2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末考试数学试题
试卷Ⅰ
一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 ．．
一．项．是符合题目要求的． ）
1. 设集合 A { x | x2 x 12 0}, B { x | 2 x 6} ，则 (eR A) B （▲）
2
三、解答题 （本大题共 4 小题，共 42 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）
18. （本题满分 8 分）已知 AB (9,2), BC ( x, y), CD ( 1,2) （Ⅰ）若 BC / /CD ， AC CD ，求 x, y 的值； （Ⅱ）若 AC CD 3 ，求 BC 的最小值．
小值为（▲）
A. 5 B.
6 C. 7 D.
8
|(cos 2 sin )t 2 |
10. 函数 y
(t R, (0, )) 的最大值是（
）
t2 2 2t cos 2
2
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
第 II 卷（非选择题，共 70 分）
二、填空题 （本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．请将答案填在答题卷中的横线上． ）
14. 已知角 的终边经过点 P(3t,1) ，且 cos(
)
3 ，则 tan
的值为 __▲ _ ．
5
15. 已知 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数， 当 x 0 时，有 f ( x 1) f ( x) ，且当 x 0,1 时，
f ( x) log 2 ( x 1），给出下列命题 ① f (2017）+f ( 2018) 0
②函数 f (x) 是周期为 2 的函数
③ 函数 f ( x) 值域为（ - 2, 2）
其中正确的是 __▲ _．
④直线 y 2x 与函数 f (x) 图像有 2 个交点
3
16. 已 知 函 数 f (x) sin( x ), g( x) a log 2 x ， 若 存 在 x1, x2 2, 4 ， 使
11. 若 f ( x) 为幂函数，且满足 f (8) 8 ，则 f (16) __▲ _ ． f (2)
12. 已知半径为 120 厘米的圆上，有一条弧所对的圆心角为 （ 0
则这条弧长是 __▲ _ 厘米 .
) ，若 cos
1
，
2
13. 若 ABC 是边长为 2 的正三角形，则 AB 在 AC 方向上的投影为 __▲ _ ．
3
的有序实数对 a,b 的对数为（▲）
A. 1 B.
2 C. 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
4
9. 已知函数 f ( x) sin(2 x ) ，若存在 x1, x2 3
f (x1) f ( x2) f( x2) f( x3)
f( xm 1)
xm 满足 0 x1 x2 f( xm) 11( m 2, m
17
xm
，且
6
N)* ，则 m 的最
A. 1，0 B.
1，0
C. 1
D. 1
5. 在 ABC 中，点 D 是 BC 延长线上一点，若 BC 2CD ，则 AD （▲）
4
1
41
A. AC AB B. AB AC
3
3
33
3
1
C. AC AB
2
2
31
D. AB AC
2
2
6. 设函数 f ( x)
x2 2x x 0
，若 f ( f (a)) 3 ，则实数 a 的取值范围为（▲）
（Ⅱ）记 h(x)
x ，若 h( x) 在 0,1 上单调递增，求实数 a 的取值范围 .
g( x)
学军中学高一年级期末考试
数学参考答案
一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 ．．
一．项．是符合题目要求的． ）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 B
19. （本题满分 10 分）定义在（0，+ ）上的函数 f ( x) 满足 f (2 x ) x2 2 x （Ⅰ）求函数 y f ( x) 的解析式； （Ⅱ）若关于 x 的方程 f (x) 3a 2 在（1,4）上有实根，求实数 a 的取值范围 .
5a
20. （本题满分 12 分）已知函数 f ( x) A cos( x )( A 0, 0,0
3
2
f ( x1 ) g (x2) 成立，则实数 a 的取值范围是 __▲ _ ．
17. 设函数 （f x)
1 x2
(k 3
ak 2
1 )x
7a
2
k
(a, k R) ，存在 k 2,3 ，若 x1, x2 满足
x1
a
k, k
, x2
k 2a, k 3a 有 f ( x1) f (x2) ，则正实数 a 的最大值为 __▲ _ ．
) 的图象与 y
轴的交点为 (0, 1) ，它在 y 轴右侧的第一个最小值点坐标为 ( x0 , 2) ，与 x 轴正半轴的第一
个交点的横坐标为 x0 + 4
（Ⅰ）求函数 y f ( x) 的解析式；
（Ⅱ）求函数 y f ( x) 在 0, 上的单调区间；
（Ⅲ）若将函数 y f (x) 向左平移 m（ m 0) 个单位得到奇函数，求实数 m 的最小值 .
x2
x0
A. ，3
B.
3，+
C.
3，3
D.
，3
7. 在矩形 ABCD 中， AD 3, EB 2 CE， P 是边 DC 上的动点，记 PD PC ，当
PA 4 PE 取最小值时， 3
（▲）
4
3
4
3
A.
B.
C.
D.
3
4
3
4
8. 设 a R,b
2
,2 ，若对任意实数 x ，都有 cos(4x
) sin(ax b) ，则满足条件
A
B
D
C
A
C
D
C
B
二、填空题 （本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．）
11. 64 12. 80 ; 13. 1
A. R
B.
[ 3,6]
C.
[ 2,4]
D.
3,6
2. 已知 tan
2 ，则 sin cos 2sin cos
（▲）
A. 1
B. 1
C. 2
3. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（▲）
A. y log a x
B. y x3 x
C. y 3x
D. 2 1
D. y x
4. 已知函数 f ( x) 4x 2x 2 ，则它的零点是（▲）
21. （本题满分 12 分）已知函数 f ( x)= x2 1 4a ， g (x) x2 ax 4a ，
（a R , a为常数）
（Ⅰ）若 F ( x) f ( x) g (x) 在区间 0,2 上有两个零点 x1, x2 ①求实数 a 的取值范围； 11 ②若 x1 x2 ，求 + 的最大值； x1 x2
学军17答案
杭州学军中学2017学年第一学期高一期末考试参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）12345 6 7 8 9 10 B A B D CACDCB7．【解析】由题意画出示意图，如下：由于4734733773PA PE PA PE PQ +=+=，其中点Q 在线段AE 上，且43AQ QE =所以，当43PA PE +取最小值时，即为PQ 取最小值，由“垂线段最短”知：此时PQ CD ⊥ ∴43DP AQ CE PQ AD PC QE ⇒==∥∥，所以43PD PC =-，即43λ=-．8．【解析】原题意可化为：对任意实数x ，都有()sin 4sin 6x ax b π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，其中a R ∈，[],2b ππ∈-则存在以下两种情形：①由()sin sin 2k ααπ=+()k Z ∈知：426ax b x k ππ+=-+∴4a =，26b k ππ=-+，又[],2b ππ∈-，所以1166b ππ=-或 ②由()sin sin 2k απαπ=-+()k Z ∈知：426ax b x k πππ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭∴4a =-，726b k ππ=+，又[],2b ππ∈-，所以5766b ππ=-或 所以满足条件的有序实数对(),a b 有4对：3,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，113,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,6π⎛⎫--⎪⎝⎭，73,6π⎛⎫-⎪⎝⎭．9．【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=要使m 取最小值，须尽可能多地让()()1,2,i f x i m =取最大（或最小）值考虑到120176m πx x x ≤<<<≤，且1706f π⎛⎫= ⎪⎝⎭又()()()()()()12231521m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=⨯+所以可取176m x π=，117111564212x T ππ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，符合题意，m 的最小值为6+1＝7．QED ABCP10．【解析】()()()()()222cos 2sin 2cos 22sin 22cos 2cos 2sin ααt αt αt y t t ααt αt +--+==-+-+令cos 2m αt =-，sin n αt =，则222m n y m n+=+法一： ①当0n =时，1y = ②当0n ≠时，()()22222222218111191111218mk k s ny k k m s s sn +++===+=+=+++⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭（其中mk n=，221s k =+） 要使y 最大，需使92s s+-取最小的正数，所以当3s =时，max 3y =经检验，此时存在符合题意的,t α．法二： 设向量(),a m n =，()1,2b =，则222cos 3cos a b m n y b θθm na⋅+====+（其中θ为a 与b 的夹角）由于cos 1θ≤，所以max 3y =，当且仅当20m n -=时取等号．法三： 222m ny m n+=+可看作点()12A ，到直线0mx ny +=的距离由于直线0mx ny +=恒过坐标原点()00O ，，所以max 3y OA ==．二、填空题：（每小题4分，共28分） 11．6412．80π13．114．43-15．①③16．15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．912415．【解析】根据题意，可画出()f x 的大致图象如下：xy y=2x12–1–2–3–41234–1–2O①()()()()2017201820172018000f f f f +-=+=+=，正确； ②根据图象，()f x 不是周期函数，错误； ③由图象可知：值域为()2,2-，正确；④直线2y x =与函数()f x 的图象只有1个交点，错误．16．【解析】原题意等价于：当[]2,4x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域的交集不为空集．当[]2,4x ∈时，()f x 的值域为[]1,1M =-，()g x 的值域为33,2,0223,02332,,022a a a N a a a a ⎧⎡⎤-->⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎡⎤--<⎪⎢⎥⎣⎦⎩显然当0a ≤时，M N ⋂=∅，故考虑0a >时，要使M N ⋂≠∅，只需3123212a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩即可，解得1542a ≤≤．17．