第3章双变量模型假设检验
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经济计量学第三讲双变量回归模型的区间估计及其假设检验
决策准则:
5. 如果 t > tc 或 -t < - tc , 则拒绝 Ho
or | t | > | tc |
接受域
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2 -
t
c
a
* Se
2, n-2
bˆ 2
b2
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拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2
+
tc a 2,
*
n-2
Se
bˆ 2
第三节 双变量回归的假设检验（4）
t = 0.5091 - 0.3 = 0.2091 = 5.857 0.0357 0.0357
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第三节 双变量回归的假设检验（7）
One-Tailed t-test (cont.)
2. 查表得知
tc 0.05, 8
where
tc 0.05 ,
8
=1.860
a = 0.05
3. 比较 t 和临界值 t
sˆ 2
Pr[(n - 2)
s 2 (n - 2)
sˆ 2
] =1-a
2 a/2
2 1-a / 2
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第三节 双变量回归的假设检验（1） 第三节 双变量回归的假设检验
一、假设检验的基本问题 1.假设检验的基本思想 2.基本概念
二、假设检验的置信区间方法
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一、正态性假定 1.正态性假定的含义 2.随机干扰项做正态假定的理由
二、在正态假定下OLS估计量的性质
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第一节 正态性假定：经典正态线性回归模型（2）
三、最大似然法 1.双变量回归模型的最大似然估计 — 似然函数 — 最大似然法的基本思想 — 回归系数和随机干扰项的ML估计量
计量经济学 第3章 双变量模型：假设检验
假设检验的前提是什么？
本章框图 一、古典假设
回归结果好坏？ 三、高斯马尔科夫定理
二、估计量的分布问题
四、 假设 检验
七、正态性检验
方法 统计量 显著性
结论
五、拟合优度 六、预测
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
十三、案例2股票价格和利率
理论和假说 变量选择 数据6-13 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十四、案例3房价和贷款利率
理论和假说 变量选择 数据6-6 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十五、案例4古董和拍卖价格
理论和假说 变量选择 数据6-14 散点图 估计和结果 结论的经济意义
第3章 双变量模型：模型检验
引子、样本回归参数的估计问题
引子、样本回归参数的估计问题
结论：
样本回归系数随样本变化。 样本回归系数是随机变量，如何描述？ 样本回归系数和总体回归参数是什么关系 基于什么条件下，利用最小二乘估计的得
到的样本回归系数可以用来作为总体回归 参数的估计？ 根据什么说明：总体回归函数的模型设定 是正确的。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
七、判决系数的性质有哪些？
第3章 双变量模型-假设检验(1)
n
Xi X Yi Y b2 2 X X i 参数估计量的计算公式为： b1 Y b2 X
消费支出Y 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
可支配收入X 1000 2000 3000 4000
小结：用EXCEL和Eviews实现最小二乘法
随机误差项ui的方差2的估计
由于随机项ui不可观测，只能从ui的估计——残差ei出发， 对随机项ui的方差2进行估计。
由数理统计的基本原理可以证明，2的最小二乘估计量为
ˆ
2
2 e i
n2
或
2 e i
2 2 2 2 e y b x i i 2 i 2 ˆ n 2 n 2
第3章 双变量模型参数的统计检验
一、线性回归模型的基本假设
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误
三、OLS估计量的概率分布
四、变量的显著性检验
五、参数的置信区间
§3.1 线性回归模型的基本假设
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF 尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法 （ordinary least squares, OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，使用普通最小二乘法 通常对模型要提出若干基本假设。
线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性
如果假设1、2 满足，则假设 3也满足; 如果假设4满 足，则假设2 也满足
E(ui)=0
量中，OLS估计量是具有最小方差的最优线性无偏估计量。
