高中数学竞赛教材讲义第十章直线与圆的方程讲义
圆的方程 高中数学讲义
圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan 45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
平面解析几何
第七章 直线和圆的方程
平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国 数学家笛卡儿和费马
7.1
直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2 x 1 图象
A（0，1）
P（1，3）
P
A
l
方程y 2 x 1
直线l
直线l上的点的坐标满足方程 2 x 1 y
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
直线和圆的方程(单元解读课件)
三、本章教学时间约需16课时
具体分配如下（仅供参考）：
2.1直线的倾斜角与斜率
约2课时
2.2直线的方程
约3课时
2.3直线的交点坐标与距离公式 约4课时
2.4圆的方程
约2课时
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 约3课时
小结
约2课时
四、本章知识结构
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念，倾 斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式， • 以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂 直的位置关系. • 为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书 首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几 何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.
• 能够根据具体问题情境的特点，通过建立适当的平面直角坐标 系，建立直线与圆的方程.
• 能够根据直线与圆等相关几何问题和图形的特点，用代数语言把 几何问题转化成为代数问题；能够根据对直线与圆问题的分析，探 索解决问题的思路；能够运用代数方法解决问题得到代数结论，给 出代数结论的几何解释，解决直线与圆的问题.
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位 置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以 严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法， 通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第2节“直线的方程”
• 包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，
• 斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.
高二文科数学暑期讲义 第1讲 直线与圆的方程 教师版
<教师备案>本讲是在高一春季学过两讲（直线方程六大考点和圆的初步）后的直线与圆的同步讲义，涉及到的新知识点不多，主要是强化直线与圆的灵活与综合应用，进一步体会数形结合的思想．每个板块学习前有春季知识回顾，简单的复习一下直线与圆的基础知识点．1．⑴过点(2且倾斜角为π3的直线方程为_________________． ⑵过点()12，、()23，的直线方程为_____________． 【解析】⑴y =-⑵1y x =+．2．已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10 【解析】 B ． 3．已知ABC △三边所在直线的方程为：:3260AB x y -+=，:23220AC x y +-=，:340BC x y m +-=． ⑴ 判断三角形的形状；⑵ 当BC 边上的高为1时，求m 的值．春季知识回顾 1.1直线的三种形式及其灵活应用满分晋级第1讲直线与圆 的方程解析几何１级 直线与圆的方程解析几何２级 椭圆初步解析几何3级 双曲线与抛物线初步【解析】 ⑴ 直角三角形；⑵ 25m =或35；4．平面内与直线210x y ++=的直线方程为 ． 【解析】 20x y +=或220x y ++=1．直线的方程：①点斜式方程：00()y y k x x -=-②两点式方程：112121y y x x y y x x --=-- ③一般式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为零） 2．点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线l ：0Ax By C ++=的距离d的计算公式：d =；两条平行直线10Ax By C ++=和20Ax By C ++=．3．两条直线的位置关系1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=⑴两条直线相交、平行与重合的条件： ①相交的条件：12210A B A B -≠②平行的条件：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ③重合的条件：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑵两条直线垂直的条件：12120A A B B +=<教师备案>斜率存在的情况下：两条直线为1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+相交的条件：12k k ≠；平行的条件：12k k =且12b b ≠；重合的条件：12k k =，12b b =． 两条直线垂直的条件：121k k =-．考点1：直线方程及其灵活应用 【例1】 ⑴已知直线l 过点()34C ，，且点()11A -，、()57B ，到l 的距离相等，求直线l 的方程． ⑵等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线260x y +-=上，顶点A 的坐标 是()11-，，求边AB ，AC 所在的直线方程．⑶过点()01P ，作直线l ，使它被两直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=所截得的线段 被点P 平分，求直线l 的方程．【解析】 ⑴ 3x =或22y x =-．⑵ 直线AC 的方程为230x y --=，直线AB 的方程为340x y --=或320x y ++=．知识点睛经典精讲⑶ 440x y +-=．