平行移轴公式
平行轴公式
平行轴公式
平行轴定理能够很简易地，从刚体对于一支通过质心的直轴（质心轴）的转动惯量，计算出刚体对平行于质心轴的另外一支直轴的转动惯量。
运用上述公式时应注意：
1.利用平行移轴公式排序必须从形心轴启程；a、b就是形心c在崭新坐标系y、z中的座标，所以就是存有差值的。
2.在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。
还entitled通过刚体质心的轴线为z轴，刚体相对于这个轴线的转动惯量为jc。
如果存有另一条轴线z与通过质心的轴线z平行，那么，刚体对通过z轴的转动惯量为
j=jc+md2。
惯性矩
惯性矩可以指：横截面的面积为a，则分别则表示横截面对坐标轴z与y的惯性矩，第一式中的y和第二式中的z分别则表示面积微元da至z和至y轴的垂直距离。
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗弯曲的能力。
惯性矩的国际单位为(m^4)。
6.3平行移轴公式
第6章 平面图形的几何性质6.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 主轴和主惯性矩6.3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式任一平面图形如图6.9所示，其面积为A ，形心为C ，坐标轴y c 和z c 为形心轴。
正交坐标轴y 、z 与形心轴y c 、z c 平行，两对平行轴之间的间距分别为a 和b 。
截面对y c 轴、z c 轴的惯性矩I y c、I z c 及惯性积I y z c c 为已知，现求图形对y 、z 轴的惯性矩和惯性积。
图中任一点在两坐标系下的坐标关系为=+z z a c =+y y b c由式（6.5）⎰⎰⎰⎰==+=++I z A z a A z A a z A a AAAAy c c c d ()d d 2d 2222其中⎰=z A I Ac y cd 2，⎰=A A Ad ，⎰=z A S Ac y cd 。
因y c 为形心轴，所以=S y c 0，于是可得同理 ⎭⎪=+⎪⎬=+⎪⎪=+⎫I I abA I I b A I I a A yz y z z z y y c c c 22c （6.9）上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式（parallel-axis theorem ）。
因为a A 2和b A 2均为正，所以在所有相互平行的轴中，同一图形对形心轴的惯性矩最小。
在应用公式（6.9）时需注意，a 、b 是图形的形心C 在yOz 坐标下的坐标，有正、负之分。
同时，y c 、z c 轴一定是形心轴。
6.3.2 主轴和主惯性矩由式（6.6）可知，同一图形对不同的一对直角坐标轴的惯性积是不同的，若图形对某一对直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴，或简称为主轴（principal axes ）。
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal moment of inertia ）。
通过图形形心的主轴称为形心主轴（centroidal axis ），图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩（principal moment of inertia for an area ）。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式
13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。
材料力学惯性矩
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
0.16m;
返回 下一张 上一张 小结
第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ旳距离ρ平方旳乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o旳极惯性矩。
500 500
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50 103 12
20
52
500
1.17
105
cm 4 ;
z2
z2
a22 2
10 503 12
35
202
500
2.17 105 cm4 ;
z z1 z2 117 2 17105 3.34105 cm4;
I zy
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴旳惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对涉及此对称轴在 内旳一对正交坐标轴旳惯性积必为零。
单位： m4 , mm4;
返回 下一张 上一张 小结
例5-2 求矩形截面对其对称轴旳惯性矩和惯性积。
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴旳
静矩为零时，该轴必经过截面形心；反之，若某轴经过形心，
则截面对该轴旳静矩为零。
平行移轴公式
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
和惯性积。
z
zC
I yC z12dA z z1 b
z1
I y z2dA
b
C(a,b)
z yC
y
(z1 b)2dA
Oa
平行移轴公式
(z12 2z1b b2 )dA
A z12dA
A 2z1bdA
b2dA
A
I yC
?
