新人教版九年级上册初三数学 24.1.3 弧、弦、圆心角 课件PPT
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弧相等．
探究新知
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
弧相等
探究新知
素养考点 1 利用弧、弦、圆心角的关系求角度
例1 如图，AB是⊙O 的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E.
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C 解：∵B⌒C=C⌒D=D⌒E
180
A
°
圆是中心对称图形
探究新知
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的 圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究新知
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A O·
B
·O A
B
顶点在圆心上
探究新知
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 A⌒B.
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
巩固练习
变式题1 判断正误。
× 1.等弦所对的弧相等. （ ） × 2.等弧所对的弦相等. （ ） × 3.圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
探究新知
素养考点 2 利用弧、弦、圆心角的关系证明相等
例2 如图，在⊙O中， AB=⌒AC ,∠⌒ACB=60°.
AB=CD
AB=CD
巩固练习
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？ A E B
解：OE=OF.
O·
OE AB,OF CD,
D
F
AE 1 AB,CF 1 CD. C
2
2
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
那么，⌒AB=CD⌒，
弦AB=弦CD.
探究新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦相等．
C
B
D O
①∠AOB=∠COD
A
②⌒AB=C⌒D ③AB=CD
探究新知
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条 件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
OE OF.
巩固练习
连接中考
（2018•中考）把一张圆形纸片按如图所示方式折 叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度 数是（ C ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
解析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E， 由题意可得12：EO= BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．
课堂检测
基础巩固题
1．如果两个圆心角相等，那么 （ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
课堂检测
基础巩固题
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与⌒CD
即AOB COD，
AB=CD.
课堂检测
拓广探索题
⌒⌒
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
解：C⌒D=2A⌒B成立，CD=2AB不成立.
AB C
不是，取C⌒D的中点E,连接OE.
O
E
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 A⌒B=C⌒E=D⌒E . D
归纳 由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
·
O
A
那么， AB与CD ，弦AB=弦CD
⌒⌒
探究新知
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
O·
C
D
O ·′
归纳
通过平移和旋转将两个等
圆变成同一个圆，可得： 如果∠AOB=∠COD，
B M
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
OA
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦
探究新知
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由. 顶点在圆外，
不是圆心角
顶点在圆周上， 不是圆心角
①
②
顶点在圆内，但不 是圆心，不是圆心
角
③
④
圆心角
探究新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
· O
又∵ ∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
巩固练习
变式题2 填一填. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
A
E
B
( ( ( (
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新知
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
探究新知 知识点 1 圆心角的概念
【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中 心在哪里?
·
探究新知
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到 的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
不可以，如图.
B D OC A
探究新知
题设
结论
在 同
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
圆
或 等
如果弧相等
圆
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
探究新知
弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弦相等．
探究 如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
A′ B
∠AOB＝∠A′OB′
B′
·O
︵︵
A 得到： AB A' B '. AB =A＇B＇
探究新知
在同圆中探究
在⊙O中，如与弦CD有怎样的数量关系？ C B D
CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
课堂小结 圆心角
弦、弧、圆心角 的关系定理
概念：顶点在圆心的角
在同圆或等圆中
圆心角 相等
解题指导
①注意前提条件； ②注意灵活转化.
弧 相等
弦 相等
( (
（1）如果AB=CD，那么______A__B_=_C_，D
O·
D
∠_（___A2__）__O__如B____=果__∠__CA__OB_=D．C_D．，那么______A_B__=_C_D_， C
F
∠（3A）O如B=果∠∠ACOOBD=∠COD，那么_____________，
_________．
的关系是（ A ） A. A⌒B=2C⌒D C. A⌒B<C⌒D
B. A⌒B>C⌒D D. 不能确定
课堂检测
能力提升题
如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，A⌒D=B⌒C
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D=B⌒C
C B
O.
AOD BOC.
D
AOD+BOD=BOC+BOD. A
探究新知
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
弧相等
探究新知
素养考点 1 利用弧、弦、圆心角的关系求角度
例1 如图，AB是⊙O 的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E.