[农学]B03 假设检验：双变量模型
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1 1 1
i
ˆ ) Var( ˆ ) / Se( 1 1
ˆ ) Se( 0
ˆ ) 2 [ X 2 / n ( X X )2 ] Var( i i 0
2 ( X X ) i
2 2 X /[ n ( X X ) ] i i
5
计量经济学
一、误差项的概率分布
1、进行OLS估计时，对误差项的概率分布没 有假定。对误差项的假定仅仅是：均值为0、没 有自相关且方差相等，有了这些假定，无论误 差项的分布为何，OLS估计量均为BLUE。 2、如果研究的目的只是估计参数，OLS方法 就可达到目的。但是，OLS估计量是误差项的 线性函数，所以OLS估计量的概率分布依赖于 误差项分布的假设。没有分布假设，就不可能 对估计的参数做出有意义的评价，也不可能进 行假设检验。
计量经济学
2、正态变量经过线性变换后仍为正态变量。 3、分布函数仅涉及两个参数：均值和方差。许 多现象都大致服从正态分布。 4、对于小样本或有限容量的样本，正态性假定 有助于推导出OLS估计量的精确概率分布，而且 2 能够用t、F和 分布来对回归模型的性质进行统 计检验。 ◎当样本容量较小时，应注意正态性假定是否 适当。当样本容量大到合理程度时，或许能够放 松正态性假定。
4
计量经济学
第2节
OLS估计的精度：标准误
一、标准误（Standard Error）
1、OLS估计量是样本的函数，评价估计量 的可信度或精度的工具是标准误。 在CLRM假定下，OLS估计量的标准误为： ˆ ) E( ˆ )2 2 / ( X X )2 Var(
18
计量经济学
五、关于假设检验的说明
i
ˆ ) Var( ˆ ) / Se( 1 1
ˆ ) Se( 0
ˆ ) 2 [ X 2 / n ( X X )2 ] Var( i i 0
2 ( X X ) i
2 2 X /[ n ( X X ) ] i i
5
计量经济学
一、误差项的概率分布
1、进行OLS估计时，对误差项的概率分布没 有假定。对误差项的假定仅仅是：均值为0、没 有自相关且方差相等，有了这些假定，无论误 差项的分布为何，OLS估计量均为BLUE。 2、如果研究的目的只是估计参数，OLS方法 就可达到目的。但是，OLS估计量是误差项的 线性函数，所以OLS估计量的概率分布依赖于 误差项分布的假设。没有分布假设，就不可能 对估计的参数做出有意义的评价，也不可能进 行假设检验。
计量经济学
2、正态变量经过线性变换后仍为正态变量。 3、分布函数仅涉及两个参数：均值和方差。许 多现象都大致服从正态分布。 4、对于小样本或有限容量的样本，正态性假定 有助于推导出OLS估计量的精确概率分布，而且 2 能够用t、F和 分布来对回归模型的性质进行统 计检验。 ◎当样本容量较小时，应注意正态性假定是否 适当。当样本容量大到合理程度时，或许能够放 松正态性假定。
4
计量经济学
第2节
OLS估计的精度：标准误
一、标准误（Standard Error）
1、OLS估计量是样本的函数，评价估计量 的可信度或精度的工具是标准误。 在CLRM假定下，OLS估计量的标准误为： ˆ ) E( ˆ )2 2 / ( X X )2 Var(
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计量经济学
五、关于假设检验的说明
第3章_双变量模型：假设检验
Yi = b1 + b2 X i + ui （一元线性） 一元线性）
Yi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + ui
（多元线性） 多元线性）
2. 解释变量X与扰动项u不相关假定 解释变量X与扰动项u
当X是非随机变量，即确定性变量时，该条件 是非随机变量，即确定性变量时， 自动满足； 自动满足； 是随机变量时，该假定要求X 不相关。 当X是随机变量时，该假定要求X与u不相关。
Yi = b1 + b2 X i + ei
ˆ Yi = b1 + b2 Xi
E （ Y X i ）＝ B1＋ B2 X i
Yi = B1＋B2 X i + ui
双变量模型：假设检验 双变量模型：
X是
非随机的 随机误差项u是 随机的 Y 的生成是在随机误差项( 上加上一个非随机项( 由于Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而Y也 就变成了随机变量。 就变成了随机变量。 于是必须对yi的分布做一番讨论 的分布做一番讨论。 于是必须对yi的分布做一番讨论。 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的， 假定随机误差项是如何生成的 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。
（博 彩 支 ） 最 小 二 乘 准 则
Y 出
Yi
ˆ SRF : Yi = b1 + b2 X i
e1
e3
e2
e4
X4
X
1
X
2
X
3
X(收入 收入) 收入
B1、B2的估计
Yi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + ui
（多元线性） 多元线性）
2. 解释变量X与扰动项u不相关假定 解释变量X与扰动项u
当X是非随机变量，即确定性变量时，该条件 是非随机变量，即确定性变量时， 自动满足； 自动满足； 是随机变量时，该假定要求X 不相关。 当X是随机变量时，该假定要求X与u不相关。
Yi = b1 + b2 X i + ei
ˆ Yi = b1 + b2 Xi
