人教版八年级数学下册 第18章18.2.3 正方形 教学课件
18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形
课后作业---《少年班》
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四 边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
新课讲解
练一练
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判
定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
A
B
B．AD∥BC，∠A=∠C
O
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D
C
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
A
D
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
B
C
新课讲解
矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
新课讲解
证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
新课讲解
练一练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.四个角相等
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
新课讲解
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
A
B
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
O
新课讲解
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各
边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能
得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E平行四边形GD E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A HD D G E 正方形 G
CB F C 正方形
课堂小结
正方形 的性质
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. O
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
新课讲解
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
新课讲解
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .
正方形是特殊的平行四边形, 也是特殊的矩形,也是特殊的 菱形.所以矩形、菱形有的性 质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
新课讲解
典例精析 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.
5.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ A）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
当堂小练
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC AB2 BC2 2cm, ∴FC＝AC－AF＝( 2 －1)cm，∴BE＝( 2－1)cm．
新课讲解
典例精析
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且
AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
分析：由已知可证 △AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
新课讲解
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条?
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
新课讲解
归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
C
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
新课讲解
总结归纳
正方形判定的几条途径：
一个直角，
+ 对角线相等 先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+ 一组邻边相等，
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之 间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 4.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之 间的联系和区别；(重点、难点)
∴正方形是矩形（矩形的定义）, A
D
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
新课讲解
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相
交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
当堂小练
3．在正方形ABC中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45°,
∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
当堂小练
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形.
性质
1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分
课堂小结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
当堂小练
1.下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
新课讲解
知识点2 正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展 开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
新课讲解
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
拓展与延伸
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时， 四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
布置作业
请完成《 少年班》P2-P3对应习题
课后作业---《少年班》
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四 边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
新课讲解
练一练
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判
定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
A
B
B．AD∥BC，∠A=∠C
O
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D
C
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
A
D
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
B
C
新课讲解
矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
新课讲解
证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
新课讲解
练一练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.四个角相等
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
新课讲解
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
A
B
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
O
新课讲解
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各
边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能
得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E平行四边形GD E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A HD D G E 正方形 G
CB F C 正方形
课堂小结
正方形 的性质
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. O
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
新课讲解
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
新课讲解
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .
正方形是特殊的平行四边形, 也是特殊的矩形,也是特殊的 菱形.所以矩形、菱形有的性 质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
新课讲解
典例精析 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.
5.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ A）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
当堂小练
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC AB2 BC2 2cm, ∴FC＝AC－AF＝( 2 －1)cm，∴BE＝( 2－1)cm．
新课讲解
典例精析
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且
AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
分析：由已知可证 △AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
新课讲解
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条?
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
新课讲解
归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
C
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
新课讲解
总结归纳
正方形判定的几条途径：
一个直角，
+ 对角线相等 先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+ 一组邻边相等，
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之 间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 4.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之 间的联系和区别；(重点、难点)
∴正方形是矩形（矩形的定义）, A
D
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
新课讲解
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相
交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
当堂小练
3．在正方形ABC中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45°,
∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
当堂小练
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形.