【解析】法一： 由()()12f x f x ≤⇒232232112211117722x k ak x a x k ak x a k k ⎛⎫⎛⎫+-++≤+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理因式分解得：()()3212121102x x x x k ak k ⎡⎤⎛⎫-++-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由于1,2a x k k ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，[]22,3x k a k a ∈++，则120x x -<∴()32121102x x k ak k ⎛⎫++-+≥ ⎪⎝⎭即()3212112k ak x x k -+≥-+在1,2a x k k ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，[]22,3x k a k a ∈++时恒成立故只需()3212max112k ak x x k ⎡⎤-+≥-+⎢⎥⎣⎦()321k ak k a k ⇒-+≥-+分离参数，得：3211k k a k k ++-≤，由题意知：此不等式在[]2,3k ∈内有解∴只需m x32a 11k k k k a ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭++-即可 令()2322211131131111k k k k k k k k k y g k k k k k k k k⎛⎫-+++++ ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪-⎝⎭===-=--= 令1t k k =-，[]2,3k ∈，则()3t y h t t ==+，3823t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知：()h t 在332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内递减，在833⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内递增故max 3879191max max 2322424y h h ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，，，所以9124a ≤．法二： 由()f x 的图象分析得知：要使()()12f x f x ≤在1,2a x k k ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，[]22,3x k a k a ∈++时恒成立，只需()()2f k f k a ≤+即可，故对称轴()32212k k a x k ak k a k ++⎛⎫=--+≤=+ ⎪⎝⎭ 后续步骤同【法一】．三、解答题：（本大题共4小题，共42分） 18．（1）1x =-，2y = （2）25519．（1）()222log 2log f x x x =- （2）72,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭20．（1）()22cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；减区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （3）512π21．（1）①71,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②12max114x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）11,,34a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】（1）()[)[]21,0,121,1,2ax x F x x ax x ⎧-+∈⎪=⎨--∈⎪⎩①由于()F x 在[)0,1，[]1,2均最多有一个零点，又()F x 在区间[]0,2上有2个零点所以()F x 在[)0,1，[]1,2各有一个零点，不妨设[)10,1x ∈，[]21,2x ∈1°易知11x a=，则1011a a ≤<⇒>；2°要使[]21,2x ∈，只需()()1107172202a F a a F ≥⎧⎧≤⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎨≤≥⎪⎪⎩⎩综上，71,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦②易知：11x a =，2284a a x ++=所以2212114828a a a x x a a +++=+=++，显然在71,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递增∴当72a =时，12max114x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）()()14xh x a g x x ax==+-，令()4at x x a x =+-，(]0,1x ∈由于1y t=在()0,t ∈+∞内单调递减故要使()h x 在(]0,1上单调递增，只需()t x 在(]0,1上单调递减，且()0t x ≠即可情形一 当0a =时，()t x x =在(]0,1上单调递增，不合题意 情形二 当0a >时，要使()4at x x a x=+-在(]0,1上单调递减 只需214101a a a ⎧≥⎪⎨+-≥⎪⎩，解得14a ≥情形三 当0a <时，要使()4at x x a x=+-在(]0,1上单调递减，且()0t x ≠ 只需方程40ax a x +-=的正根在()1,+∞内即可 即方程240x ax a -+=的正根在()1,+∞内令()24x x ax a ϕ-+=，则只需()10ϕ<，解得13a <-综上，11,,34a ⎛⎫⎡⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭．。
推荐-浙江杭州2018年上学期高一数学期末考试 精品
浙江杭州18-18年上学期高一数学期末考试一、选择题（每题3分，共39分）1．“x 2-1＞0”是“x ＞1”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件2．已知M 、P 都是全集U 的子集，且满足M ⊆P ，则下列集合中一定表示空集的是（A ）M ∩（C U P ） （B ）P ∩（C U M ） （C ）M ∩P （D ）（C U P ）∩（C U M ）3．已知函数f （x ）=lg[x 2-（m-4）x+49]对任何实数x 都有意义，则实数m 的取值范围是 （A ）m ≤4 （B ）m ≥4 （C ）1＜m ＜7 （D ）m ≤1或m ≥74．记x=log 171，y=log 341，z=1)56(，则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜x ＜z （C ）y ＜z ＜x （D ）z ＜y ＜x5．已知数列{a n }的前n 项之积是n 2，则a 3+a 5等于（A ）34是 （B ）1661 （C ）1531 （D ）1925 6．若定义在区间[-6，6]上的偶函数f （x ）满足f （1）＜f （3），则下列各式中一定成立的是（A ）f （-1）＜f （3） （B ）f （0）＜f （6） （C ）f （2）＜f （3） （D ）f （0）＜f （2）7．已知f （x ）与g （x ）都是奇函数，且函数F （x ）=mf （x ）+ng （x ）+1满足F （-7）=-17，则F （7）的值等于（A ）7 （B ）17 （C ）19 （D ）368．若不等式log a （x 2-2x+3）≤-1对任何实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（A ）[2，+∞） （B ）（1，2] （C ）[21，1） （D ）（0，21] 9．等左数列{a n }中，已知a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9-a 10的值等于（A ）-8 （B ）24 （C ）22 （D ）2010．已知正数a 、b 、c 依次成等比数列，且a 与b 的等差中项是p ，b 与c 的等差中项是q ，则qc p a +的值等于 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1611．等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7+a 10+…+a 94+a 97=50，公差d=-2，则a 3+a 6+a 12+…+a 96+a 99等于（A ）-182 （B ）-78 （C ）-82 （D ）-14812．各项为正的等比数列{a n }中，已知a 4a 7=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10的值等于（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）2+log 3513．某公司今年初向银行贷款a 万元，年利率为q （复利计息），从今年末开始每年末偿还相同的金额，预计五年内还清，则每年末应偿还的金额是（A ）1)1()1(45-++q q aq （万元） （B ）1)1()1(45-++q q a （万元） （C ）1)1()1(55-++q q aq （万元） （D ）1)1()1(55-++q q a （万元）二、填空题（每题4分，共16分）：14．已知奇函数f （x ）在（-∞，+∞）上是单调递减函数，则满足f （m ）+f （m 2）＞0的实数m 的取值范围是 .15．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞]）上是单调递增函数，且f （21）=0，则满足f （log 41x ）＞0的实数x 的取值范围是 .16．已知f 是从集合M={a ，b ，c}到集合P={-1，0，1}的映射，则满足条件f （a ）=f （b ）+f （c ）的不同映射f ：M →P 的个数是 个.17．等差数列{a n }中，已知前三项之和是12，最后三项之和是75，各项和是145，则公差d=三、解答题（共45分）18．对于函数f （x ）=log 1（2x 2+ax+1）.1）若它的值域是（-∞，+∞），求实数a 的取值范围；2）若f （x ）在（-∞，-2）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.19．1）有四个数，已知前在个数依次成等比数列，后三个数依次成等差数列，且首末两项和是21，中间两项和是18，求这四个数；2）求和：S n =1+2x+3x 2+4x 3+…+nx n-1，（n ∈N *）20．某市2018年年底有居民住房总面积为a （万平方米），其中危旧的住房41，新型单元住房占31.为加快住房改造，市政府计划在五年内全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），并对现有的新型单元住房每年以21%的增长率加快建设.用P n （万平方米）表示第n 年年底（2018年算作第一年）该市居民住房的总面积.1）分别写出P 1、P 2（只列式不必化简），并归纳出P n 的表达式（用a 、n 表示）（不必证明）；2）危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该市居民住房总面积的年平均增长率超过10%？（已知 lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg1.1≈0.18，lg2.5≈0.4）21．已知函数f （x ）=-42-x ，（x ≤-2）.1）求f （x ）的反函数f -1（x ）；2)记a 1=1，a n =-f -1（-a n-1），求a n ；3）记b n =11++n n a a ，求数列{b n }的前n 项之和. 22．已知{a n }是各项为正的等比数列，数列{b n }满足b n =n1[lga 1+lga 2+…+lga n-1+lg （ka n ）].是否存在正数k ，使{b n }成等差数列？若存在则求出k 的值，若不存在请说明理由.。
