科学计算方法解读.
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为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
则称ε 为绝对误差限。 如果存在一个适当小的正数ε r ，使得
e( x) x x er ( x ) r x x
x 0.a1a2 an 10
尾数部
m
阶码部
有效数字概念:
取 的有限位数如下( ≈3.1415926)
取 x1 = 3，误差限不超过0.5; 取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ; 取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ;
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x 有 n 位有效数字.
例4.水中浮球问题
有一半径r =10 cm的球体,密 度 =0.638.球体浸入水中后, 浸入水中的深度d 是多少？
r
d
根据阿基米德定律 ,物体排开水的质量就是水 对物体的浮力。
4 M r3 3
整理得:
V [r (r x) ]dx
2 2 0
d
d 3 – 3 r d 2 + 4 r 3 = 0
初值: x0=1
4
1
3
5
7
( 1)n 迭代格式: xn xn1 2n 1
( n=1,2,3,· · · · · ·)
构造有效的迭代格式 选取合适的迭代初值 对迭代格式进行收敛性分析
15/46
例6. 平方根算法求 2
初值: x1=1.5 迭代格式: xn+1=0.5(xn+2/xn)
定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)· f(b)<0,则二分计算过程中, 各区间的中点数列 1 xn (an bn )( n 0,1,2,) 2 满足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1 思考: | xn+1 – xn | = ？
将一个计算过程反复进行称为迭代 , 迭代法 是一类常见常用的计算技术 1 1 1 例5.圆周率计算
例2. 通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
实际问题 数学模型 获取数据
数值方法、程序 数据结果
D
R R x y
2 2 2
dxdy
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
由 =0.638, r = 10.代入,得d 3 – 30 d 2 + 2552 = 0
令 f (x) = x 3 – 30 x 2 + 2552 ,函数图形如下所示
求解方程 f(x)=0,即 是求函数 f(x)的零 点. f(x) 的零点所 在区间为:[0, 20]
roots([1 -30 0 2552]) ans = 26.3146 11.8615 -8.1761
x0=0.5(a+b)
[a1,b1]=[a,x0]
x1=0.5(a1+b1)
[a1,b1]=[x0,b]
f(a1) f(b1) < 0
二分法迭代将得到一系列隔根区间
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
性质:1. f(an)· f(bn)<0; 2. bn – an = (b – a)/ 2n
称ε r为相对误差限。
十进制浮点数表示
一台微机价格:￥3999.00, 浮点数表示:0.3999×104 地球半径: 6378137m, (6.378137e+006) 浮点数表示: 0.6378137×107
光速: 2.99792458e+008 浮点数表示: 0.299792458×109
xn 1.416666666666667 1.414215686274510 1.414213562374690 1.414213562373095 1.414213562373095 (n = 1,2,· · · · · )
《科学计算方法》
科学计算的背景
非线性方程求根算法 线性方程组求解直接法
线性方程组求解迭代法
数值分析——研究用计算机求解 数学问题的方法(算法)和理论 方程组求解、方程求根、数据插值、 数据拟合、数值积分、微分方程求解 科学计算方法与计算机有机结合 构造出强有力的工作平台
von Neumann
已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)<0
(1)计算: yaf(a) , x00.5(a+b), y0f(x0)
判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步; (2)判断,若y0· ya<0,则a1a, b1 x0
否则 a1x0, b1b, ya y0
[a , b ]
1969年, Apollo 登月计划实现
1981年,Columbia号航天飞机 发射成功 1994年, GPS完全投入使用
简单迭代算法:
评价算法的主要指标:速度和精度
例1: 圆内接正多边形边长计算Pi方法
Ln n si n
n
ˆ (4L L ) / 3 L 2n 2n n
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3000 2000 1000 0 -1000 -2000
wenku.baidu.com
0
5
10
15
20
用数值方法求非线性方程的根,分两步进行:
第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根 区间内确定一个解的近似值x0; 第二步:逐步逼近,利用近似解x0 (或隔根区间) 通过迭代算法得到更精确的近似解. 设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列: x0 x 1 x2 · · · x n· · · · · · · · ·
只须
lim x n x
n
*
二分法迭代
已知方程 f(x)=0有一隔根 区间[a, b],且f(x)满足 f(a)· f(b)<0,则先将[a , b]等 分为两个小区间,判断根属 于哪个小区间,舍去无根区 间保留有根区间[a1, b1];
把区间[a1, b1] 一分为二,进一步判断根属于哪个更 小的区间[a2, b2],如此不断二分以缩小区间长度 .
