华东师范大学离散数学章炯民课后习题第8章答案
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第7章答案
Attention: 某些答案有问题的已用灰色标出，请大家注意(P123) 2，6，71. 6个学生：Alice 、Bob 、Carol 、Dean 、Santos 和tom ，其中，Alice 和Carol 不和，Dean 和Carol 不和，Santos 、Tom 和Alice 两两不和。
请给出表示这种情形的图模型。
2. 至少含一个顶点的C3的子图有多少个？答：9个。
单个顶点有三种，单条边有三种，两条边时有三种，共9个子图。
3. 证明：在顶点个数不小于2的简单无向图中，必有度数相同的顶点。
证明：假设简单图G 有n (n >2)个顶点，各顶点的度数均不相同，因为简单图△(G )≦n-1，所以度数列应为0，1，2，…，n-1。
其中的n-1度顶点应与其余所有顶点邻接，而这与G 中有0度顶点矛盾，故G 中必有度数相同的顶点。
4. 对哪些n 值来说下列图是偶图？a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn答：a) K n 完全图 n =2时是偶图b)C n 圈图 n 为偶数时候为偶图c)W n 轮图 不是偶图d)Q n 立方图 n 为自然数时是偶图(P123) 4，*12，*补充1. 简单无向图G 有n 个顶点，n+1条边，证明G 中至少有一个顶点的度大于或等于3。
证明： 因为|E|= n+1,所以∑d(V)=2n+2 ，假设G 中所有顶点度数都小于3，则∑d(V) ≦2n ,矛盾。
得证。
2. 一天晚上张先生夫妇参加了一个聚会，参加聚会的人中还有另外三对夫妇，他们相互握了手。
假设没有人自己与自己握手，没有夫妻之间的握手，且同两个人握手不超过一次。
当其他人告诉张先生，他或她握了多少次手时，答案都不相同。
问张先生和太太分别握了几次手？ BobAlice Carol DeanSantostom答：因为当其他人告诉张先生，他或她握了多少手时，答案都不相同，所以除张先生外，其他人握手次数为0，1，2，3，4，5，6。
离散数学课后习题+答案
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
离散数学课后答案详细
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
(完整版)离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第9章答案
大部分学生错答为 2n 2. 一个碗里有 10 个红球和 10 个篮球。一个女士不看着球而随机地选取。 （1）她必须选多少个球才能保证至少有 3 个球是同色的？ （2）她必须选多少个球才能保证至少有 3 个球是蓝色的？
解：
(1) 5 个 (2) 13 个
正确
3. 在(x1+x2+…+xm)n 的展开式中，合并同类项以后有多少个不同的项？ 解：
1. 写出序列{1,0,1,0,1,0,…}的生成函数。
2. 计算广义二项式系数
和
的值。
3. 一钱罐里有大量 1 角、2 角、3 角和 5 角的硬币，从中任取 r 个。请给出不同取法数
的生成函数，并求取 5 个硬币的方法数。
4. 某计算机系统用八进制数字串作为码字，若数字串中含有的 0、2、4、6 的个数为奇数，
1! 3!
0! 2!
2
2
28
组合又相当于 3 元多重集的 15 组合，因此有 C(15+3-1,15) ＝C(17,15)=136 个。 (2) 满足条件的解相当于下面的 3 元多重集的 16 组合：第一种元素至少有 2 个，第二
种元素至少有 2 个，第三种元素至少有 2 个，这种组合又相当于 3 元多重集的 10 组合，因此有 C(10+3-1,10) =C(12,10)=66 个。 (3) 满足条件的解相当于下面的 3 元多重集的 16 组合：x3≥2，第三种元素至少有 2 个， 这种组合又相当于 3 元多重集的 14 组合，因此有 C(14+3-1,14)个。x3≥11，第三种 元素至少有 11 个，这种组合又相当于 3 元多重集的 5 组合，因此有 C(5+3-1,5) 个， 满足 10≥x3≥2 条件的个数为 C(14+3-1,14)- C(5+3-1,5)=C(16,14)-C(7,5)=99. 基本正确。部分学生第三题错。少数学生计算错误。 27. 某学校有 2504 个计算机科学专业的学生，其中 1876 人选修了 C 语言，999 人选修 了 Fortran 语言，345 人选修了 JAVA，876 人选修了 C 语言和 Fortran 语言，231 人选修了 Fortran 和 JAVA，290 人选修了 C 和 JAVA，189 个学生同时选了 C、Fortran 和 JAVA。问没有选这 3 门程序设计语言课中的任何一门的学生有多少个？ 解： A 表示选修了 C 语言，B 表示选修了 Fortran 语言，C 表示选修了 JAVA