【例2】过点()12P --，的直线分别交x 、y 轴的负半轴于A B ，两点，当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程．【解析】 30x y ++=．尖子班学案1【拓2】 已知过点()11A ，且斜率为(0)m m ->的直线l 与x y ，轴分别交于P Q ，，过P Q ，作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R S ，，求四边形PRSQ 的面积的最小值．【解析】 当1m =时，四边形PRSQ 的面积有最小值为3.6．目标班学案1【拓3】 将一块直角三角板ABO （45︒角）置于直角坐标系中，已知1AB OB AB OB ==⊥，，点1124P ⎛⎫⎪⎝⎭，是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（POB △），要把损坏的部分锯掉，可用经过P 的任意一条直线MN 将其锯成AMN △，问如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的AMN △的面积最大？【解析】 当直线MN 的斜率为12k =-时，AMN S △取得最大值13．1．求以()00O ，，()20A ，，()04B ，为顶点的OAB △外接圆的方程． 【解析】 ()()22125x y -+-=．【点评】当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程．2．若32014a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个春季知识回顾 1.2圆的方程形式及其灵活应用【解析】 B ；3．证明：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．【解析】 ()()222212121212224x x y y x x y y x y -+-++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形即可得．1．圆的标准方程 ⑴以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= ⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r += 2．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）①说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪2为半径的圆．<教师备案>⑴当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2E y =-，方程①表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⑵当2240D E F +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．考点2：圆的方程及其灵活应用 【例3】 ⑴求经过点()52A ，、()32B ，，圆心在直线230x y --=上的圆的方程． ⑵求过点(01)(41)A B ，，，且与x 轴相切的圆的方程．【解析】 ⑴ 22(4)(5)10x y -+-=．⑵ 22525(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．<教师备案>三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法求圆的方程．如果已知圆心或半径或圆心到直线的距离可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式．<教师备案>在求圆的方程时，应当注意以下几点：①确定用圆的标准方程还是一般方程；②运用圆的几何性质建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ； ③在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数．提高班学案1【拓1】 过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A B ，，O 为坐标原点，则OAB △的外接圆方程是（ ）A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(4)(2)20x y -+-=经典精讲知识点睛C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=【解析】 A【选讲】 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x =++∈R 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C ． ⑴ 求实数b 的取值范围； ⑵ 求圆C 的方程．【解析】 ⑴ b 的取值范围是(0)(01)-∞，，．⑵ 圆C 的方程为2221(1)(1)124b b x y +-⎛⎫++-=+⎪⎝⎭（或写为222(1)0x y x b y b ++-++=）1．设直线l 过点()20-，，且与圆221x y +=相切，则l 的斜率是（ ） A ．1± B ．12± C． D．【解析】 C2．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(31)A ，，则直线l 的方程为（ ） A ．250x y --= B ．210x y --= C ．20x y --= D ．40x y +-= 【解析】 D ．4．过点(23)P -，作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使P 为AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 【解析】 A<教师备案>主要是对直线与圆的位置关系、过一点作圆的切线以及圆的弦长的回顾．1．直线与圆的位置关系⑴ 如果直线到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，那么： ①若d r >，则直线与圆相离； ②若d r =，则直线与圆相切； ③若d r <，则直线与圆相交．⑵ 将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二 次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系，春季知识回顾 知识点睛1.3直线与圆的综合若0∆<，则直线与圆相离； 若0∆=，则直线与圆相切； 若0∆>，则直线与圆相交． 2．