历年中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10
cos B =. (1)求AB 的长度;
(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD?AE 的值是否变化?若不变,请求出AD?AE 的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ?=;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;
(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=
1
3
,继而即可求得AD?AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,
∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=1
2BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10
cos 10
BF B == (2)连接DG ,
∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD?AE=AF?AG ,
连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF?FG , ∵22AB BF -=3,
∴FG=
13
,
∴AD?AE=AF?AG=AF?(AF+FG)=3×10
=10;
3
(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,
∴∠ADC=∠ADN,
∵AD=AD,CD=ND,
∴△ADC≌△ADN,
∴AC=AN,
∵AB=AC,∴AB=AN,
∵AH⊥BN,
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,
∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,
∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20
【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.
试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin ∠CAN=,
∴
∴AC=5, ∴AB=AC=5,
设AF=x ,则CF=5﹣x ,
在Rt △ABF 中,BF 2=AB 2﹣AF 2=25﹣x 2, 在Rt △CBF 中,BF 2=BC 2﹣CF 2=2O ﹣(5﹣x )2, ∴25﹣x 2=2O ﹣(5﹣x )2, ∴x=3,
∴BF 2=25﹣32=16, ∴BF=4,
即点B 到AC 的距离为4. 考点:切线的判定
4.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5
(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3 ∴a =﹣
38
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB
=4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ =
∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣9455=-,QG =2
222
912FQ 355FG ??-=-= ???
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?
=??
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q 点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
5.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点,点F 在边BC 的延长线上,且CF AE =,连接DE ,DF ,EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
(1)求证:DE DF ⊥; (2)求证:DH DF =:
(3)过点H 作HM EF ⊥于点M ,用等式表示线段AB ,HM 与EF 之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)22EF AB HM =-,证明详见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据正方形性质, CF AE =得到DE DF ⊥.
(2)由AED CFD △△≌,得DE DF =.由90ABC ∠=?,BD 平分ABC ∠, 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠,所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.
(3)过点H 作HN BC ⊥于点N ,由正方形ABCD 性质,得
BD =
=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?,
,所以sin 45HN
BH ===?
.
由cos 45DF
EF =
==?
,得22EF AB HM =-.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD CD =,90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.
(2)证明:∵AED CFD △△≌, ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?, ∴45DEF DFE ∠=∠=?.
∵90ABC ∠=?,BD 平分ABC ∠, ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠, ∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.
(3)22EF AB HM =-.
证明:过点H 作HN BC ⊥于点N ,如图,
∵正方形ABCD 中,AB AD =,90BAD ∠=?, ∴222BD AB AD AB =
+=.
∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,
∴HM HN =.
∵4590HBN HNB ∠=?∠=?,
, ∴22sin 45HN
BH HN HM =
==?
.
∴22DH BD BH AB HM =-=-.
∵22cos 45DF
EF DF DH =
==?
,
∴22EF AB HM =-. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数,题目难度较大,解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
6.如图所示的是一个地球仪及它的平面图,在平面图中,点A 、B 分别为地球仪的南、北极点,直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ,所夹的角度约为67°,半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直,垂足为点E ,DE =15cm ,AD =14cm .
(1)求半径OA 的长(结果精确到0.1cm ,参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)
(2)求扇形BOC 的面积(π取3.14,结果精确到1cm )
【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ;(2)扇形BOC 的面积约为2822cm . 【解析】 【分析】
(1)在Rt △ODE 中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE 的余弦值,即可求得OD 长,减去AD 即为OA .
(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】
(1)在Rt △ODE 中,15cm DE =,67ODE ∠=?. ∵cos DE
ODE DO
∠=, ∴15
0.39
OD ≈
, ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈.
., 答:半径OA 的长约为24.5cm . (2)∵67ODE ∠=?, ∴157BOC ∠=?, ∴2
360
BOC
n r S π=
扇形 2
157 3.1424.52360
??≈
()2822cm ≈.
答:扇形BOC 的面积约为2822cm . 【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用,本题把实际问题转化成数学问题,利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键.
7.如图,在?ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,AC ⊥BC 于点C ,将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ,连接DE .
(1)求证:四边形ACED 是矩形; (2)若AC =4,BC =3,求sin ∠ABD 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)13
65
【解析】 【分析】
(1)根据?ABCD 中,AC ⊥BC ,而△ABC ≌△AEC ,不难证明;
(2)依据已知条件,在△ABD 或△AOC 作垂线AF 或OF ,求出相应边的长度,即可求出∠ABD 的正弦值. 【详解】
(1)证明:∵将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC , ∴BC =CE ,AC ⊥CE , ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴AD =CE ,AD ∥CE ,
∴四边形ACED 是平行四边形, ∵AC ⊥CE ,
∴四边形ACED 是矩形.
(2)解:方法一、如图1所示,过点A 作AF ⊥BD 于点F , ∵BE =2BC =2×3=6,DE =AC =4, ∴在Rt △BDE 中,
2
2
2
2
BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE =
12×DE?AD =1
2
AF?BD , ∴AF 613
213
=, ∵Rt △ABC 中,AB 2234+5, ∴Rt △ABF 中,
sin ∠ABF =sin ∠ABD =613613
5
AF AB ==
方法二、如图2所示,过点O 作OF ⊥AB 于点F , 同理可得,OB =1
132
BD = ∵S △AOB =11
OF AB OA BC 22
?=?, ∴OF =
23655
?=, ∵在Rt △BOF 中,
sin ∠FBO =
0613
65
513F OB ==
, ∴sin ∠ABD 613
.
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出
sin∠ABD.