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(P147) 2，3
2. 一房子的平面图如图。
问能否从前门进去，最后从后门出去，走过所有的门且每扇门只经过一次？
解：建立无向图图模型如下：顶点表示房间和前后门区域，边表示房间(区域)之间的门。
原问题等价于如下的问题：在表示前门区域和后门区域的顶点之间，是否存在欧拉通路？答案是：存在，因为这个图是连通图，且这两顶点的度为奇数，而其余顶点的度均为偶数（图需重画）
3. 对于有16个扇区和4个探测器的磁鼓，给出一种合理的0-1赋值。
解：0000100110101111
5. 说明下图不是哈密顿图。
解：从图中删除所标记的6个顶点， 所得到的图由7个孤立点组成，有7个连通分量。
所以，该图不满足哈密顿图的必要条件，因而不是哈密顿图（图需改，
怎么改请看
解答）
*补充：
为了测试计算机网络上的所有连接和设备，可以在网络上发一个诊断消息。
为了测试所有的连接，应当使用什么种类的通路？为了测试所有的设备呢？
解：测试连接：欧拉通路；测试设备：哈密顿通路
*13. 证明任意竞赛图都有有向哈密顿通路。
证明：考虑竞争图的某条长度最大的有向基本通路l，证明l含有所有的顶点，从而l是有向哈密顿通路。
采用反证法，假定存在不在l上的顶点。
不妨设顶点v不在l上，l=v1v2…v k-1v k。
v和v k之间的有向边必从v指向v k，否则l将不是最长的基本通路。
类似地，v和v1之间的有向边必从v1指向v。
从v2开始，顺着l找到第1个顶点v i，v和v i之间的有向边从v指向v i，（这样的顶点一定存在，因为v k就是这样的顶点）。
显然，v1v2…v i-1vv i…v k-1v k是基本通路，
长度大于l。
这与l是长度最大的基本通路矛盾。
于是，l含有所有的顶点。
（需加图，请看证明）
14. 设简单连通图G有n个顶点、e条边。
若G是平面图，则e≤3n-6。
证明：简单图任何回路的长度均不小于3，故简单平面图每个面的次数均大于等于3，所以e≤3(n-2)/(3-2)=3n-6（欧拉公式的推论）
17. 若简单连通图G有n个顶点、e条边，则G的厚度至少为⎡e/(3n-6)⎤。
（简单图G的厚度是指G的平面子图的最小个数，这些子图的并是G。
）
证明：设简单连通图G的厚度为t。
于是，G可分为t个简单平面子图，G1，G2，…，G t，不妨设其顶点数分别为v1，v2，…，v t，边数分别为e1，e2，…，e t。
e i≤3v i-6≤3v-6，i=1,2,…,t（对简单连通或不连通平面图都成立），所以e=∑e i≤t(3v-6)，t≥e/(3v-6)，从而G的厚度至少为⎡e/(3v-6)⎤
23. 若一个无向图有n个顶点、e条边、p个连通分量，则n-p≤e。
证明：显然，在p个连通分量之间添加p-1条边即可将G改造为连通图，其边数e+p-1≥n-1，所以n-p≤e
29. 证明连通图的割边一定是每棵生成树的边。
证明：删除割边后的图一定不连通，其中不存在生成树。
所以，每课生成树都包含割边
*补充：
证明树的色数不大于2。
证明：分两种情况：
（1）树仅有1个顶点。
显然，树的色数为1，从而结论成立
（2）树的顶点数大于1。
任取树的一个顶点，记为v。
v到每个顶点都存在唯一的基本通路，可根据该通路的长度的奇偶性标记顶点，具有相同奇偶性的顶点必定不相邻（否则将产生回
路，参见下图），从而可以根据顶点的奇偶性对顶点进行着色，从而树的色数为2，结论成立。
（加图，请看明白上述证明）
33. 有且仅有一个顶点的入度为0，而其他顶点的入度均为1的有向图是否一定是根树？为什么？
解：不是。
反例：根数+有向环
37. 若完全m叉树有n0个叶子，n′个分支结点，则n0=(m-1)n′+1。
解：完全m叉树只有出度为m和0的顶点，所以顶点的入度之和为mn′，顶点总数为n′+ n0。
于是，m n′= n′+ n0-1（握手定理、树的边数=顶点数-1），从而n0=(m-1)n′+1
*补充：
79个外表完全一样的硬币中有一个是假的，这个假硬币比真硬币轻。
请设计一种辨别假币的方法，其中只能使用一架天平，要求称量次数最少。
请给出证明。
解：将含假币的硬币尽可能平均地分为3组，各组中的硬币数量至多相差1，其中至少有2组，它们所含的硬币数量相等，每次称这2组。
第一次称两组硬币，每组各26个。
如果平衡，则假币在剩下的27个硬币中，否则在较轻的那组中。
第二次称量类似地进行，所得到的含假币的组最多包括9个硬币。
第三次称量所得到的含假币的组最多包括3个硬币。
第四次称量得到的含假币的组只包括1个硬币，即找到了假币。
证明：任何称量过程都可以表示为判定树，所需要的最多称量次数是该树的高度。
每次称量有3种可能的结果，所以该树为3叉树。
判定树至少有79个叶子，对应79种可能性，从而树的总顶点数至少为(3·79-1)/2，高度至少为⎡log3 79⎤。
所以，最小的最多称量次数为4。