b2 A
A 2z1bdA 2b A z1dA
z
zC
2bSyC
0
b
C(a,b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOa
z1 z yC
y
平行移轴公式
I y I yC b2 A Iz IzC a2 A
I yz I yCzC abA
z
zC
b
C(a,b)
Oa
z1 z yC
y
截面对形心轴的惯性矩最小， 但惯性积不能确定是否最小
平行移轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
n
I yz I yzi i 1
I yi , Izi , I yzi —第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
和惯性积。
平行移轴公式
平行移轴公式
一、 平行移轴公式
zzC
y, z —任意一对坐标轴；
b
C(a,by)C
C ―截面形心；
y
Oa
(a , b ) ―形心C在 yOz坐标系下的坐标；
yC , zC —过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴）。
第七章 静矩及其性质
Iy Iy i i 1 n I z I z i i 1 n I yz I yz i i 1
n
I z i 、 I y i、 I yz i 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯 式中， 性矩和惯性积。
22
§7-3
17
例2
求图示矩形的 I z , I y , I yz ,i y ,iz z
dz z
h
c
y
b
1 3 b 3 bh I y z dA z A 12 3 h 2 1 3 2 I z y dA hb A 12 Iy 3 iy h A 6
2
h 2
Iz 3 iz b A 6 I yz yzdA 0
z
60 96 65 (77 ) 39.7(mm ) 96 77 13
§7-2
惯性矩和惯性积
y
z y dA z
一、简单图形的惯性矩 1、定义： dA对z轴的惯性距: dA对y轴的惯性距: 图形对z轴的惯性矩:
2
dIz y dA 2 dIy z dA o
I z y 2 dA,
求圆环圆形的 I z , I y z D d y
I P I P大 I P小
1 1 D 4 d 4 32 32 1 D 4 ( 1 4 ) 32
d D
I y I z I z大 I z小
1 D 4 (1 4 ) 64
21
三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩 等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图 形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图 形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为
惯性矩和平行移轴公式
二、应用
解： 例 求 I 和xC I yC
200 yC
IxC IxC IxC6.01107mm 4
30 I
C
而
I xC
Ix C1
a 12A1
200 157.5 30
200 303 5.5 7220 30m 0 4m
I
12
2.03 170mm 4
xC1
a 1 57.5 xC
a 2 57.5 xC2
200 157.5 30 I
xC1
a 1 57.5 xC
a 2 57.5 xC2
结语
谢谢大家！
A O
y xC a
AyC 2d A 2 aA
yC
dA
a2 d A A
x
I xC
0
a2 A
即：
IxIxC a2A
§A.3 平行轴定理
一、定理推导
Ix IxC a2A
同理
Iy IyC b2A IxyIxCyC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
Ix IxC
Iy IyC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。
由对称性
y
O
x
1 D4
Ix Iy 2 I p 64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2Ip
(
D4 6
4
d
4
)
D4
64
(14
)
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
Ix
材料力学惯性矩
(z、y轴即形心主轴）
z1z1a12151 012302 052501 0.1 7150cm 4;
z2z2a22211 052303 52025002.1 7150cm 4;
z z 1 z 2 1 1 2 1 7 1 5 7 3 . 3 0 1 5 c 4 4 ; 0 m
返回 下一张 上一张 小结
小结
一、静矩： SzAydA Ayc; SyA zdA Azc;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP
D 4
32
;
空心圆截面：IP3D42(14)(;D d)
三、惯性矩：
Iz
y2dA;
A
Iy
z2dA;
A
矩形截面： I z
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
则截面对该轴的静矩为零。
返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
yc
Sz ; A
zc
Sy . A
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
n
Sy Ai zci; i1
n
四、组合截面形心公式：
A i y ci
yc
i1 n
;
Ai
i1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
A i z ci
zc
i1 n
;
Ai
i1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行移轴公式
平行移轴公式
同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。
定义/平行移轴公式编辑
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴
或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形
(A
证明：
图形微面积dA在y,z坐标系中的位置可以表示为（y c+a , z c+b），则
I z= ∫A y2dA= ∫A(a2+2ay c+y c2)dA=a2A+2aS z+I zc
其中S z为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得
I z= I zc+ Aa2
同理可证图中的其它两式。
结论：从平行移轴公式中可以看出，图形对形心轴的惯性矩最小。
另外，在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。