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
则称ε 为绝对误差限。 如果存在一个适当小的正数ε r ，使得
e( x) x x er ( x ) r x x
x 0.a1a2 an 10
尾数部
m
阶码部
有效数字概念:
取 的有限位数如下( ≈3.1415926)
取 x1 = 3，误差限不超过0.5; 取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ; 取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ;
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x 有 n 位有效数字.
例4.水中浮球问题
有一半径r =10 cm的球体,密 度 =0.638.球体浸入水中后, 浸入水中的深度d 是多少？
r
d
根据阿基米德定律 ,物体排开水的质量就是水 对物体的浮力。
4 M r3 3
整理得:
V [r (r x) ]dx
2 2 0
d
d 3 – 3 r d 2 + 4 r 3 = 0
初值: x0=1
4
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3
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( 1)n 迭代格式: xn xn1 2n 1
( n=1,2,3,· · · · · ·)
构造有效的迭代格式 选取合适的迭代初值 对迭代格式进行收敛性分析
15/46
例6. 平方根算法求 2
初值: x1=1.5 迭代格式: xn+1=0.5(xn+2/xn)
定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)· f(b)<0,则二分计算过程中, 各区间的中点数列 1 xn (an bn )( n 0,1,2,) 2 满足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1 思考: | xn+1 – xn | = ？
将一个计算过程反复进行称为迭代 , 迭代法 是一类常见常用的计算技术 1 1 1 例5.圆周率计算
例2. 通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
实际问题 数学模型 获取数据
数值方法、程序 数据结果
D
R R x y
2 2 2
dxdy
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
由 =0.638, r = 10.代入,得d 3 – 30 d 2 + 2552 = 0
令 f (x) = x 3 – 30 x 2 + 2552 ,函数图形如下所示
求解方程 f(x)=0,即 是求函数 f(x)的零 点. f(x) 的零点所 在区间为:[0, 20]
roots([1 -30 0 2552]) ans = 26.3146 11.8615 -8.1761
x0=0.5(a+b)
[a1,b1]=[a,x0]
x1=0.5(a1+b1)
[a1,b1]=[x0,b]
f(a1) f(b1) < 0
二分法迭代将得到一系列隔根区间
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
性质:1. f(an)· f(bn)<0; 2. bn – an = (b – a)/ 2n
称ε r为相对误差限。
十进制浮点数表示
一台微机价格:￥3999.00, 浮点数表示:0.3999×104 地球半径: 6378137m, (6.378137e+006) 浮点数表示: 0.6378137×107
光速: 2.99792458e+008 浮点数表示: 0.299792458×109
xn 1.416666666666667 1.414215686274510 1.414213562374690 1.414213562373095 1.414213562373095 (n = 1,2,· · · · · )
《科学计算方法》
科学计算的背景
非线性方程求根算法 线性方程组求解直接法
线性方程组求解迭代法
数值分析——研究用计算机求解 数学问题的方法(算法)和理论 方程组求解、方程求根、数据插值、 数据拟合、数值积分、微分方程求解 科学计算方法与计算机有机结合 构造出强有力的工作平台
von Neumann
已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)<0
(1)计算: yaf(a) , x00.5(a+b), y0f(x0)
判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步; (2)判断,若y0· ya<0,则a1a, b1 x0
否则 a1x0, b1b, ya y0
[a , b ]
1969年, Apollo 登月计划实现
1981年,Columbia号航天飞机 发射成功 1994年, GPS完全投入使用
简单迭代算法:
评价算法的主要指标:速度和精度
例1: 圆内接正多边形边长计算Pi方法
Ln n si n
n
ˆ (4L L ) / 3 L 2n 2n n
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3000 2000 1000 0 -1000 -2000
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20
用数值方法求非线性方程的根,分两步进行:
第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根 区间内确定一个解的近似值x0; 第二步:逐步逼近,利用近似解x0 (或隔根区间) 通过迭代算法得到更精确的近似解. 设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列: x0 x 1 x2 · · · x n· · · · · · · · ·
只须
lim x n x
n
*
二分法迭代
已知方程 f(x)=0有一隔根 区间[a, b],且f(x)满足 f(a)· f(b)<0,则先将[a , b]等 分为两个小区间,判断根属 于哪个小区间,舍去无根区 间保留有根区间[a1, b1];
把区间[a1, b1] 一分为二,进一步判断根属于哪个更 小的区间[a2, b2],如此不断二分以缩小区间长度 .