性质
1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分
课堂小结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
当堂小练
1.下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
新课讲解
知识点2 正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展 开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
新课讲解
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
拓展与延伸
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时， 四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
布置作业
请完成《 少年班》P2-P3对应习题
合集下载
人教版八年级下册第十八章：18.2.3正方形
第十八章平行四边形§18.2.3 正方形（一）教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：正方形的性质及其应用．教学工具：直尺，三角板，PPT课件，几何画板，A4纸等教学过程：一、正方形的定义师：同学们，上节课我们学习了特殊的平行四边形矩形和菱形，在现实生活中有没有其它的特殊的平行四边形呢？生：有，正方形。
师：对，小学我们已经学习了正方形。
什么是正方形呢？学生回答正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.二、情境引入，实践探究探究一：矩形与正方形的关系师：在现实生活中存在很多正方形，也有很多正方形的实际应用。
比如折纸，大家还记得小时候折的青蛙、飞机吗？折它们的第一步常常是把矩形纸折成什么图形？生：折成正方形。
师：你能将我们的A4纸折成正方形吗？生：能。
（学生折纸，并叫一个学生示范）学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：为什么这样折出的是正方形？你能说出理由吗？生：因为折了一个等腰直角三角形，它们的两条直角（邻边）边相等。
教师用几何画板动态演示矩形变成正方形学生探究并得出结论：结论1：正方形是一组邻边相等的矩形. 即正方形是特殊的矩形.设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．探究二：菱形与正方形的关系师：同学们，生活中除了矩形可以变成正方形外，还可由其它图形能变成正方形吗？你能举出生活中的实例吗？生：菱形，如菱形衣架、伸缩门等。
新人教版数学初中八年级下册18.2.3《正方形》公开课优质课课件
且
的四边形是正方形； 的四边形是
且有三个角是
三、应用新知 解决问 题：
相交于点O，
例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三
角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直 角三角形， △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
人民教育出版社 八年级 | 下册
第十八章 · 平行四边
18.2.3 正方 形
形
一、创设情境 引入新知：
活动1：把一张长方形的纸片(如图)中，如何通过折纸的方法， 截出正方形纸片，你有几种方法？ 如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的 正方形木板呢？
一、创设情境 引入新知：
活动2：如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正 方形．请说说图中∠1的变化过程．
一、创设情境 引入新知：
小结：正方形既是矩形， 又是菱形. 有一组邻边相等的矩形是 正方形；
有一个角是直角的菱形是 正方形.
二、回顾思考 梳理关系：
1.通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是 平行四边形，它们之间的关系如图：
二、回顾思考 梳理关系：
2.理解上面的关系图，填写下面的表格： 图形 平行四 边形 矩形 菱形 对边 平行、相等 平行、相等 平行、 四条边 都相等 平行、 四条边 都相等 对角 相等 四个角 都是直 角 相等 对角线 互相平分 对称性
不是轴对称图形
正方形
轴对称图 互相平分且相等 形,有两条对 互相垂直且 称轴 轴对称图形, 平分,每条对 有两条对称 角线平分一 轴 组对角 互相垂直、 四个角都 轴对称图形, 平分且相等, 是直角 有四条对称轴 每条对角线 平分一组对
新人教版八年级下册初中数学 18-2-3 正方形 教学课件
A
D
A
D
O
O
E
B
C
第3题图
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则
∠EBC的度数是
2.2.5°
第二十六页，共三十页。
当堂小练
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）A
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直 C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
5.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
第二十四页，共三十页。
当堂小练
1.下列命题正确的是（ D）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
第二十五页，共三十页。
当堂小练
3．在正方形ABC中,∠ADB=
∠BOC= 90°.
45,∠°DAC=
,45°
第二十九页，共三十页。
拓展与延伸
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边
形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
第三十页，共三十页。
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
第十四页，共三十页。
正方 形
新课讲解
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
【最新】人教版八年级数学下册第十八章《18.2.3 正方形》精品课件.ppt
如何由矩形和菱形判别正方形呢？
矩形
正方形
菱形
正方形的判定
一组邻边 相等
一组邻边相等且 有一个角是直角
有一个内角 是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
学而应用之
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?
3.现有一条方巾，想请同学们帮 助检验一下方巾是否是正方形的。 怎样检验？
方形，对角线AC、BD相交于点O， A
D
求证：△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
B
AO=BO=CO=DO.
O C
∴△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG． ∵ ∠1=∠3．
又 ∠3+∠2=90° ∠ ∠1+∠2=90°
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角 是直角的菱形是矩形）．
3
2
1
A
D
活动
A
.四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小
芳在AB边上取定了一点E，经测量
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
2021年人教版八年级数学下册第十八章《正方形》精品课件
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四
边形EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021 9:15:29 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/42021/2/42021/2/4Feb-214-Feb-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/42021/2/42021/2/4Thursday, February 04, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/42021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四
边形EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021 9:15:29 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/42021/2/42021/2/4Feb-214-Feb-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/42021/2/42021/2/4Thursday, February 04, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/42021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021
18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册
探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点
人教版八年级数学下册第十八章：18.2.3正方形 课件(共59张PPT)
复习巩固
5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （ 1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB,AC 的长.
复习巩固
6.如图，AE//BF,AC平分∠BAD，且交BF于点C,BD平分∠ABC， 且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.
