上限起作用 , 此时 ,λ3 i = 0,λ4 i ≥0. 综合上述分析得到 9L 9Z λ 9V λ 9 ( KT T ) =0 3 = 3 + 1 3 + 2 3 9xi 9 xi 9xi 9 xi 当 xm in < xi < 1 9 ( KT T ) 9L 9Z 9V λ2 ≤0 1 3 = 3 +λ 3 + 3 9xi 9 xi 9xi 9 xi