初中数学9年级上册24.1 圆的有关性质课件
AB”或“弧 AB”．
AB
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
O
A
C
3．与圆有关的概念
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧． AC 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧．
ABC
B
O
A
C
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
4．应用拓展，培养能力
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到 定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
3．与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
3．与圆有关的概念
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧
A
PM HN Q
B
O
C
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m. 求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
●
O
OE CD,
弓形问题中：
半径、弦长、弦心距、弓形高
O
“知二求二”
A
B
随堂训练
变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 面半径为5dm。则水深__2_或__8____dm.
思维拓展
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
2．合作交流，学习新知
圆的概念 如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O 叫做圆心；
A
线段 OA 叫做半径；
r
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆
O”．
· O
2．合作交流，学习新知
O
同心圆 圆心相同，半径不同
确定一个圆的两个要素:
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1．阅读材料 引入新知
古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概 念的．那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的 山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从 另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径， 这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个 圆的孔．到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器 是将泥土放在一个转盘上制成的．
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
量关系，并给予证明。
O
A EF B
C
D
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C
A
D
B
O
4. 某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A 运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=8cm， AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm，求此时P到圆 心O的距离。
A B
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面 的结论，D是 AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即直径CD平分弦AB，并且平分 AB 及 ACB
我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧．
C
·O
E
A
B
D
我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题？
AB
如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R．
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条 直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
半径之比为( B)
A.3:2 B. 5: 2 C. 5:2 D.5:4
11.已知:AB 和CD 是⊙O的两条弧,且 AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.都不对
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理推论1
O
C
A
B
N
①③推 并直论且A平C线平1.=分M分B非CN弦过直所圆径对心的的弦两的条直弧②④⑤径。MAA垂⌒⌒NMN直=⊥=NM⌒⌒于BABB弦，
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的 A 长为8cm，圆心O到AB的距离 为3cm，则⊙O的半径是_____．
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
6.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
A.5，4，3
B.10，9，8，7，6，5，4，3
O
意两个量,可以求出其它
E
A
B
两个量.
D
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 _以__点__A_为__圆__心__，__4_c_m__为__半__径__的__圆___。 2.（07·广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半 径OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请 找出线段OE与OF的数
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
随堂训练
8．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，
于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( D )
A.1cm B.2cm C. 5cm D. 2 5cm
B
·OOE D C
A
P
A
B
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的
（1）是轴对称图形．直径CD所在 的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
弧：AC BC, AD BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
C
·O
E
A
B
点A与点B重合，AE与BE重合，AC ， AD 分别与 BC、BD重合．D
AE＝BE， AD BD ， AC BC
O
P
双基训练
5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 面上有油部分油面高CD= —8—c—m———
半径、弦长、弓形的高、
圆心到弦的距离
O
A
C
B
知二求二
D
6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为 ___2__ dm。 ②若水深1dm，则水管截面半径为_8_._5_dm.
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
链接中考
7. 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是
⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、
PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则
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人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
人教版九年级上册数学课件：24.圆的有关性质——弧、弦、圆心角
O·
又 ∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
弧等 弦等 弦等 圆心角等
2、如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的形状，并说明理由；
O
C EF D
A
B
ED C B
O
弧等
圆心角等
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
A
C
∴ AD⌒=BC⌒
∴ AD⌒+A⌒C=B⌒C+⌒AC D
O
B
即 CD⌒=A⌒B
∴ CD=AB
弦等
弧等
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
B
圆心角、所对弦、所对弧 2、三个相等关系：
α
Oα
A
(1) 圆心角相等 知
(2) 弧相等
一 得
A1 B1
圆心角等
(3) 弦相等
二 弧等
弦等
5．练习
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（14）如果 AB=CD，那 OE么⊥AB于E，，OF⊥CD于F，。
（2）O如E果与A⌒OBF=相C⌒D等，吗那？么为A什B=么CD？，
九年级数学人教版(上册)24.1.1圆课件
D
F
O
B
I
E
A
⌒ ⌒ ACD ACF
⌒⌒
AC AE
C
⌒⌒
ADE ADC
⌒
AF
⌒
A
D
课堂小结
课堂小结
1.圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本要素. 2.掌握圆的相关概念： （1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧.