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）=________．2. （1分）(2017·崇明模拟) 已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB= ，则该函数的最小正周期是________3. （1分） (2018高一上·凯里月考) 已知函数，则 ________.4. （1分） (2017高一上·黑龙江期末) 已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=________．5. （1分） (2017高一上·长沙月考) 已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是________．6. （1分） (2017高一下·西安期末) 在△ABC中， =| |=2，则△ABC面积的最大值为________．7. （1分）已知，则 =________．8. （1分） (2016高一下·浦东期中) 函数f（x）=loga（4﹣x2）在区间[0，2）上单调递增，则实数a取值范围为________．9. （1分）如图，⊥ ，且| |=| |，C点在以O为圆心| |为半径的圆弧AB上，若=x +y ，则x+y的范围是：________．10. （1分）(2018·如皋模拟) 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为________.11. （1分） (2016高三上·宁波期末) 已知关于x的方程x2+ax+2b﹣2=0（a，b∈R）有两个相异实根，若其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是________．12. （1分）(2018·全国Ⅱ卷文) 已知，则tan =________13. （1分） (2016高一上·埇桥期中) 已知奇函数f（x）当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1，求x＜0时f（x）的解析式________14. （1分）(2017·上饶模拟) 已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1 ， x2 ， x3 ，…，xn ，且x1＜x2＜x3＜…＜xn ，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2017高三上·定西期中) 已知向量 =（cos x，sin x）， =（cos ，﹣sin ），若f（x）= ﹣| |2（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若x∈[﹣， ]，求函数f（x）的最大值和最小值．16. （5分） (2017高一上·鞍山期末) （Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）已知x∈[ ， ]，且sinx=﹣，求tanx的值．17. （10分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？18. （5分） (2017高一上·平遥期中) 设函数f（x）满足f（x）=1+f（）•log2x，求f（2）的值．19. （15分） (2016高一上·潍坊期末) 已知a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ +a）．（1）若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围；（3）设a＞0，若对任意实数t∈[ ，1]，函数f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．20. （15分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）=lg ，f（1）=0，且f（2）﹣f（）=lg2．（1）求f（x）的表达式；（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若函数y=f（x）﹣lg（8x+m）的无零点，求实数m的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、。
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题． 14．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°，则AO BC ⋅=u u u r u u u r_____． 【答案】8【解析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 连接，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出.【详解】如图，AC 中点，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则OD AC ⊥，OE AB ⊥，212AO AC AC ∴⋅=u u u r u u u r u u u r ，212AO AB AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，()222211115382222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：8. 【点睛】本题考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义，属于基础题． 15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342T ππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=.故答案为：163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．16．定义在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的函数y =的图象与y ＝4tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_____．【解析】先将12PP 的长转化为求sin x 的值，再由x 4tan x x =可求出sin x 的值，从而得到结论. 【详解】由题意可得，线段12PP 的长即为点2P 的纵坐标，即sin x 的值，且其中的x 即为P 的横4tan x x =sin 4cos xx x =，24sin 0x x +=，解得sin x =，（舍负）所以线段12PP .. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 17．设函数f （x ）＝2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）＝a +b 成立，则t 的取值范围是_____． 【答案】()1,+∞【解析】对任意不为零的实数a ，b 均有()0f x a b =+成立等价于()()22112x b x a -=-，分12x =或12x ≠两种情况讨论，即可求出t 的范围.【详解】f （x ）＝a +b 成立等价于（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a ， 当x 12=时，左边＝0，右边≠0，不成立，当x 12≠时，（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a 等价于21221b x a x -=-， 设k ＝2x ﹣1，则x 12k +=， 则22(1)1211222k b k k a k k +---+===（1k -k ﹣2）， ∵x ∈（0，t ），（t 12＜），或x ∈（0，12）∪（12，t ），（t 12＞）， ∴k ∈（﹣1，2t ﹣1），（t 12＜），或k ∈（﹣1，0）∪（0，2t ﹣1），（t 12＞），（） ∵∀a ，b ∈R ， ∴12b a =（1k -k ﹣2），在（）上恒有解， ∴12（1k-k ﹣2），在（）上的值域为R ， 设g （k ）12=（1k-k ）﹣1，则g （k ）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减， 对应值域为(,1),((21),)g t -∞--+∞ 要保证12（1k-k ﹣2）在（）上的值域为R ，则 ∴1122(21)1211t t g t t ⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-<--⎩⎩＞＞＞， 解得t ＞1，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题18．计算下列各式的值：（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）-23 （2）2（）2•lg5【答案】（1）3（2）1【解析】（1）利用指数的运算法则化简求解即可；（2）利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）23-=914+-494-=3； （2）2（）2•lg5=2（）2•lg5+1﹣＝++1﹣＝lg1﹣＝1．【点睛】本题考查指数的运算法则以及对数运算法则的应用，属于基础题．19．（1）已知tanθ＝2，求sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4的值． （2）已知()()()()332sin cos tan f x cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求73f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）175；（2【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式化简变形，代入73πθ=-求解. 【详解】（1）∵tanθ＝2，∴sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4 2222222344sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+ 222222525211sin sin cos cos tan tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+； （2）∵f （θ）()()()332sin cos tan cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin cos tan sin θθθθ⋅-⋅-==--sinθ．∴7733 f sinππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin（3π-）＝sin33π=．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且19BE BC DF DCλλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，．（1）当λ12=，求|AEu u u r|；（2）求AE AF⋅u u u r u u u r的最小值．【答案】（1）13（2）2918【解析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出AEu u u r，DFu u u r，（1）当12λ=时，73,4AE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，即可求出答案；（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.【详解】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（123，D（12-3，∴AE AB BE =+=u u u r u u u r u u u r （2，0）+λ（12-=212-λ），（1）当λ12=时，AE =u u u r （74，则|AE u u u r |==（2）∵DE AD DF =+=u u u r u u u r u u u r （12）19λ+（1，0）＝（1129λ+，∴17217189218AE AF λλ⋅=++≥+u u u r u u u r 1722918318=+=，当且仅当λ23=时取得最小值．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.21．已知函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭： （1）若04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求y ＝f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b ﹣a 的最小值．【答案】（1）x 4π=时，，最小值为12， x 12π=时，最大值为1；（2）283π． 【解析】（1）根据三角函数的单调性的性质；（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）∵04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x 3π+∈[3π，56π]， ∴12≤sin x （2x 3π+）≤1，即f （x ）∈[12，1]， 当x 4π=时，f （x ）取得最小值，最小值为12， 当x 12=π时，f （x ）取得最大值，最大值为1；（2）函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x 12π-）3π+]+1＝2sin （2x 6π+）+1， 令g （x ）＝2sin （2x 6π+）+1＝0，解得x 6π=-+k π或x 2π=+k π，k ∈Z ， 即g （x ）的零点相离间隔依次为3π或23π， 故若y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，则b ﹣a 的最小值为103π⨯+922833ππ⨯=． 【点睛】 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题．22．已知函数：f （x ）＝x 2﹣mx ﹣n （m, n ∈R ）．（1）若m +n ＝0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（2）若存在实数m ，使得当x ∈[1，2]时，不等式x ≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）[﹣4，8]．