圆与圆的位置关系平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断． 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ， 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d +=时，两圆外切； 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当()120r r d d -=≠时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含．3．当圆与圆相交时，求相交两点所在直线的方程时把两圆的方程作差即可．<教师备案>1．根据直线与圆的方程判断位置关系和求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的关系求解．2．要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”、“圆的切线垂直于经过切点的半径”、“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等，寻找解题途径，减少运算量．3．圆与直线l 相切的情形——圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l ． 4． 圆与直线l 相交的情形——圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．考点3：直线与圆基础 【例4】 ⑴已知圆22(2)1x y -+=，求yx的最大值与最小值． ⑵若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦的长为a = ．【解析】 ⑴yx和．⑵ 1a =．提高班学案2【拓1】 ⑴ 已知x y ，满足221x y +=，则21y x --的最小值为 ； ⑵ 求圆心为()21，，且与已知圆2230x y x +-=的公共弦所在直线过点()52-，的圆的方程．【解析】 ⑴34； 经典精讲⑵ ()()22214x y -+-=．尖子班学案2【拓2】 如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx的最大值为 ，22x y +的最大值为______．【解析】7+目标班学案2【拓3】 ⑴ 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值． ⑵ 已知两圆224x y +=和22(8)4x y +-=．① 若两圆在直线y b +的两侧，求实数b 的取值范围； ② 求经过点(05)A ，且和两圆都没有公共点的直线斜率k 的取值范围．【解析】 ⑴21y x --⑵ ①35b ≤≤．②k <<．考点4：与圆有关的对称问题 【例5】 ⑴已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程 为（ ）A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y -++=C ．22(2)(2)1x y +++=D ．22(2)(2)1x y -+-=⑵一条光线从点(2,3)P 射出，经x 轴反射，与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，求反射光线所在的直线的方程．【解析】 ⑴ B⑵ 4310x y ++=或3460x y ++=．提高班学案3【拓1】已知点A是圆22+++-=上任意一点，A点关于直线210:450C x y ax y+-=的对称点也x y在圆C上，则实数a等于．【解析】10-尖子班学案3【拓2】已知圆22840++-=与以原点为圆心的某圆关于直线y kx bx y x y=+对称，求k、b的值．【解析】25，．k b==目标班学案3【拓3】自点()A-发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆3,3224470：相切，求入射光线l和反射光线所在的直线方程，并求光线自A到+--+=C x y x y切点所经过的路程．【解析】7．考点5：圆上的点到直线的距离问题【例6】已知圆222-++=和直线:4320:(3)(5)C x y r--=，l x y⑴若圆C上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；⑵若圆C上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；⑶若圆C上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围．【解析】方法一采用转化为直线与圆的交点个数来解决；方法二从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手．Array⑴6r>；⑵6r=；⑶46r<<【点评】将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数，是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效．【备选】 已知圆22:(4)(3)1C x y -+-=和点(01)(10)A B -，，，，点P 在圆上，求PAB △面积的最小值． 【解析】；考点6：直线与圆综合 【例7】如图，已知圆心坐标为)1的圆M 与x轴及直线y =分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x轴及直线y =分别相切于C 、D 两点． ⑴ 求圆M 和圆N 的方程；⑵ 过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．【解析】 ⑴M的方程为(()2211x y +-=，N的方程为(()2239x y -+-=；⑵．【演练1】过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 ．【解析】 4【演练2】已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=【解析】 B【演练3】直线21y x =-+上的点到圆224240x y x y ++-+=上的点的最近距离是（ ）AB1 C1- D ．1 【解析】 C【演练4】已知圆22(3)(5)36x y -++=和点(22)(12)A B --，，，，若点C 在圆上且ABC △的面积为52， 则满足条件的点C 的个数是（ ）实战演练图13.2-3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ；【演练5】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上． ⑴ 求AD 边所在直线的方程； ⑵ 求矩形ABCD 外接圆的方程． 