8.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(﹣6,0),点
C在y轴正半轴上,且cos B=3
5
,动点P从点C出发,以每秒一个单位长度的速度向D点
移动(P点到达D点时停止运动),移动时间为t秒,过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q.
(1)求点D坐标;
(2)求△OPQ的面积S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)在直线l移动过程中,是否存在t值,使S=3
20ABCD
S
菱形
?若存在,求出t的值;若
不存在,请说明理由.
【答案】(1)点D的坐标为(10,8).(2)S关于t的函数关系式为S=
24(04)
220
(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.(3)3或
. 【解析】 【分析】
(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,2220
1233
t t -+= 【详解】
解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =
35
, 10cos OB
BC B
∴=
=
8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴,
∴点D 的坐标为(10,8).
(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0), ∴点A 的坐标为(4,0). 分两种情况考虑,如图1所示. ①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,
∴S =
1
2PQ ?OQ =4t , ∵4>0,
∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;
②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0), 将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:
4k b 010k b 8+=??
+=?,解得:4k 3
16b 3?=????=-??
, ∴直线AD 的解析式为416
33
y x =-. 当x =t 时,416
33
y t =
-, 4164
8(10)3
33PQ t t ??∴=--=- ???
21220
233
S PQ OP t t ∴=
?=-+
2
2202502
(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为
503
. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)
220(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.
(3)S 菱形ABCD =AB ?OC =80. 当0≤t ≤4时,4t =12, 解得:t =3; 当4<t ≤10时,2220
33
t t -
+=12, 解得:t 1=5﹣7(舍去),t 2=5+ 7. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =
3
20
ABCD S 菱形,t 的值为3或5+7.
【点睛】
考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.
9.如图,直线与轴交于点
,与轴交于点,抛物线
经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线
及抛物线
于点,.
(1)填空:点的坐标为 ,抛物线的解析式为 ; (2)当点在线段上运动时(不与点,重合),
①当为何值时,线段
最大值,并求出
的最大值;
②求出使
为直角三角形时的值;
(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,
构成的四边形的面积.
【答案】(1),;
(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.
【解析】
【分析】
(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=?3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;
(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.
【详解】
解:(1)把点坐标代入直线表达式,
解得:,则:直线表达式为:,令,则:,
则点坐标为,
将点的坐标代入二次函数表达式得:,
把点的坐标代入二次函数表达式得:,
解得:,
故:抛物线的解析式为:,
故:答案为:,;
(2)①∵在线段上,且轴,
∴点,,
∴,
∵,
∴抛物线开口向下,
∴当时,有最大值是3,
②当时,点的纵坐标为-3,
把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;
当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,
设:直线的表达式为:,
把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,
将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),
当时,不合题意舍去,
故:使为直角三角形时的值为3或;
(3)∵,,
在中,,则:,,
∵轴,
∴,
若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,
则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.
当过点的直线与抛物线有一个交点,
点的坐标为,设:点坐标为:,
则:,过点作的平行线,
则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,
解得:过点直线表达式为:,
将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,
,
将代入上式并整理得:,
解得:,则点的坐标为,
则:点坐标为,则:,
∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,
即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,
直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:
,解得:,
则点、的横坐标分别为,,
作交直线于点,
则,
作轴,交轴于点,则:,,
,
则:,
同理:,
故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N点的坐标.
10.如图,在平行四边形ABCD中,平分,交于点,平分,交于点,与交于点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,,求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
试题分析:(1)根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE,从而可知ABEF为平行四边形,又邻边相等,可知为菱形
(2)由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°,过点P作PH⊥AD于H,即可得到PH、DH 的长,从而可求tan∠ADP
试题解析:(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形
又AB=BE
∴ABEF为菱形
(2)作PH⊥AD于H
由∠ABC=60°而已(1)可知∠PAF=60°,PA=2,则有PH=,AH=1,∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP=
考点:1、平行四边形;2、菱形;3、直角三角形;4、三角函数
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难) 1.任何一个整数N,可以用一个的多项式来表示: N= . 例如:325=3×102+2×10+5. 一个正两位数的个位数字是x,十位数字y. (1)列式表示这个两位数; (2)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被11整除. (3)已知是一个正三位数.小明猜想:“ 与的差一定是9的倍数。”请你帮助小明说明理由. (4)在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数. 【答案】(1)解:10y+x (2)解:根据题意得:10y+x+10x+y=11(x+y),则所得的数与原数的和能被11整除(3)解:∵ - =100a+10b+c-(100b+10c+a)=99a-90b-9c =9(11a-10b-c),∴ 与的差一定是9的倍数 (4)解:∵ + + + + + =3470+ ∴222(a+b+c)=222×15+140+ ∵100<<1000,∴3570<222(a+b+c)<4470,∴16<a+b+c≤20.尝试发现只有a+b+c=19,此时 =748成立,这个三位数为748. 【解析】【分析】(1)由已知一个正两位数的个位数字是x,十位数字y ,因此这个两位数是:十位上的数字×10+个位数的数字。 (2)根据题意将新的两位数和原两位数相加,再化简,即可得出结果。 (3)分别表示出两个三位数,再求出它们的差,就可得出它们的差是否为9的倍数。(4)根据题意求出a+b+c的取值范围,再代入数据进行验证即可。 2.|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离,例如:|3|=|3﹣0|,即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|,解决下面问题: (1)数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________;数轴上P、Q两点的距离为6,点P表示的数是2,则点Q表示的数是________; (2)点A在数轴上表示数为x,点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________ ①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC =2OB时,求t的值;________ ②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________,直接写出 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题题目(经典)
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