E （ Y X i ）＝ B1＋ B2 X i
Yi = B1＋B2 X i + ui
双变量模型：假设检验 双变量模型：
X是
非随机的 随机误差项u是 随机的 Y 的生成是在随机误差项( 上加上一个非随机项( 由于Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而Y也 就变成了随机变量。 就变成了随机变量。 于是必须对yi的分布做一番讨论 的分布做一番讨论。 于是必须对yi的分布做一番讨论。 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的， 假定随机误差项是如何生成的 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。
（博 彩 支 ） 最 小 二 乘 准 则
Y 出
Yi
ˆ SRF : Yi = b1 + b2 X i
e1
e3
e2
e4
X4
X
1
X
2
X
3
X(收入 收入) 收入
B1、B2的估计
双变量模型之假设检验
ˆ 2 ei2 yi2 ˆ12 xi2 4590020 0.7772 7425000 13402
n2
n2
10 2
Sˆ0 ˆ 2
X
2 i
n
xi2 13402 53650000 /10 7425000 98.41
t
ˆ0 0
因此，定义 拟合优度：回归平方和ESS/总离差平方和TSS
2020/2/10
qcc
9
2、可决系数R2统计量
记
R2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
称 R2 为（样本）可决系数/判定系数 （coefficient of determination)。
可决系数的取值范围：[0，1]
R2越接近1，说明实际观测点离样本线 越近，拟合优度越高。
R 2
ˆ12
xi2 yi2
在例收入-消费支出例中，
R2 ˆ12
xi2 yi2
(0.777)2 7425000 0.9766
4590020
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是
随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数
的统计可靠性也应进行检验。
2020/2/10
2020/2/10
qcc
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二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y 的一个显著性的影响因素。
在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显 著的线性影响。这就需要进行变量的显著性检验。
变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的 假设检验。
计量經濟学中，主要是针对变量的参数真值是否为 零来进行显著性检验的。
古扎拉蒂《经济计量学精要》(第4版)笔记和课后习题详解-双变量模型：假设检验(圣才出品)
第3章双变量模型：假设检验3.1 复习笔记一、古典线性回归模型古典线性回归模型假定如下：假定1：回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。
回归模型形式如下：Y i＝B1＋B2X i＋u i这个模型可以扩展到多个解释变量的情形。
假定2：解释变量X与扰动误差项u不相关。
但是，如果X是非随机的（即为固定值），则该假定自动满足。
即使X值是随机的，如果样本容量足够大，也不会对分析产生严重影响。
假定3：给定X，扰动项的期望或均值为零。
即E（u|X i）＝0（3-1）假定4：u i的方差为常数，或同方差，即var（u i）＝σ2（3-2）假定5：无自相关假定，即两个误差项之间不相关。
即：cov（u i，u j）＝0，i≠j（3-3）无自相关假定表明误差u i是随机的。
由于假定任何两个误差项不相关，所以任何两个Y值也是不相关的，即cov（Y i，Y j）＝0。
由于Y i＝B1＋B2X i＋u i，则给定B值和X值，Y 随u的变化而变化。
因此，如果u是不相关的，则Y也是不相关的。
假定6：回归模型是正确设定的。
换句话说，实证分析的模型不存在设定偏差或设定误差。
这一假定表明，模型中包括了所有影响变量。
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误有了上述假定就能够估计出OLS估计量的方差和标准误。
由此可知，教材式（2-16）和教材式（2-17）给出的OLS估计量是随机变量，因为其值随样本的不同而变化。
这种抽样变异性通常由估计量的方差或其标准误（方差的平方根）来度量。
教材式（2-16）和式（2-17）中OLS估计量的方差及标准误是：（3-4）（3-5）（3-6）（3-7）其中，var表示方差，se表示标准误，σ2是扰动项u i的方差。
根据同方差假定，每一个u i具有相同的方差σ2。
一旦知道了σ2，就很容易计算等式右边的项，从而求得OLS估计量的方差和标准误。
根据下式估计σ2：（3-8）其中，σ∧2是σ2的估计量，是残差平方和，是Y的真实值与估计值差的平方和，即()122212var ibiXbn xσσ==∑∑1se()b=()22222varbibxσσ==∑()2se b=22ˆ2ienσ=−∑2ie∑n －2称为自由度，可以简单地看作是独立观察值的个数。
计量经济学第3章习题作业
出参数估计量，所要求的最小样本容量为（ ）
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差