【解析】（1）由题意可得()()10x m x +-≥，分类讨论1m <-，1m =-，1m >-，结合二次不等式的解法可得所求解集；（2）由题意可得14n x m x≤++≤对[]1,2x ∈恒成立，即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，考虑()n y x n R x=--∈在[]1,2单调性，可得n 的不等式，即可得到n 的取值范围. 【详解】（1）由x ≤x 2+mx ﹣m ，即（x +m ）（x ﹣1）≥0，①m ＝﹣1时，可得x ∈R ；②m ＜﹣1时，﹣m ＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m ，+∞）；③m ＞﹣1时，﹣m ＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m ]∪[1，+∞）；（2）x ∈[1，2]时，x ≤x 2+mx +n ≤4x 恒成立，即为1≤x n x++m ≤4对x ∈[1，2]恒成立， 即存在实数m ，使得﹣x n x -+1≤m ≤﹣x n x-+4对x ∈[1，2]恒成立， ∴（﹣x n x -+1）max ≤（﹣x n x -+4）min ，当0n <时，由n y x x =--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，40n ∴-≤< 当01n ≤≤时，由n y x x=--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，01n ∴≤≤ 当4n ≥时，由n y x x=--在[1，2]递增， ∴132n n --≤-， 84n ∴≥≥ 当14n <<时，由n y x x=--在[1，2]先增后减，∴13n -≤-或122n -≤-，14n ∴<< 综上，实数n 的取值范围：[﹣4，8]．【点睛】本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.。
浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高三数学模拟试卷(文科)(10月份) Word版含解析
2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．设F1、F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形．若双曲线C2的离心率e∈[，4]，则椭圆C1的离心率取值范围是（）A．[，]B．[0，]C．[，]D．[，1）8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B． C． D．[1，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=．10．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．11．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为．12．已知x＞0，y＞0，且+=1，若2x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围是，当m取到最大值时x=．13．已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为．14．若存在实数x，y同时满足x2+y2≤1，|x﹣a|+|y﹣1|≤1，则实数a的取值范围是．15．设||=1，||=2，•=0，=λ+μ，且λ+μ=1，则在上的投影的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．17．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．18．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．19．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3（Ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围（Ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则平面区域内必存在一个点在直线x0﹣2y0=3的下方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点A的坐标为（﹣m，m），直线x0﹣2y0=3的斜率为，截距式方程为y0=x0﹣，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则点A（﹣m，m）必在直线x﹣2y=3的下方，即﹣m﹣2m＞3，解得m＜﹣1．故m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）．故选：D．7．设F1、F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形．若双曲线C2的离心率e∈[，4]，则椭圆C1的离心率取值范围是（）A．[，]B．[0，]C．[，]D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意及椭圆的性质，可求得MF1=2a﹣2c，根据双曲线的性质求得A点的横坐标，求得的取值范围，利用双曲线的离心率取值范围≤≤4，椭圆离心率e1=，代入求得椭圆离心率e1的取值范围．【解答】解：∵△MF1F2为等腰三角形，∴MF2=F1F2=2c，根据椭圆定义应该有，MF2+MF1=2a=2c+MF1，可推出MF1=2a﹣2c，∵双曲线也以F1和F2为焦点，根据其定义也有：MF1﹣MF2=（2a﹣2c）﹣2c=2a﹣4c，∴A点横坐标为a﹣2c，由a﹣2c＞0，得：0＜＜；双曲线离心率e范围：≤e===≤4，①因此求得椭圆离心率e1=，当0＜e1＜时，解得①：≤e1=≤；故答案选：C．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B． C． D．[1，2]【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．10．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．11．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0或2，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心、半径，由直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）=0，解得m=0或m=2．圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，∵|PC|==，∴最短弦长为：2=2．故答案为：0或2，2．12．已知x＞0，y＞0，且+=1，若2x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，8]，当m取到最大值时x=2．【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，y＞0，且+=1，可得2x+y=（2x+y）=4++，利用基本不等式的性质即可得出最小值．由2x+y≥m恒成立，可得m≤（2x+y）min．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴2x+y=（2x+y）=4++≥4+2=8，当且仅当y=2x=4时取等号．∵2x+y≥m恒成立，∴m≤（2x+y）min．∴m≤8，当m取到最大值时x=2．故答案分别为：（﹣∞，8]；2．13．已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r==2，∴r=1，∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=5π．故答案为：5π．14．若存在实数x，y同时满足x2+y2≤1，|x﹣a|+|y﹣1|≤1，则实数a的取值范围是[﹣，]．【考点】简单线性规划．【分析】化简不等式组，作出对应的图象，结合直线和圆相切的条件求出对应的a的值即可得到结论．【解答】解：∵存在实数x，y同时满足x2+y2≤1，|x﹣a|+|y﹣1|≤1，则﹣1≤y≤1，则不等式，|x﹣a|+|y﹣1|≤1等价|x﹣a|﹣y+1≤1，即|x﹣a|≤y，作出x2+y2≤1，|x﹣a|≤y，对应的区域如图，当a＜0，x＞a直线方程为y=x﹣a，即x﹣y﹣a=0，此时当直线x﹣y﹣a=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==1，即|a|=，此时a=﹣，即此时B（﹣，0），当a＞0，x＜a直线方程为y=﹣（x﹣a），即x+y﹣a=0，此时当直线x+y﹣a=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==1，即|a|=，此时a=，即此时A（，0），若存在实数x，y同时满足x2+y2≤1，|x﹣a|+|y﹣1|≤1，则﹣≤a≤，故答案为：[﹣，]15．设||=1，||=2，•=0，=λ+μ，且λ+μ=1，则在上的投影的取值范围是（﹣，1]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件求得||、的值，可得在上的投影为x=，分类讨论，求得的范围，可得x的范围．【解答】解：∵||=1，||=2，•=0，=λ+μ，且λ+μ=1，∴||===，∴•=•[λ+（1﹣λ）]=λ•+（1﹣λ）•=λ•=λ．设在上的投影为x，则•=x•||=x•=λ，∴x=．当λ=0时，x=0，当λ＞0时，===，故当λ=1时，取得最小值，为1，即≥1，∴0＜x≤1．当λ＜0时，=﹣=﹣=﹣＜﹣=﹣，即＜﹣，∴﹣＜x＜0．综上可得，x∈（﹣，1]，故答案为：（﹣，1]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求tan（B+C）=﹣，即可解得A的值．（Ⅱ）由已知得，由△ABC为锐角三角形，且，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得⇒∴（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且∴∴．17．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．则由中位线定理得出OP∥AC，PH∥CF，故而平面OPH∥平面AFC，于是有PM∥平面AFC；（II）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．则ON，OB，OG两两垂直，以O为原点建立坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】解：（Ⅰ）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．∵M为△OBF的重心，∴H为BF的中点，又P为BC的中点，O为AB的中心，∴PH∥CF，OP∥AC，又∵CF⊂平面AFC，AC⊂平面AFC，OP∩PH=P，OP⊂平面OPH，PH⊂平面OPH，OP∩PH=P，∴平面OPH∥平面AFC，又∵PM⊂平面OPH，∴PM∥AFC．（Ⅱ）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，∴ON，OB，OG两两垂直．以O为原点，以ON，OB，OG为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：则A（0，﹣1，0），C（0，1，1），E（，，0），F（，﹣，0）．∴=（0，2，1），=（0，1，0），=（﹣，，1）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则．∴．令x=2则=（2，0，）．∴cos＜＞===．∴直线AC与平面CEF所成角的正弦值为．18．已知数列{a n }的前n 项和S n =﹣a n ﹣（）n ﹣1+2（n ∈N *），数列{b n }满足b n =2n a n ． （Ⅰ）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =log 2，数列{}的前n 项和为T n ，求满足T n（n ∈N *）的n 的最大值．