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C 解：∵B⌒C=C⌒D=D⌒E
180
A
°
圆是中心对称图形
探究新知
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的 圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究新知
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A O·
B
·O A
B
顶点在圆心上
探究新知
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 A⌒B.
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
巩固练习
变式题1 判断正误。
× 1.等弦所对的弧相等. （ ） × 2.等弧所对的弦相等. （ ） × 3.圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
探究新知
素养考点 2 利用弧、弦、圆心角的关系证明相等
例2 如图，在⊙O中， AB=⌒AC ,∠⌒ACB=60°.
AB=CD
AB=CD
巩固练习
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？ A E B
解：OE=OF.
O·
OE AB,OF CD,
D
F
AE 1 AB,CF 1 CD. C
2
2
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
那么，⌒AB=CD⌒，
弦AB=弦CD.
探究新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦相等．
C
B
D O
①∠AOB=∠COD
A
②⌒AB=C⌒D ③AB=CD
探究新知
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条 件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
OE OF.
巩固练习
连接中考
（2018•中考）把一张圆形纸片按如图所示方式折 叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度 数是（ C ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
解析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E， 由题意可得12：EO= BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．
课堂检测
基础巩固题
1．如果两个圆心角相等，那么 （ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
课堂检测
基础巩固题
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与⌒CD
即AOB COD，
AB=CD.
课堂检测
拓广探索题
⌒⌒
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
解：C⌒D=2A⌒B成立，CD=2AB不成立.
AB C
不是，取C⌒D的中点E,连接OE.
O
E
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 A⌒B=C⌒E=D⌒E . D
归纳 由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
·
O
A
那么， AB与CD ，弦AB=弦CD
⌒⌒
探究新知
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
O·
C
D
O ·′
归纳
通过平移和旋转将两个等
圆变成同一个圆，可得： 如果∠AOB=∠COD，
B M
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
OA
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦
探究新知
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由. 顶点在圆外，
不是圆心角
顶点在圆周上， 不是圆心角
①
②
顶点在圆内，但不 是圆心，不是圆心
角
③
④
圆心角
探究新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
· O
又∵ ∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
巩固练习
变式题2 填一填. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
A
E
B
( ( ( (
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
导入新知
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
探究新知 知识点 1 圆心角的概念
【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中 心在哪里?
·
探究新知
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到 的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
不可以，如图.
B D OC A
探究新知
题设
结论
在 同
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
圆
或 等
如果弧相等
圆
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
探究新知
弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弦相等．
探究 如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
A′ B
∠AOB＝∠A′OB′
B′
·O
︵︵
A 得到： AB A' B '. AB =A＇B＇
探究新知
在同圆中探究
在⊙O中，如与弦CD有怎样的数量关系？ C B D
CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
课堂小结 圆心角
弦、弧、圆心角 的关系定理
概念：顶点在圆心的角
在同圆或等圆中
圆心角 相等
解题指导
①注意前提条件； ②注意灵活转化.
弧 相等
弦 相等
( (
（1）如果AB=CD，那么______A__B_=_C_，D
O·
D
∠_（___A2__）__O__如B____=果__∠__CA__OB_=D．C_D．，那么______A_B__=_C_D_， C
F
∠（3A）O如B=果∠∠ACOOBD=∠COD，那么_____________，
_________．
的关系是（ A ） A. A⌒B=2C⌒D C. A⌒B<C⌒D
B. A⌒B>C⌒D D. 不能确定
课堂检测
能力提升题
如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，A⌒D=B⌒C
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D=B⌒C
C B
O.
AOD BOC.
D
AOD+BOD=BOC+BOD. A
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人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品
圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
二 圆心角、弧、弦之间的关系 合作探究 观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的 图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
重合，
圆是中心对称图形
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆 重合吗？
在同圆或等圆中
关系结构图
温馨提示：一条弦对 应两条弧，由弦相等 得到弧相等时需要区 分优弧和劣弧.
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OCA
辨一辨 判断正误： (1) 等弦所对的弧相等.