【解析】 ⑴ 320x y ++=． ⑵ 22(2)8x y -+=．【演练6】设点(,)P x y 是圆221x y +=上任一点，求21y u x -=+的取值范围． 【解析】 34u -≤．1．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l ：20x y -=的距离最小的圆的方程．【解析】 设所求的圆的圆心为()C a b ，，半径为r ，则P 到x y ，轴的距离分别为b a ，． 由圆截x 轴所对的圆心角为90︒，得圆截x，故222r b =．又圆截y 轴所得弦长为2，所以有221r a =+，从而2221b a -=． 设C 到直线20x y -=的距离为d，则d =于是()()222222222252442421d a b a ab b a a b b b a =-=-+-++=-=≥，当且仅当a b =时等号成立，此时1a b ==或1a b ==-．故所求的圆的方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y +++=．2．点P 到定点A B ，的距离之比为nm（00n m n m >>≠，，），求P 点的轨迹． 【解析】 以直线AB 为x 轴，设A B ，的坐标分别为()()00a b ，，，，P 点坐标为()x y ，，nm=，化简得()()()222222222220m n x y am bn x m a n b -+--+-=， 即)22222222222220am bn m a n b x x y m n m n ---++=--，即()222222222mn a b am bn x y m n m n -⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦大千世界11 这是一个以22220am bn D m n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，为圆心，()22mn a b m n --为半径的圆． 此圆与x 轴交于点0ma nb E m n +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，0ma nb F m n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．这两点是线段AB 的内分点和外分点AE AF n EB BF m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 是线段EF 的中点，这个圆是以EF 为直径的圆． 这个圆通常称为阿波罗尼斯圆．。
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
y
0
2
x
(1)k 2, arctan2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135
(1) 0 ; (2) 90 ; (3) 45
证明三点共线的解析几 何方法：斜率相同
作业： 习题7.1： 5题 1
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
高二数学最新教案-直线和圆的方程讲义 精品
直线和圆的方程一、关于直线：1．有向线段：以A 为起点，B 为终点的有向线段为AB ，数量有AB ＝－BA ；且AB ＝x B －x A ，其中x A ，x B 分别表示点A ，B 在数轴上相对应的数．在直角坐标平面上的有两点间的距离公式|AB |＝221221)()(y y x x -+-；2．定比分点．P （x ，y ）分线段AB （其中A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2））的比为λ ，λ ＝PB AP ，那么有λ ＝x x x x --21，写出x ＝λλ++121x x 同理有y ＝λλ++121y y 其中λ ≠－1．其特例为P 为线段AB 的中点时，λ ＝1，点P 的坐标为（221x x +，221y y +），推广之就有 △ABC 三顶点A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2），C （x 3 ，y 3）的重心坐标为G （3321x x x ++，3321y y y ++）．3．直线的倾斜角α ，其中0≤α ＜π 与斜率的概念及截距．当α ＝2π时，斜率k ＝tan α ，k ＝1212x x y y --；当α ＝2π时斜率不存在；所谓截距就是直线与两坐标轴交点的纵横坐标．4．直线方程的五种形式： 点斜式：y －y 0 ＝k （x －x 0）； 斜截式：y ＝kx ＋b ； 两点式：121y y y y --＝121x x x x --；截距式：a x ＋by＝1； 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0．直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线．5．两条直线的位置关系：（1）若存在斜率的两直线方程为l 1 ：y ＝k 1x ＋b 1 ，l 2 ：y ＝k 2x ＋b 2 ，那么 ①l 1 ∥l 2 ⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ≠b 2 ； ②l 1 与l 2 重合⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ＝b 2 ；③l 1 与l 2 相交⇔k 1 ≠k 2 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔k 1·k 2 ＝－1．（2）若两直线方程分别为l 1 ：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2 ；A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0（A 22 ＋B 22 ≠0），那么①l 1 ∥l 2 ⇔⎩⎨⎧≠=12211221C A C A B A B A 或B 1C 2 ≠C 1B 2 ；②l 1 与l 2 重合⇔⎩⎨⎧==12211221C A C A B A B A 且B 1C 2 ＝B 2C 1 ；③l 1 与l 2 相交⇔A 1B 2 ≠A 2B 1 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔A 1A 2 ＋B 1B 2 ＝0； （3）当k 1·k 2 ≠－1时，①l 1 与l 2 的夹角θ（规定为锐角），则tan θ ＝|21121k k k k +-|；②l 1 到l 2 的角（规定为以l 1 为始边绕l 1 与l 2 的交点逆时针旋转与l 2 重合的最小正角，此时0°≤θ ＜180°，则tan θ ＝21121k k k k +-．