【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（Ⅰ）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1”及其等差数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n 的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：∵S n =﹣a n ﹣（）n ﹣1+2（n ∈N +），当n ≥2时，S n ﹣1=﹣a n ﹣1﹣（）n ﹣2+2（n ∈N +），∴a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣a n +a n ﹣1+（）n ﹣1，化为2n a n =2n ﹣1a n ﹣1+1．∵b n =2n a n ．∴b n =b n ﹣1+1，即当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=1．令n=1，可得S 1=﹣a 1﹣1+2=a 1，即a 1=．又b 1=2a 1=1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n =1+（n ﹣1）•1=n=2n a n ，∴a n =．（Ⅱ）解：∵c n =log 2=n ，∴=﹣，∴T n =（1﹣）+（﹣）+…（﹣）=1+﹣﹣，由T n ，得1+﹣﹣，即+＞，∵f （n ）=+单调递减，f （4）=，f （5）=，∴n 的最大值为4．19．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=（x1+x2），代入即可证明；（Ⅲ）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可．【解答】（Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=﹣1．…（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．由方程组得x2﹣4kx﹣4m=0，由题意，得△=16k2+16m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，…由抛物线方程x2=4y，得y=x2，所以y′=x，所以抛物线在点A处的切线方程为y﹣=x1（x﹣x1），化简，得y=x1x﹣同理，抛物线在点B处的切线方程为y=x2x﹣…联立方程，得x1x﹣=x2x﹣即（x1﹣x2）x=（x1﹣x2）（x1+x2），因为x1≠x1，所以x=（x1+x2），代入，得y=x1x2=﹣m，所以点Q（（x1+x2），﹣m），即Q（2k，﹣m）点Q在直线y=﹣m上．…（Ⅲ）解：假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ∴k AQ•k BQ=﹣1，x1x2=﹣1，∴x1x2=（﹣4m）=﹣1，∴m=1，P（0，1）下面验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可．令y=0，得E（x1，0）．同理得F（x2，0）．所以直线EP的斜率为k EP==，直线FQ的斜率k FQ==，…所以k EP=k FQ，即EP∥FQ．同理PF∥EQ．所以四边形PEQF为平行四边形．综上所述，存在点P（0，1），使得四边形PEQF为矩形．…20．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3（Ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围（Ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）解不等式f（m）≥f（1）即可；（Ⅱ）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（Ⅱ）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（1）当时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需，即=，所以，从而；（2）当x∈时，F（x）=（1﹣k）x+，①当k=1时，F（x）=在上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+在上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需，即=1+，所以，综上可知：．2016年7月23日。
2017-2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）如图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）A．（∁U A）∩（∁U B）B．（∁U A）∪（∁U B）C．（∁U B）∩A D．（∁U A）∩B 2．（3分）下列函数中，定义域为（0，+∞）的是（）A．B．y=x﹣2C．D．3．（3分）已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y4．（3分）函数f（x）=x2+2x﹣1存在零点的区间是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）5．（3分）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B． C．D．6．（3分）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（3分）函数y=2|x|在区间[m，n]的值域为[1，4]，则m2+n2﹣2m的取值范围是（）A．[8，12] B．C．[4，12] D．8．（3分）设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a9．（3分）若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]=，则f（log23）=（）A．1 B．C．D．010．（3分）已知函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（x﹣2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在答题卷中的横线上.）11．（4分）已知集合M={1，m+2，m2+4}，如果5∈M，那么m的取值集合为．12．（4分）若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是．13．（4分）若2x+2﹣x=5，则8x+8﹣x=．14．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足，当2≤x≤3时，f （x）=2x﹣1，则f（5.5）=．15．（4分）当时，函数f（x）=x2﹣log a x的图象在x轴下方，那么实数a的取值范围是．16．（4分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣4|x2﹣1|+k=0，给出下列四个判断：①存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确的为（写出所有判断正确的序号）．17．（4分）记号max{a，b}表示a，b中取较大的数，如max{1，2}=2．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，．若对任意x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共4题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.008）×；（2）2（lg）2+lg•lg5+．19．（10分）设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x2+5ax+6a2≤0}（1）若a=﹣1，求B∩A，B∩∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．20．（12分）设，（1）求函数的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并根据函数单调性的定义证明；（3）解关于x的不等式．21．（12分）已知函数f（x）=|x﹣2a|+（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）在区间[1，6]上最大值和最小值；（2）如果方程f（x）=0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，求++的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）如图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）A．（∁U A）∩（∁U B）B．（∁U A）∪（∁U B）C．（∁U B）∩A D．（∁U A）∩B 【解答】解：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，∴图中的阴影部分，可用集合符号表示为（∁U B）∩A．故选：C．2．（3分）下列函数中，定义域为（0，+∞）的是（）A．B．y=x﹣2C．D．【解答】解：对于A，定义域是{x|x≠0}，不合题意；对于B，定义域是{x|x≠0}，不合题意；对于C，定义域是[0，+∞），对于D，定义域是（0，+∞），故选：D．3．（3分）已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y【解答】解：x=log a+log a=log a，y=log a5=log a，z=log a﹣log a=log a，∵0＜a＜1，又＜＜，∴log a＞log a＞log a，即y＞x＞z．故选：C．4．（3分）函数f（x）=x2+2x﹣1存在零点的区间是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x﹣1在R上连续函数，∵f（）=+﹣1＜0，f（）=+1﹣1＞0，∴f（）f（）＜0，由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（﹣，）内存在零点．故选：B．5．（3分）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：根据f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a）的图象可得b＜﹣1，且0＜a＜1，故函数g（x）=a x+b是减函数，且图象与y轴的交点（0，﹣b）在y轴的负半轴上，结合所给的选项，故选：A．6．（3分）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：已知f（）=，设，则x=，那么：f（）=转化为g（t）==，∴f（x）的解析式可取为f（x）=，故选：C．7．（3分）函数y=2|x|在区间[m，n]的值域为[1，4]，则m2+n2﹣2m的取值范围是（）A．[8，12] B．C．[4，12] D．【解答】解：由题意函数y=2|x|在区间[m，n]的值域为[1，4]，可得：n=2或m=﹣2，定义域范围一定包括0．当n=2时，那么m的范围是[﹣2，0]，此时m2+4﹣2m=（m﹣1）2+3，可得最小值为4．当m=﹣2时，那么n的范围是[0，2]，此时m2+4﹣2m=8+n2，可得最大值为12．故选：C．8．（3分）设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【解答】解：∵＜＜＜1且y=（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1∴指数函数y=a x在R上是减函数∴a b＜a a∴幂函数y=x a在R上是增函数∴a a＜b a∴a b＜a a＜b a故选：C．9．（3分）若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]=，则f（log23）=（）A．1 B．C．D．0【解答】解：∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]=，∴f（x）+=a恒成立，且f（a）=，即f（x）=﹣+a，f（a）=﹣+a=，解得：a=1，∴f（x）=﹣+1，∴f（log23）=，故选：C．10．（3分）已知函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（x﹣2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=lg（1﹣4x）﹣8=f（x），∴f（x）是偶函数．由复合函数的单调性可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵f（ax﹣1）＜f（x﹣2）在[3，4]上有解，∴|ax﹣1|＜|x﹣2|在[3，4]上有解，（1）若﹣1＜a≤，则不等式为1﹣ax＜x﹣2，解得x＞，∴＜4，解得：﹣＜a≤．（2）若≤a＜1，则不等式为ax﹣1＜x﹣2，解得x＞，∴＜4，解得：≤a．（3）若＜a＜，则|ax﹣1|＜1，而|x﹣2|≥1，∴|ax﹣1|＜|x﹣2|在[3，4]上恒成立．