（× ）
B
O·
D
C
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那
么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF. 理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE 1 AB，CF 1 CD.
2
2
∵ AB = CD，∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
A
E
B
Байду номын сангаасO·
D
F C
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，
24.1.3 弧、弦、圆心角 课件(共25张PPT) 人教版数学九年级上册
E
B
O·
D
F C
在同圆或等圆中，圆心角及所对的弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角；②两条弧；③两 条弦；④两条弦心距，有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
1．如果两个圆心角相等，那么 A．这两个圆心角所对的弦相等
（ D）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
圆的对称性
圆的轴对称性 圆的中心对称性
垂径定理 及其推论
？？？
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆” 条件的意义.（难点）
观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重 合吗？由此你得到什么结论呢？
180
A
°
所以圆是中心对称图形
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
·
α O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
O·
B
·O
A
B
顶点在圆心上
O
A
B
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相 等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
OE AB, OF CD
AE 1 AB, CF 1 CD
2
人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
六、练习
︵如图︵，A︵B是⊙O 的直径，
BC＝CD DE,∠COD=35°︵，求∠︵AOE︵的度数．
E
D
解： BC CD DE
C BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦，
︵︵
C
AD BC.求证:AB＝CD.
︵︵
B′
·
O
A
·
O
A
︵
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点 A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重
合
︵︵
AB A' B ',
∠AOB＝∠A′OB′
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
1、 在︵⊙o中︵，AOB AOB， AB A' B ', AB AB。 ︵︵
2、 在⊙o中，AB A' B ',
AOB AOB, AB AB。
3、
在⊙o中，AB AB,
︵
︵
AOB AOB, AB A' B。'
A′ B
·
O A
四、练习
︵ ︵ 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ︵ ︵ （1）如果AB=CD，那么___A_B___C_D___，_____A_O_B_____C_O_D___． ︵ ︵ （2）如果 AB CD ，那么___A_B__=_C_D____，_____A_O_B_____C_O．D
O
A DB
圆心角有：
九年级数学上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件 人教版
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 有一组量相等,那么它们所对应的其 余各组量都分别相等.
基础训练
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么
，,
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ，
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ，
。 ,。 ,。
E A
4. 如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN
交该圆于点D、E，且 BC=DE （1）求证：AC=AE
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平
分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留 作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN。
课后思考题
如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别 延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
O
F
C
图3
B D
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
复习回顾 C
垂径定理： 垂直于弦的直径， 并且平分弦对的两条弧。
数学语言：
.O
∵ ①直线CD过圆心O
② CD⊥AB
A
M
B
∴ ③AM=BM
D
④AC=BC
⑤AD=BD
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF
B
O.
A EC
九年级数学上册教学课件《弧、弦、圆心角》
24.1.3 弧、弦、圆心角
九年级上册
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
【教材P85练习 第2题】
解：∵ ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又=∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+ ∠DOE=105°,则∴∠AOE=180°-∠BOE=75°
1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系：
① 圆心角② 弧 弦④ 弦心距
⌒
⌒
⌒
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展延伸
(1)证明：连接AD.∵AB=CD, ∴AB=CD. ∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC. ∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).
九年级上册
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
【教材P85练习 第2题】
解：∵ ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又=∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+ ∠DOE=105°,则∴∠AOE=180°-∠BOE=75°
1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系：
① 圆心角② 弧 弦④ 弦心距
⌒
⌒
⌒
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展延伸
(1)证明：连接AD.∵AB=CD, ∴AB=CD. ∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC. ∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).
初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件(27张PPT)
解：∵ = ,∴ 一
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角ppt课件
B ′
B
O
·
A
O
·
A
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等．
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
谈谈你这节课的收获？
概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
在等圆中（能够重合的圆）中，是否也 能得出类似的结论呢？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？ A′
B
O
·
A
O
·
A
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等．
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
谈谈你这节课的收获？
概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
在等圆中（能够重合的圆）中，是否也 能得出类似的结论呢？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？ A′