其特例为k 1·k 2 ＝－1此时θ ＝90°．）6．点到直线的距离：（1）点P （x 0 ，y 0）到直线l ；Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝2200||BA C By Ax +++，特例是当l ：x ＝a 时d ＝|x 0 －a |；当l ：y ＝b 时，d ＝|y 0 －b |；（2）设l 1 ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0，l 2 ：Ax ＋By ＋C 2 ＝0，则这两平行线间的距离是 d ＝2221||BA C C +-．7．利用平行、垂直、相交确定直线方程时常用到三个直线系：①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线：Ax ＋By ＋λ ＝0（λ 为待定系数）； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线：Bx －Ay ＋λ ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0的交点的直线方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ ∈R 且只包含A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0）．8．关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P （x 0 ，y 0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q （x 1 ，y 1）．有1010x x y y --＝－B A （1）与A ·210x x +＋B ·210y y +＋C ＝0．（2）解出x 1 与y 1 ；若求C 1 ：曲线f （x ，y ）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0对称的曲线C 2 ，由上面的（1）、（2）中求出x 0 ＝g 1（x 1 ，y 1）与y 0 ＝g 2（x 1 ，y 1），然后代入C 1 ：f [g 1（x 1 ，y 1），g 2（x 2 ，y 2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C 2 方程：f [g 1（x ，y ），g 2（x ，y ）]＝0．（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A |＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之．尤其是选择填空题．如曲线C 1 ：y 2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l 2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了．（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决．．二、关于曲线轨迹方程：直角坐标平面上的动点满足某条件的轨迹方程求法主要有三种常用方法：1．直接法：动点P （x ，y ）满足定义，某等量关系可直接得出f （x ，y ）＝0即为所求轨迹方程．如，到定点A （2，3）的距离比到直线x －7＝0的距离多1．很明显的等量关系已给出了即设动点P （x ，y ），有22)3()2(-+-y x －1＝|x －7|．2．代入法：点Q 在曲线C 1 ：f （x ，y ）＝0上移动，动点P 与Q 满足某种关系，设Q （x 1 ，y 1），P （x ，y ）由所满足的关系式得x 1 ＝g 1（x ，y ）与y 1 ＝g 2（x ，y ），代入C 1 ：f （x 1 ，y 1）＝0中即可．如，已知定点A （3，0），P 为单位圆x 2 ＋y 2 ＝1的动点． ∠AOP 的平分线交P A 于M ，求点M 的轨迹方程．就是M （x ，y ）与P （x 0 ，y 0）满足三角形内角平分线比例性质得出x 0 ＝34x －1，y 0 ＝34y 代入单位圆方程2)134(-x ＋2)34(y ＝1即2)43(-x ＋y 2 ＝169． （3）参数法：动点P （x ，y ）的纵、横坐标分别是某变量的函数如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 消参数t 即可得出F （x ，y ）＝0为所求的动点轨迹方程．如求两动直线kx －y ＋2（k ＋1）＝0与x ＋ky ＋2（k －1）＝0的交点P 的轨迹方程．联立方程组求出x ＝f 1（k ）、y ＝f 2（k ）消k 得F （x ，y ）＝0，但实际上主要目的是消参数k ，因此不求出x 、y 能消k 更简捷．即得（x ＋2）k ＝y －2与（y ＋2）k ＝2－x ．两式相除消k 即可．三、关于圆：1．圆的方程：（1）圆心半径式：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2（r ＞0）．特例：x 2 ＋y 2 ＝r 2 ． （2）圆的一般式：x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．圆心（－2D ，－2E ），半径r ＝F E D 422-+（D 2 ＋E 2 －4 F ＞0）． 两种形式的圆方程中都有三个待定参数，因此求圆方程必须三个条件才可． 2．点与圆位置关系：P （x 0 ，y 0）和圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 ． ①点P 在圆C 外有(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＞r 2 ， ②点P 在圆上：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＝r 2 ， ③点P 在圆内：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＜r 2 ．3．直线与圆的位置关系：l ：f 1（x ，y ）＝0．圆C ：f 2（x ，y ）＝0消y 得F （x 2）＝0．（1）直线与圆相交：F （x ，y ）＝0中∆ ＞0；或圆心到直线距离d ＜r ．