初中数学四边形技巧及练习题附答案
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初中数学四边形技巧及练习题附答案
一、选择题
1.如图,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ,若BF=6,AB=5,则AE 的长为( )
A .4
B .8
C .6
D .10
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 解:设AG 与BF 交点为O ,∵AB=AF ,AG 平分∠BAD ,AO=AO ,∴可证△ABO ≌△AFO ,∴BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90º,AB=5,∴AO=4,∵AF ∥BE ,∴可证△AOF ≌△EOB ,AO=EO ,∴AE=2AO=8,故选B .
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质.
2.如图,在四边形ABCD 中,90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=连接对角线BD ,过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=,则CD =( )
A .2
B .1
C .13+
D 3【答案】B
【解析】
【分析】 先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=,再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=,∠EDB=∠DBC ,然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ,进而得到EB=ED ,最后在Rt ADE 中,利用勾股定理即可求解.
【详解】
解:在四边形ABCD 中
∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=
∴∠ABC 30︒=
∵//DE BC
∴∠AED 30︒=,∠EDB=∠DBC
在Rt ABD 和Rt BCD △中
∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩
∴Rt ABD Rt BCD ≅
∴∠ABD=∠DBC
∴∠EDB=∠ABD
∴EB=ED ∵23AB =+
在Rt ADE △中,设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-
()2222322x x x ++-= 解得:121;73x x ==+(舍去)
故选:B .
【点睛】
此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用,熟练进行逻辑推理是解题关键.
3.如图,把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合,若150∠=,则AEF ∠=( )
A .110°
B .115°
C .120°
D .130° 【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可得∠2=∠3,再求出∠3,然后根据两直线平行,同旁内角互补列式计算即可得解.
【详解】
∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合,150∠=,
∴∠3=∠2=180-502
︒︒=65°,
∵矩形对边AD ∥BC ,
∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°.
故选:B .
【点睛】
本题考查了矩形中翻折的性质,两直线平行的性质,平角的定义,掌握翻折的性质是解题的关键.
4.如图,□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AB ⊥AC .若4AB =,6AC =,则BD 的长为( )
A .11
B .10
C .9
D .8 【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理先求出BO 的长,再根据平行四边形的性质即可求解.
【详解】
∵6AC =,
∴AO=3,
∵AB ⊥AC ,
∴2234+
∴BD=2BO=10,
故选B.
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质,解题的关键是熟知勾股定理的应用.
5.如图,已知AD 是三角形纸片ABC 的高,将纸片沿直线EF 折叠,使点A 与点D 重合,给出下列判断:
①EF是ABC的中位线;
②DEF的周长等于ABC周长的一半:
③若四边形AEDF是菱形,则AB AC
=;
④若BAC
∠是直角,则四边形AEDF是矩形.
其中正确的是()
A.①②③B.①②④C.②④D.①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠可得EF是AD的垂直平分线,再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF
∥BC,进而可得△AEF∽△ABC,从而得
1
2
AE AF AO
AB AC AD
===,进而得到EF是△ABC的中
位线;再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半,进而得到△DEF
的周长等于△ABC周长的一半;根据三角形中位线定理可得AE=1
2
AB,AF=
1
2
AC,若四边形
AEDF是菱形则AE=AF,即可得到AB=AC.【详解】
解:∵AD是△ABC的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
根据折叠可得:EF是AD的垂直平分线,
∴AO=DO=1
2
AD,AD⊥EF,
∴∠AOF=90°,
∴∠AOF=∠ADC=90°,∴EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
12AE AF AO AB AC AD ===, ∴EF 是△ABC 的中位线,
故①正确;
∵EF 是△ABC 的中位线,
∴△AEF 的周长是△ABC 的一半,
根据折叠可得△AEF ≌△DEF ,
∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半,
故②正确;
∵EF 是△ABC 的中位线,
∴AE=
12AB ,AF=12
AC , 若四边形AEDF 是菱形,
则AE=AF ,
∴AB=AC ,
故③正确; 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°,
不能确定∠AED 和∠AFD 的度数,故④错误;
故选:A .
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换,以及三角形中位线的性质,关键是掌握三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
6.如图,在平行四边形ABCD 中,2=AD AB ,CE 平分BCD ∠交AD 于点E ,且8BC =,则AB 的长为( )
A .4
B .3
C .52
D .2
【答案】A
【解析】
【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行,进而得出AE=DE=AB 即可得出答案.
【详解】
∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ,
∴∠ECD=∠ECB ,