（4）若a≤﹣1或a≥1，则|ax﹣1|≥2，而|x﹣2|≤2，且两式等号成立的条件不同，故不等式|ax﹣1|＜|x﹣2|在[3，4]上无解，∴a的范围是（﹣，）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在答题卷中的横线上.）11．（4分）已知集合M={1，m+2，m2+4}，如果5∈M，那么m的取值集合为{1，3} ．【解答】解：∵集合M={1，m+2，m2+4}，5∈M，∴m+2=5或m2+4=5，解得m=3或m=1或m=﹣1，当m=3时，M={1，5，13}，成立；当m=1时，M={1，3，5}，成立；当m=﹣1时，M={1，1，5}，不成立，∴m的取值集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．12．（4分）若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是0≤a＜4．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为R，∴ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．若a=0，不等式成立；若a≠0，则，解得0＜a＜4．综上：0≤a＜4．故答案为：0≤a＜4．13．（4分）若2x+2﹣x=5，则8x+8﹣x=110．【解答】解：∵2x+2﹣x=5，∴8x+8﹣x=（2x）3+（2﹣x）3=（2x+2﹣x）[（2x）2﹣2x2﹣x+（2﹣x）2]=5[（2x）2+（2﹣x）2﹣1]=5[（2x+2﹣x）2﹣2﹣1]=5（52﹣3）=110．故答案为：110．14．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足，当2≤x≤3时，f （x）=2x﹣1，则f（5.5）=4．【解答】解：∵f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=f（x），∴f（x）的周期是4．又f（x）是偶函数，∴f（x）关于直线x=4对称，∴f（5.5）=f（2.5）=4．故答案为：4．15．（4分）当时，函数f（x）=x2﹣log a x的图象在x轴下方，那么实数a的取值范围是．【解答】解：当时，函数f（x）=x2﹣log a x的图象在x轴下方，则：f（x）=x2﹣log a x＜0，即：x2＜log a x，由于：，所以：a＜1．当x=时，，解得：，所以a的取值范围为：，即：a∈．故答案为：16．（4分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣4|x2﹣1|+k=0，给出下列四个判断：①存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确的为①②③（写出所有判断正确的序号）．【解答】解：由（x2﹣1）2﹣4|x2﹣1|+k=0得﹣k=（x2﹣1）2﹣4|x2﹣1|，①设x2﹣1=t，则t≥﹣1，设f（t）=t2﹣4|t|=，作出f（t）的函数图象如图所示：由图象可知：（1）当﹣k=﹣4或﹣k＞0时，关于t的方程f（t）=﹣k只有1解，不妨设为t0，显然t0≠﹣1．而关于x的方程x2﹣1=t0有两解，故而方程①有2个解；（2）当﹣4＜﹣k＜﹣3或t=0时，关于t的方程f（t）=﹣k有两解，不妨设为t1，t2，显然t i≠﹣1（i=1，2）．而关于x的方程x2﹣1=t i（i=1，2）有两解，故而方程①有4个解；（3）当﹣k=﹣3时，关于t的方程f（t）=﹣k有三解，且其中一解为﹣1，不妨设三个解为t1，t2，t3，且t1=﹣1．而关于x的方程x2﹣1=t1只有1解，关于x的方程x2﹣1=t i（i=2，3）有两解，故而方程①有5个解；（4）当﹣3＜﹣k＜0时，当关于t的方程f（t）=﹣k有三解，不妨设为t1，t2，t3，显然t i≠﹣1（i=1，2，3）．而关于x的方程x2﹣1=t i（i=1，2，3）有两解，故而方程①有6个解；故答案为：①②③．17．（4分）记号max{a，b}表示a，b中取较大的数，如max{1，2}=2．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，．若对任意x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围是．【解答】解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0；当x＞0时，，由x﹣4a2﹣x+=0，解得x=2a2（负的舍去），则f（x）=，由f（x）=x﹣4a2，x≥2a2，得f（x）＞﹣2a2；由f（x）=x﹣，0＜x＜2a2，得a2≥f（x）＞﹣2a2．∴当x＞0时，f（x）∈（﹣2a2，a2]，∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）∈[﹣a2，2a2），∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴将函数f（x）的图象向右平移1个单位后的图象在y=f（x）的图象的非上方，∴4a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：﹣≤a≤且a≠0．故答案为：：﹣≤a≤且a≠0．三、解答题（本大题共4题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.008）×；（2）2（lg）2+lg•lg5+．【解答】解：（1）（）﹣（）0.5+（0.008）×=﹣+×==；（2）2（lg）2+lg•lg5+=×lg5+=+1﹣==1．19．（10分）设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x2+5ax+6a2≤0}（1）若a=﹣1，求B∩A，B∩∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x2+5ax+6a2≤0}={x|（x+2a）（x+3a）≤0}；（1）若a=﹣1，则B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}={x|2≤x≤3}，∴B∩A={x|2≤x≤3}，又∁U A={x|x＜1或x≥4}，∴B∩∁U A=∅；（2）若A∪B=A，则B⊆A，当a=0时，B={0}，不满足题意；当a＜0时，B={x|﹣2a≤x≤﹣3a}，则，解得﹣＜a≤﹣，满足题意；当a＞0时，B={x|﹣3a≤x≤﹣2a}，则，解得﹣2＜a≤﹣，不满足条件；综上，实数a的取值范围是﹣＜a≤﹣．20．（12分）设，（1）求函数的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并根据函数单调性的定义证明；（3）解关于x的不等式．【解答】解：（1）由题意得：，解得：﹣2＜x＜2，故函数的定义域是（﹣2，2）；（2）令﹣2＜x1＜x2＜2，则f（x1）﹣f（x2）=+lg﹣﹣lg=+lg，由﹣2＜x1＜x2＜2，得x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，而4+2（x2﹣x1）﹣x1x2﹣4+2（x2﹣x1）+x1x2＞0，故＞1，故lg＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）是减函数；（3），即f（x（3﹣x））＞﹣lg3=f（1），由f（x）在（﹣2，2）递减，则，解得：﹣1＜x＜1或2＜x＜4，故不等式的解集是（﹣1，1）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）=|x﹣2a|+（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）在区间[1，6]上最大值和最小值；（2）如果方程f（x）=0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，求++的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣4|=当1≤x≤4时，f（x）=4﹣（x+）的范围是[﹣1，2]，当4＜x≤6时，f（x）=x﹣4﹣的范围是（﹣1，]，∴f（x）在区间[1，6]上最大值为2，最小值为﹣1；（2）由方程f（x）=0，即x|x﹣2a|+a2﹣4a=0．可得：x|x﹣2a|=4a﹣a2．当a＞0时，方程由3个不相等的实数根，若x＜2a，方程f（x）=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2个不相等的实根，若x≥2a时，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1个不相等的实根，∴，解得：2＜a＜4．不妨设x 1＜x2＜x3，则x1+x2=2a，，∴++=当a=0时，显然不符合题意；当a＜0时，若x≥2a时，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0，判别式△＜0，不符合题意；，故得++的取值范围是（，+∞）．。
浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题+Word版含答案
杭州学军中学2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷试卷Ⅰ一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的．） 1.设集合2{|120},{|26}A x x x B x x =-->=-≤≤，则()R A B = （▲）A.RB.[3,6]-C.[2,4]-D.(]3,6- 2.已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（▲）A. 1B. 1-C.2D. 2-3.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（▲）A.log a y x =B.3y x x =+C.3xy = D.1y x=-4.已知函数()422x xf x =--，则它的零点是（▲）A. ()10-，B. ()10，C.1-D.1 5.在ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，若2BC CD =，则AD =（▲）A.4133AC AB - B.4133AB AC - C.3122AC AB - D.3122AB AC - 6.设函数2220()0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥-⎪⎩，若(())3f f a ≤，则实数a 的取值范围为（▲）A.(-∞B.)+⎡∞⎣C. ⎡⎣D. (-∞， 7.在矩形ABCD 中，3,2AD EB CE ==，P 是边DC 上的动点，记PD PC λ=，当43PA PE +取最小值时，λ=（▲）A.43B.34 C.43- D.34-8.设[],,2R a b ππ∈∈-，若对任意实数x ，都有2cos(4)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（▲） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.已知函数()sin(2)3f x x π=+，若存在12,m x x x 满足121706m x x x π≤<<<≤，且*12231()()()()()()11(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为（▲）A. 5B. 6C. 7D. 8 10.函数,(0,))2y t R πα=∈∈的最大值是（）C.2第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在答题卷中的横线上．） 11.若()f x 为幂函数，且满足(8)8(2)f f =，则(16)f =__▲ _． 12.已知半径为120厘米的圆上，有一条弧所对的圆心角为)ααπ<<（0，若1cos 2α=-，则这条弧长是__▲ _厘米.13.若ABC ∆是边长为2的正三角形，则AB 在AC 方向上的投影为__▲ _． 14.已知角α的终边经过点(3,1)P t ，且3cos()5πα+=，则tan α的值为__▲ _． 15.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f xf x +=-，且当[)0,1x ∈时，()1f x x =+），给出下列命题 ①(2017(2018)0+f f -=） ②函数()f x 是周期为2的函数③ 函数()f x 值域为2,2（-） ④直线2y x =与函数()f x 图像有2个交点 其中正确的是__▲ _．16.已知函数23()sin(),()log 32f x xg x a x ππ=+=-，若存在[]1,22,4x x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是__▲ _． 