直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB |＝21k +·|x 1 －x 2|＝21k +·212214)(x x x x -+，或|AB |＝222d r -；②弦中点坐标（221x x +，221y y +）；③弦中点轨迹方程． （2）直线与圆相切：F （x ）＝0中∆ ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P （x 0 ，y 0）是圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 上的点，过P 的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ，其二是圆外点P （x 0 ，y 0）向圆到两条切线的切线长为22020)()(r b y a x --+-或22020r y x -+；其三是P （x 0 ，y 0）为圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ．（3）直线与圆相离：F （x ）＝0中∆ ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 上任一点，|PQ |max ＝|PC |＋r ；|PQ |min ＝|PQ |－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O 1O 2|与两半径r 1 ，r 2 的和差关系判定． （1）设⊙O 1 圆心O 1 ，半径r 1 ，⊙O 2 圆心O 2 ，半径r 2 则：①当r 1 ＋r 2 ＝|O 1O 2|时⊙O 1 与⊙O 2 外切；②当|r 1 －r 2|＝|O 1O 2|时，两圆相切；③当|r 1 －r 2|＜|O 1O 2|＜r 1 ＋r 2 时两圆相交；④当|r 1 －r 2|＞|O 1O 2|时两圆内含；⑤当r 1 ＋r 2 ＜|O 1O 2|时两圆外离．（2）设⊙O 1 ：x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＝0，⊙O 2 ：x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2 ＝0．①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D 1 －D 2）x ＋（E 1 －E 2）y ＋F 1 －F 2 ＝0．②经过两圆的交点的圆系方程为x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＋λ（x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（不包括⊙O 2 方程）．直线和圆的综合练习一、选择题（1）已知A （3，4），B （6，10），点C 在直线上，且AC ∶AB ＝1∶3，则C 点坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415 B ．（4，6） C ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415和⎪⎭⎫⎝⎛1,23 D ．（4，6）或（2，2） （2）过点P (1，2)引一条直线，使它与A (2，3)和B (4，－5)的距离相等，那么这条直线方程为 （ ） A ．4x ＋y －6＝0 B ．x ＋4y －6＝0 C ． x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0 D ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0（3）两条直线l 1，l 2的斜率是方程6x 2＋x －1＝0的两个根，则l 1，l 2的夹角为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°（4）直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M（1，－1），则直线l 的斜率为 （ ）A ．－32 B ．32 C ．－23 D ．23（5）若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ． k ∈R 且k ±≠ 5（6）已知两定点A (－3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB取最小值时，这个最小值为 （ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋102（7）方程x 2＋(m －1)y 2－3my ＋2m ＝0表示两条相交直线，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．0或－8 D ．m 值有无穷多个 （8）在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点是：A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是 （ ） A ．3 B ．1＋22 C ．1＋23 D ．2－22 （9）如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3,则xy的最大值是 （ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 （10）点P 在⊙C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上运动，点Q 在⊙C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上运动，则PQ 的最小值是 （ ）A ．35－5B ．35－3C ．35－2D ．35二、填空题（11）已知A (－2，5)，B (6，1)，则线段AB 的垂直平分线方程为 ． （12）过直线l 1:3x －y －5＝0,l 2:x ＋2y －4＝0的交点，且与直线x ＋5y ＝1平行的直线方程是 ．（13）直线l 过点A （－4，2），倾斜角是直线4x ＋3y －7＝0倾斜角的一半，则直线l的方程是 ．（14）已知△ABC ，A (0，5)，B (2，1)，△ABC 的面积为5，则点C 的轨迹方程是 ．（15）点M 在圆x 2＋y 2＝1上运动，N （3，0），若P 分MN 为3∶1，则P 点的轨迹方程是 ．（16）过A （4，－1）且与⊙C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于B （1，2）的圆的方程是．三、解答题（17）一条直线过P (1，1)，与直线l 1:x ＋2y ＝0,l 2:x －3y －3＝0分别交于A ，B 两点，若P 分线段AB 为2∶1，求直线l 的方程．(18) △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．（19）过P (2，1)作直线l 交x ，y 轴正向于A ，B 两点，当l 在x ，y 轴上截距之和最小时，求直线l 的方程．（20）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上．