高二数学等比数列
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4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列， 那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数 列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ） 若 数 列 { } ， { } 均 为 等 比 数 列 ， c 为 不 等 于 0 的 常 数 ， 则 数 列
,
2
, ∙
, { }
也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
高二数学等比数列及其性质PPT教学课件
2. 求 sn1(11 2)(11 21 4).. . (11 21 4.. . 2n 11) 的值
3．三个数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 三项加32又成等比数列，求这三个数.
5.等比数列的性质
（1） anamqnm
qn若 m npq,则 amanapaq
（3）若数列 {an} 是等比数列，则
S k ,S 2 k S k ,S 3 k S 2 k ,S 4 k S 3 k ,
也是等比数列
（4）等比数列{an}的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列
6.等比数列判定方法：
（1）定义法：an1 常数 an
（2）递推公式法：an2an1an1
（3）看通项法：an a1qn1
（4）看前n项和法：Sn kkqn
7.等差数列与等比数列的联系 （ 1）“{an}为等比数列”是“{logman}为等差数列” 的_________条件。 （2）“{an}为等差数列”是“{man}(m0,且m1） 为等比数列”的__________条件。
期末复习
等比数列及其性质
一、知识要点：
1、定义： {an}为等比数列
an1 常数
__an______
2.通项公式：an _a_1_q_n_1__
推广：an __am_q_n__m___
3.前n项和公式: Sn a1(1qn) (q 1)
1q
4.重要结论：
na1(q 1)
若{an}是等比数列 an kqn
答案：（1）必要不充分 （2）充要
二、例题选讲：
1、在等比数列 a n 中，
（1）若 a45,a86,则 a2 a10 30 a6 30
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念课件
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“我珍视类比胜于任何别的东西，它
• 二级
是我最可信赖的老师，它能揭示自然
• 三级
的奥秘，在几何学中它应该是最不容
• 四级
• 五级
忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
2024/11/9
19
例1若等比数列{an }的第4项和第6项分别是48和12，求{an }的第5项
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§4.3.1
• 二级
等比数列的概念
• 三级
• 四级
• 五级
2024/11/9
1
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事实
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下定义
• 二级
• 三级
• 四级
• 五级
等差中项
等差数列
通项公式
性质
等差数列
前n项和
2024/11/9
2
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• 二级
等差数列
• 三级
n 1
n
累
加
• 四级
法
代数运算
• 五级 抽象概念 归纳法
类比
累
乘
等比数列
法
an 1
q
an
an am (n m)d
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n 1
一次函数
函数角度
？
指数函数
an am q n m
数
2024/11/9
• 二级
• 等比数列的任意一项都
三级
• 四级
可以由数列的某一项和
“我珍视类比胜于任何别的东西，它
• 二级
是我最可信赖的老师，它能揭示自然
• 三级
的奥秘，在几何学中它应该是最不容
• 四级
• 五级
忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
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19
例1若等比数列{an }的第4项和第6项分别是48和12，求{an }的第5项
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§4.3.1
• 二级
等比数列的概念
• 三级
• 四级
• 五级
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事实
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下定义
• 二级
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• 四级
• 五级
等差中项
等差数列
通项公式
性质
等差数列
前n项和
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• 二级
等差数列
• 三级
n 1
n
累
加
• 四级
法
代数运算
• 五级 抽象概念 归纳法
类比
累
乘
等比数列
法
an 1
q
an
an am (n m)d
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n 1
一次函数
函数角度
？
指数函数
an am q n m
数
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• 等比数列的任意一项都
三级
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可以由数列的某一项和
第2课时等比数列的判定与性质2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
结题总结： 三个数成等比数列的设法： 设为aq，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， qa2，aq，a，aq，aq2，…
三、课堂练习
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( C )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
二、讲授新知
（四）等比数列性质的简单应用
例 4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差
数列，且它们的和为 12，求这四个数．
解 方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， 所以 a3＝216.所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23.故所求的四个数为 9,6,4,2.
二、讲授新知
(1)解 由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)，
（一）等比数列的判定与证明
∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)，
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
Sn＝13(an－1)(n∈N*)．
(2)证明 当 n≥2 时，
第2课时 等比数列的判定与性质
一、复习引入
1.等比数列的定义； 2.等比中项； 3.等比数列的通项公式（含推广公式）.
二、讲授新知
（一）等比数列的判定与证明 1．定义法： an ＝q(n∈N*且n≥2，常数q 不为0)； an－1 2．等比中项法：a2n＝an－1an＋1(n∈N*且 n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1＝aq1·qn＝A·qn(A≠0)．
4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2
不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3
不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13
a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零 公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b
a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.
高二数学等比数列公式性质
高二数学等比数列公式性质数学是一切科学的基础，以下是查字典数学网为大伙儿整理的高二数学等比数列公式性质，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*b n}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/ (q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
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