综合应用
7.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角.要得 到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？
综合应用
10.如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD上，且 BM=DN ，MG//AD,NF//AB；点F,G分别在BC,CD上，MG与 NF相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG 都是菱形.
综合应用
11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点 H. 求DH的长.
复习巩固
黄金矩形
宽与长的比（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形 给我们以协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑， 为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希 腊的巴特农神庙（图2）等。
黄金矩形 下面我们折叠出一个黄金矩形：第一步，在一张矩形纸片 的一端，利用图3的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 .
思考
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们 讨论一下，并列表或用框图表示这些关系．
思考
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们 讨论一下，并列表或用框图表示这些关系．
例题
如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH． 求证：四边形EFGH 也是正方形．
正方形对称性的应用
如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点， PE⊥AB于点 E,PF⊥BC于点F，判断DP与EF的关系，并证明.
2021年人教版八年级数学下册第十八章《正方形》优质课件.ppt
四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形．
你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？ 说说折出的四边形是正方形的依据．
回顾思考 提出问题
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成 正方形．请说说图中∠1的变化过程．
1
1
回顾思考 提出问题
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
矩形
平行四边形
菱形
正方形
回顾思考 提出问题
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
矩形
正方形
菱形
细心引导 探究新知
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形 有哪些性质？
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
细心引导 探究新知
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是 正方形？
创设情境 引入新知
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形
怎样研究这类图形？ 先看看我们是怎样研究矩形和菱形的.
创设情境 引入新课
平行四边形与矩形、菱形有什么联系？
平行四边形
矩形
定义
菱形
性质 逆向猜想 判定
回顾思考 提出问题
在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形 和菱形分别有什么关系？
例2 如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得 到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形．
A
H
D
E
G
B
F
C
应用新知 解决问题
变式 如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？
H A
D
G
E
你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？ 说说折出的四边形是正方形的依据．
回顾思考 提出问题
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成 正方形．请说说图中∠1的变化过程．
1
1
回顾思考 提出问题
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
矩形
平行四边形
菱形
正方形
回顾思考 提出问题
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形既是矩形又是菱形．
矩形
正方形
菱形
细心引导 探究新知
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形 有哪些性质？
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
细心引导 探究新知
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是 正方形？
创设情境 引入新知
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形
怎样研究这类图形？ 先看看我们是怎样研究矩形和菱形的.
创设情境 引入新课
平行四边形与矩形、菱形有什么联系？
平行四边形
矩形
定义
菱形
性质 逆向猜想 判定
回顾思考 提出问题
在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形 和菱形分别有什么关系？
例2 如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得 到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形．
A
H
D
E
G
B
F
C
应用新知 解决问题
变式 如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？
H A
D
G
E
人教版八年级数学下册第十八章《正方形》优课件(共12张PPT)
正方形一、Biblioteka 种特殊平行四边形的性质：项目
边
角
四边形
对角线
对称性
对边平行且 相等
平行四边形
对边平行
矩形
且相等
对边平行 菱形 四边相等
正方形
对边平行 四边相等
对角相等
四个角 都是直角 对角相等
四个角 都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（1）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60°时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
F D
A
E
60°
60°
B
C
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
边
角
四边形
对角线
对称性
对边平行且 相等
平行四边形
对边平行
矩形
且相等
对边平行 菱形 四边相等
正方形
对边平行 四边相等
对角相等
四个角 都是直角 对角相等
四个角 都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（1）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60°时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
F D
A
E
60°
60°
B
C
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
人教版八年级数学下册第十八章《正方形》优课件(共17张PPT)
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是
（填上一个条件即可）
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可 使平行四边形ABCD成为正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形 2．四角相等的四边形是正方形 3．四条边相等且有一个角是直角的四边 形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形 5．对角线垂直的平行四边形是正方形
请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。
18.2.3
正方形
正方形的定义 (P125)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形（square）。
请填出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形的性质
边---- 对边平行，四条边相等A 角---- ４个角都是直角 对角线---- 相等、垂直且互相平分，B
每一条对角线平分一组对角
对称性---- 是轴对称图形．
D O
C
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
对角线互相垂 直
对角线相等
平行四边 形
√
√
矩形
√