(Ⅰ) 求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； (Ⅱ) 求在x 轴上，反射点M 的范围．（21）已知⊙C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l 与⊙C 相切且分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ＝a ，OB ＝b （a ＞2，b ＞2）． (Ⅰ) 求线段AB 中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求△ABC 面积的极小值．直线和圆综合练习一、（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）A二、（11）012=--y x （12）075=-+y x （13）0102=+-y x（14）0102=-+y x 或02=+y x（15）1614922=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （16）(x －3)2＋(y －1)2＝5三、（17）设),33(),,2(b b B a a A +-则3)33(221++-=b a ①，321ba +=②，由①②得512=a ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-512,524A ，过A ，P 的直线036297=-+y x 为所求． （18）直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ，直线AB 与AC边中线的方程交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21B设AC 边中点D (x 1，3－2x 1)，C(4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，由中点坐标公式得BC C y y x y x ∴∴=⇒⎩⎨⎧+=--=),1,2(,11)23(224211111边所在的直线方程为0732=-+y x ；AC 边所在的直线方程为y ＝1．（19）设直线l 的方程为112)0,0(1=+⇒=+b a b a b y a x ，则22 a a ab ∴-= 322322)2(2212+≥+-+-=-++=-+=+a a a a a a a b a当22222+=⇒-=-a a a 时等号成立，此时12+=b ∴直线l 的方程为0)22(2=+-+y x（20）⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程．（Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x x∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,43 （21）⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，A (a ，O)，B (O ，b ) ．设直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，∵直线AB 与⊙C 相切，∴02)(2122=++-⇒=+-+b a ab ba ab a b ①（Ⅰ）设AB 中点P (x ，y )，则y b x a by a x 2,22,2==⇒==代入①得P 点的轨迹方程：2xy －2x －2y ＋1＝0，∵a ＞2，∴x ＞1 ∴P 点的轨迹方程为(x -1)(y -1)＝21(x ＞1) （Ⅱ）由①得22024242)(2+≥⇒≥+-⇒-≥-+=ab ab ab ab b a ab ，当且仅当22+==b a 时等号成立． S △AOB ＝21ab ≥3＋22。
高中数学《直线和圆的方程》课件北师大版必修
思考：为什么用的正切来表示斜率？
y C
A
B
0
2
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾
斜程度。
下列说法对吗？
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角。(Yes) (2)任何一条直线都有唯一的斜率。 (No)
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
作业： 习题7.1：1 5题
P1•
0
x
直线的方向向量：OP, (或P1, P2 )
(当x1 x2时)
OP
x2
1
x1
(x2 ,x1,
y2
y1 )
(1,
y2 x2
y1 ) x1
此时，方向向量为(1, k)
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300，
直线l1 l2，求l1, l2的斜率。
解：
l1的斜率k1 tan1 tan 300
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan120 3
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
若 b d 0,则倾斜角 arctan b d
ac
ac
若 b d 0,则倾斜角 arctan( b d )
ac
ac
P37练习：
(1)k 0;(2)k 3;(3)k不存在;(4)k 1 y
0
2
x
(1)k 2, arctan 2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135 (1) 0; (2) 90; (3) 45 证明三点共线的解析几何方法：斜率相同
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学竞赛教材讲义第十章直线与圆的方程讲义第十章直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。
8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||B A C By Ax d +++=。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1C C ≠).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）。
13．圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)。
其圆心为??? ?--2,2E D ，半径为F E D 42122-+。
若点P(x 0, y 0)为圆上一点，则过点P 的切线方程为 .0220000=+++???? ??+++F y y E x x D y y x x ①14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。