17.设函数23211)()7(,)2f x x k ak x a a k R k=+-++∈（，存在[]2,3k ∈，若1,2x x 满足[]12,,2,32a x k k x k a k a ⎡⎤∈+∈++⎢⎥⎣⎦有12()()f x f x ≤，则正实数a 的最大值为__▲ _．三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18.（本题满分8分）已知(9,2),(,),(1,2)AB BC x y CD ===- （Ⅰ）若//BC CD ，AC CD ⊥，求y x ,的值； （Ⅱ）若3AC CD =-，求BC 的最小值．19.（本题满分10分）定义在0+∞（，）上的函数()f x 满足2(2)2xf x x =- （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）若关于x 的方程32()5a f x a+=-在1,4（）上有实根，求实数a 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象与y 轴的交点为(0,1)-，它在y 轴右侧的第一个最小值点坐标为0(,2)x -，与x 轴正半轴的第一个交点的横坐标为04+x π（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）求函数()y f x =在[]0,π上的单调区间；（Ⅲ）若将函数()y f x =向左平移0)mm >（个单位得到奇函数，求实数m 的最小值.21. （本题满分12分）已知函数2()14=f x x a --，2()4g x x ax a =-+，,R a a ∈（为常数）（Ⅰ）若()()()F x f x g x =+在区间[]0,2上有两个零点12,x x ①求实数a 的取值范围；②若12x x <，求1211+x x 的最大值； （Ⅱ）记()()xh x g x =，若()h x 在(]0,1上单调递增，求实数a 的取值范围.学军中学高一年级期末考试数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有．．一项是符合题目要求的．） 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．） 11. 64 12. 80π; 13. 1 14. 43-15. ①③ 16. 1542⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 17. 2491三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18. 解（Ⅰ）由题意得(9,2)AC x y =++，又//BC CD ，AC CD ⊥ 则20x y +=，(9)2(2)0x y -+++=； 解得1,2x y =-=（Ⅱ）由3AC CD =-得 22,x y -+= 即22,x y =-2BC x === 则当45y =时BC 取得最小值19. 解：（Ⅰ）令2xt =，则2log x t =，由2(2)2x f x x =-得222()(log )2log f t t t =- 即222()(log )2log f x x x =- 0)x >（（Ⅱ）2222232()(log )2log log 115=--=a f x x x x a+=--（） ()1,4x ∈ ()2log 0,2x ∴∈ [)22log 111,0---x ∴∈（）即32105a a +-≤<- 解得7223-a ≤<- 20. （Ⅰ）由题意知：2;(0)2cos 1A f ϕ===-，0ϕπ<<23=πϕ∴， 由44T π=得2T ππω==解得22()2cos(2)3=f x x πω∴=+ （Ⅱ）单调递减区间区间：2063πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，；递增区间：263ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（Ⅲ）将函数()y f x =向左平移0)mm >（个单位得到2()2cos(22)3g x x m π=++ 又()g x 为奇函数，22()32=m k k Z πππ∴++∈，解得()212=-k m k Z ππ∴∈ m ∴的最小值为512π21. 解：（Ⅰ） ①[][)2221,221()1011x x ax F x x x ax x ax∈⎧--=-+-=⎨∈-⎩，由题意得：1(1)(72)0a a a ≥⎧⎨--≤⎩解得712a ≤≤，检验1a =不合题意，故712a <≤②由题意121,4a x x a ==，所以12111(2+a a x x ==+ 它在712⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，当72a =时，1211+x x 取得最大值4（Ⅱ）(]21(),0,144x h x x a x ax a x a x==∈-++- （1）当0a =时，(]1(),0,1h x x x=∈单调递减，不合题意（2）当0a <时，1()4h x a x a x=+-在(]0,1上单调递增，则40ax a x +-<对任意(]0,1x ∈恒成立，1140,3+a a a ∴-<<-解得（3）当0a >时，1()4h x a x a x =+-在(]0,1上单调递增，则1≥且40ax a x +->对任意(]0,1x ∈恒成立，1140,4+a a a ∴≥->且 解得14a ≥综上14a ≥或13a <-。
2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(20201014181259)
现在沿 AE 、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B 、 C 、 D 三点重合，重合后
的点记为 H ，如图②所示，那么，在四面体 A EFH 中必有 ( )
图①
图②
A ． AH ⊥△ EFH 所在平面
B． AG ⊥△ EFH 所在平面
C． HF ⊥△ AEF 所在平面
D． HG ⊥△ AEF 所在平面
22 ( 2 3) 2 1 ，即 | m | 1 解得 m
2
2
0或 1 2
2
20.解： ∵ PA⊥平面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ∴ PA⊥ CD
∵ CD ⊥AD ， AD ∩PA＝ A∴CD ⊥平面 PAD .[来源:Z#xx#] ∵ PD ? 平面 PAC，∴ CD⊥ PD [来源:Z*xx*]
）
A． a 1或 a 2
B． a 2或 a 1
C． a 1
D． a 2
5．设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，（
）
A ．若 l ∥ ， l ∥ ，则 ∥
B．若 l ∥ ， l ⊥ ，则 ⊥
C．若 ⊥ ， l ⊥ ，则 l ⊥
D．若 ⊥ ， l ∥ ，则 l ⊥
6．直线 2 x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线方程是 ( )
三、解答题
3x 4y 5 0
17. 解：由
，得 M ( 1, 2)
2x 3y 8 0
22
（ 1） x 1 （ 2）设直线方程为 x 2 y C 0 ，则， C 5 ，即 x 2y 5 0
18.解：圆 x2 y2 4 的圆心坐 标为 (0,0) ， 半径 r 4
∵ 弦 AB 的长为 2 3 ，
故圆心到直线的距离 d 19.解：
杭高2018学年第一学期期末考试高一【数学】
杭高2018学年第一学期期末考试高一（数学）试题卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,3A B x R x ==∈≥，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．已知α的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．33．在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ） A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上4．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，设()()13,,22a f b f c f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>5．函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点()()()2,3,5,4,7,10A B C ，有()AP AB AC R λλ=+∈，若点P 在第三象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．3,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞7．已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．若函数()()sin 20,0f x A x A ωω=>>在1x =处取得最大值，则函数()1f x +为（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是（ ）A ．1B ．2425-C ．725D ．725-10．函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如y x =是[]2,2-上的“平均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()2,0-C ．()0,2D ．(二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分．）11．计算：(22lg5+_________________．12．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为_________________．13．平面向量()()1,1,1,2AB n =-=，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅=_________________．14．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ-=_________________．15．已知()()[]3sin 3,0,f x x x φπ=+∈，则()y f x =与2y =的交点个数最多有_________________个．16．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论中正确的是_________________．（1）a 为单位向量；（2）b 单位向量；（3）a b ⊥；（4）//b BC ；（5）()4a b BC +⊥．17．若函数()22f x x a x =+-在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是_________________．三、解答题：（本大题共个5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本大题10分）设全集是实数集R ，{}{}22430,0A x x x B x x a =-+≤=-≤． （1）当4a =时，求AB 和A B ；（2）若R B C A ⊆，求a 的取值范围．19．（本大题10分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．20．（本大题10分）已知ABC ∆中，点()()()0,3,0,1,1,1A B C -．（1）以AC 为对角线作正方形AMCN （点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）若E 为BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求AD AE ⋅．21．（本大题12分）已知二次函数()216,f x x x k k R =-+∈． （1）若函数()f x 在[],2m m +上单调，求实数m 的取值范围；（2）是否存在常数()010t t ≤<，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间[],a b 且12b a t -=-？ （3）若()f x 在[](),m n n g ≤上的值域为[],m n ，求实数k 的取值范围．。
2017-2018学年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x＞0}，Q={x|-1＜x＜1}，则P∩Q=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A. B. C. D.4.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A. 2B. 3C. 4D. 56.下列函数中，周期为π，且在区间（，）上单调递减的是（）A. B. C. D.7.已知a=（），b=log93，c=3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.8.定义在区间（0，）上的函数y=2cos x的图象与函数y=3tan x的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为（）A. B. C. 1 D.9.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），则函数f（x）在区间[-1，1）上的图象可能是（）A. B.C. D.10.如图，在平面内，△ABC是边长为3的正三角形，四边形EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转动时，的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.计算：tan120°=______．12.求值：=______．13.已知不共线的三个向量，，满足，则=______．14.已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=______；log3f（3）=______．15.若两个非零向量，满足|，则向量与的夹角的大小为______．16.已知函数若f（x）在，上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是______．17.设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）18.已知函数f（x）=2cos2x+2sin x cosx-1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．19.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，．（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若，且，求．20.已知函数f（x）=（2x-1）（2x+1-3）-a，其中a是常数．（Ⅰ）若a=6，且f（x）≥0，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=0有两个不相等实根，求实数a的取值范围．21.已知函数f（x）=log2（a+），其中a为实数．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞log2（|x-2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：P∩Q=（0，1）．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：==．故选：D．直接用向量加减法容易得解．此题考查了向量加减法，属容易题．3.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2x+2x-3，在x＞0时是连续增函数，因为f（1）=log21+2-3=-1＜0，f（2）=log22+4-3=1+1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：B．判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的判断是一疏忽点．4.【答案】C【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，那么所得的图象的函数解析式是y=sin2（x-）=sin（2x-），故选：C．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵函数y=f（x）+x是偶函数，∴f（-2）-2=f（2）+2，∴f（-2）=f（2）+2+2=5．故选：D．由函数y=f（x）+x是偶函数，得f（-2）-2=f（2）+2，得f（-2）=f（2）+2+2=5．本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵y=sinx-cosx=sin（x-）的最小正周期为2π，故D错误，排除D．∵y=sinxcosx=sin2x的最小正周期为=π，在区间（）上，2x∈（，π），函数单调递减，故B正确．∵y=|cos2x|的最小正周期为，故C不满足条件，故排除C，故选：A．利用正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵a=（）＜=，b=log93=，c=3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．利用幂函数指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了幂函数指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，令2cosx=3tanx，x∈（0，），可得2cos2x=3sinx，即2-2sin2x=3sinx，即2sin2x+3sinx-2=0，求得sinx=，∴x=，∴y=2cos=2×=．即点M到x轴的距离为．故选：B．由题意令2cosx=3tanx，x∈（0，），求出x的值，再计算对应的y值．本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），可知，把f（x）在[-1，0]上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到f（x）在（0，1]上的图象，故只有C满足．故选：C．函数的图象的平移和对称即可判断．本题考查了函数的图象的平移和对称，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：=∵，当共线反向时，的最小值为，∴的最大值为=，故选：A．把向量用表示，所求数量积化为两个数量积的差，新的数量积最值容易确定，进而得解．此题考查了数量积，数形结合分析最值等，难度适中．11.【答案】【解析】解：tan120°=-tan60°=．故答案为：-．利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．12.【答案】-1【解析】解：=lg10+（-2）=1-2=-1．故答案为：-1．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】2【解析】解：由，得，∴=，∴∴=2，故答案为：2．在原式两边同时减去，不难转化为的关系，得解．此题考查了向量之间的数乘关系，难度不大．14.【答案】【解析】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），∴4α=2，解得α=；∴f（x）=，∴log 3f（3）=log3f（3）=log3=．故答案为：，．根据幂函数的图象过点（4，2）求出α的值，写出f（x）的解析式，再计算log3f（3）的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：非零向量满足|，则：，所以，即：=，则：．故答案为：．直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积运算的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】（-，0）【解析】解：f（x）的图象如图所示∵f（x）在上既有最大值又有最小值，∴，解得-＜a＜0，故a的取值范围为（-，0），故答案为：（-，0），画出函数f（x）的图象，若f（x）在上既有最大值又有最小值，结合图象得到，解得即可．本题考查了函数的图象和画法和识别，以及函数的最值问题，属于中档题．17.【答案】（-1，1）【解析】解：由x2-ax-2=0，得，由x2-x-1-a=0，得a=x2-x-1．在同一个坐标系中画出和y=x2-x-1的图象如图：由，化简得x3-2x2-x+2=0，此方程显然有根x=2，∴x3-2x2-x+2=（x+1）（x-1）（x-2）=0，解得x=-1或x=1或x=2，当x=2，或x=-1时，y=1；当x=1时，y=-1，由题意可知，-1＜a＜1．∴a的取值范围是（-1，1）．故答案为：（-1，1）．由x2-ax-2=0，得，由x2-x-1-a=0，得a=x2-x-1．在同一个坐标系中画出和y=x2-x-1的图象，求出两函数的交点坐标，数形结合得答案．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．18.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos2x+2sin x cosx-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…（4分）∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当2x+=2kπ+，即x=kπ+时，f（x）max=2，…（9分）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z），所以，单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）．…（12分）（其他解法酌情给分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=2sin（2x+），利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用正弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）令，，则=4，解得λ2=4，λ=±2，…（4分）∴，，或，…（6分）（Ⅱ）∵ ，∴ ，…（9分）∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）令，则=4，由此能求出结果．（Ⅱ）由，得，由此能求出结果．本题考查向量的坐标、向量的数量积的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知a=6，且f（x）≥0，可得2•（2x）2-5•2x-3≥0，可得2x≥3或2x≤-（舍去），解得x≥log23，则x的取值范围是[log23，+∞）；（Ⅱ）f（x）=（2x-1）（2x+1-3）-a=2•（2x）2-5•2x+3-a，令t=2x，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程2t2-5t+3-a=0有两个不相等的正实根t1，t2，则有△＞＞＞＞＞＞＜＜．【解析】（Ⅰ）求得a=6时的不等式，由指数不等式的解法可得所求解集；（Ⅱ）可令t=2x，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程2t2-5t+3-a=0有两个不相等的正实根t1，t2，由判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到所求范围．本题考查指数不等式的解法，考查函数方程的转化思想，以及二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵a=1，∴由＞，解得：x＜-2或x＞2，∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）…（5分）（Ⅱ）由题意log2（a+）＞log2（|x-2a|+2）对任意x∈[3，6]恒成立，即|x-2a|-+2-a＜0在x∈[3，6]恒成立，记g（x）=|x-2a|-+2-a，则g（x）max＜0，又g（x）=，，＜…（9分）（1）当2a＜3，即a＜时，g（x）=x-+2-3a，此时g（x）在x∈[3，6]上单调递增，所以只需g（6）＜0，得a＞，∴a∈∅；（2）当2a＞6即a＞3时，g（x）=-x-+2+a=-（x-2+）+a，又y=x-2+在x∈[3，4]上单调递减，在[4，6]上单调递增，∴g（x）max=g（4）＜0，得a＜4，∴3＜a＜4；（3）当3≤2a≤6即≤a≤3时，由（1）和（2）可知g（x）max=max{g（4），g（6）}=max{a-4，7-3a}，得a-4＜0且7-3a＜0，即＜a＜4，∴＜a≤3，综上所述，＜a＜4．…（14分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的解析式，解不等式求出函数的定义域即可；（Ⅱ）问题转化为|x-2a|-+2-a＜0在x∈[3，6]恒成立，记g（x）=|x-2a|-+2-a，则g（x）max＜0，求出函数的最大值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的定义域问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。