给定如下三个不同的圆：x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0; (D 2-D 3)x+(E 2-E 3)y+(F 2-F 3)=0; (D 3-D 1)x+(E 3-E 1)y+(F 3-F 1)=0。
不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在ΔABC 中，AB=AC ，∠A=900，过A 引中线BD 的垂线与BC 交于点E ，求证：∠ADB=∠CDE 。
[证明] 见图10-1，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系。
设点B ，C 坐标分别为（0,2a ）,(2a,0)，则点D 坐标为（a, 0）。
直线BD 方程为12=+ay a x ，①直线BC 方程为x+y=2a ，②设直线BD 和AE 的斜率分别为k 1, k 2，则k 1=-2。
因为BD ⊥AE ，所以k 1k 2=-1.所以212=k ，所以直线AE 方程为x y 21=，由??=+=a y x x y 2,21解得点E 坐标为??? ??a a 32,34。
所以直线DE 斜率为.234323=-=a a a k 因为k 1+k 3=0. 所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC 。
例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。
证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。
[证明] 以A 为原点，平行于正三角形ABC 的边BC 的直线为x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D 的半径等于BC 边上的高，并且在B 能上能下滚动到某位置时与AB ，AC 的交点分别为E ，F ，设半径为r ，则直线AB ，AC 的方程分别为x y 3=,x y 3-=.设⊙D 的方程为(x-m)2+y 2=r 2.①设点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则,311x y =223x y -=，分别代入①并消去y 得.03).(03)(2222222121=-+-=-+-r x m x r x m x 所以x 1, x 2是方程4x 2-2mx+m 2-r 2=0的两根。
由韦达定理-==+4,2222121 rm x x m x x ，所以 |EF|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+3(x 1-x 2)2=4(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2-(m 2-r 2)=r 2.所以|EF|=r 。
所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C 1，C 2，正ΔPQR 三顶点在此双曲线上，求证：P ，Q ，R 不可能在双曲线的同一支上。
[证明] 假设P ，Q ，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C 1上，并设P ，Q ，R 三点的坐标分别为,1,,1,,1,332211x x x x x x 且0<="" 记∠rqp="θ，它是直线QR">知直线QR ，PQ 的斜率分别为3223231111x x x x x x k -=--=，.1112121212x x x x x x k -=--= 由到角公式.01)(11111tan 3221312322132212112<+-=++-=+-=x x x x x x x x x x x x x k k k k θ 所以θ为钝角，与ΔPQR 为等边三角形矛盾。
所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值。
[解] 因为222222)0()1()3()2()(-------=x x x x x f 表示动点P(x, x 2)到两定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB 延长线与抛物线y=x 2的交点C 与点P 重合时，f(x)取最大值|AB|=.104．最值问题。
例5 已知三条直线l 1: mx-y+m=0, l 2: x+my-m(m+1)=0, l 3: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC ，求m 为何值时，ΔABC 的面积有最大值、最小值。
[解]记l 1, l 2, l 3的方程分别为①，②，③。
在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l 1与l 3的交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l 2与l 3的交点。
设l 1, l 2斜率分别为k 1, k 2, 若m ≠0，则k 1?k 2=11-=??-m m , S ΔABC =||||21BC AC ?，由点到直线距离公式|AC|=1|1|1| 1|2222+++=+---m m m m m m ，|BC|=22111|1|m m m m +=++--。
所以S ΔABC =??? ??++=+++?11211121222m m m m m 。
因为2m ≤m 2+1，所以S ΔABC ≤43。
又因为-m 2-1≤2m ，所以1212+≤-m m ，所以S ΔABC ≥.41 当m=1时，（S ΔABC ）max =43；当m=-1时，（S ΔABC ）min =41. 5．线性规划。
例6 设x, y 满足不等式组-≥+≤+≤.|32|2,41x y y x（1）求点(x, y)所在的平面区域；（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
[解] （1）由已知得≥--≥+≤+≤,032,322,41x x y y x 或??<--≥+≤+≤.032,232,41x x y y x解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。
AB ：y=2x-5；CD ：y=-2x+1；AD ：x+y=1；BC ：x+y=4.(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k 在y 轴上的截距，直线l 与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-12，则l 通过B （3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.6．参数方程的应用。