重点： 1.直径是最长的弦！ 2.等圆：两个圆能够完全重合 3.等弧：能够完全重合的弧。（所在的圆的半径相等！） 4.劣弧长度<半圆长度<优弧长度 5.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r） 6.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
Oo rr AA
固定的端点O叫做圆 心 线段OA叫做半径
确定圆心 确定半径大小
以点O为圆心的圆，记“⊙O”， 读作“圆O”．
确定一个圆的 两个要素
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都 AA
作业布置
如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°， ∠D=90°， 点O是AB的中点.
求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的 同一圆上.
A O
C
BDBiblioteka 等于定长（半径r）；r
（2）到定点的距离等于定长的点
都在同一个圆上．
r OO r
BC
CB
判断几个点是否在同一个圆上。
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是: 所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
圆的两种定义
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆课件上册数学课件
答案(dá
答案
àn)
1
2
3
4
5
6
6.
五名小朋友站成一个圆圈(yuánquān),如图,做一个抢小红旗的游戏,把小红旗放在什
么位置上,才能使这个游戏比较公平?说说你的理由.
关闭
把小红旗放在所围成的圆圈的圆心处,才能使这个游戏比较公平.理由如
下:当小红旗位于圆圈的圆心处时,五个小朋友到小红旗的距离相等(都
12/8/2021
第一页，共十四页。
12/8/2021
第二页，共十四页。
12/8/2021
第三页，共十四页。
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形
成的图形叫做
.其固定的端点O
叫做
圆
以点O为圆心的圆
半径,记作
”.
,读作“
☉O
个圆;以O为圆心可以画_____
2圆
.以2
等于该圆圈的半径),这样谁能抢到小红旗,就要看各自的速度了,当然就
比较公平.
12/8/2021
答案
答案
(dá àn)
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
第二十四章 圆。以O为圆心可以画_____
个圆。⑤半径相等的圆是等圆,其中正确的
是
.(填序号)。AB,CD,EF。圆的相关概念的应用(yìngyòng)。【例】 如图,已知AB,CD是☉O的两条直
的半径相等可得OA=OB=OC=OD,由此联想到矩形的判定方法,可得四边形
ADBC是矩形,故而易于说明AD与BC相等且平行.
12/8/2021
第六页，共十四页。
解:如图,连接AC,BD.
因为AB,CD是☉O的两条直径,
人教版九年级数学上册24.1《圆的有关性质》(第1课时)PPT课件
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几
里得给圆下的定义要早很多年． 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获 得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
形叫做圆． 如图,弧有:______________
下图所示，图中有 条直径，
条弦，以A点为一个端点的优
弧有 条，劣弧有
条。
D
F
AO
B
EC
等圆
能够重合的两个圆是等圆。 容易看出：半径相等的两个圆是等圆； 反过来，同圆或等圆的半径相等。
等弧
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
若∠AOB=60°，则
车轮为什么做成圆形的？车轮为什么做成圆形的？
（1）连接圆上任意两点的线段（如图线段AC）叫做弦，
1 圆的有关性质（第1课时）
2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获
得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
4．应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
三、圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． A
固定的端点O叫做圆心
r
O·
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
量一量：圆上任意一点到圆心的距离相等吗？
里得给圆下的定义要早很多年． 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获 得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
形叫做圆． 如图,弧有:______________
下图所示，图中有 条直径，
条弦，以A点为一个端点的优
弧有 条，劣弧有
条。
D
F
AO
B
EC
等圆
能够重合的两个圆是等圆。 容易看出：半径相等的两个圆是等圆； 反过来，同圆或等圆的半径相等。
等弧
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
若∠AOB=60°，则
车轮为什么做成圆形的？车轮为什么做成圆形的？
（1）连接圆上任意两点的线段（如图线段AC）叫做弦，
1 圆的有关性质（第1课时）
2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获
得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
4．应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
三、圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． A
固定的端点O叫做圆心
r
O·
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
量一量：圆上任意一点到圆心的距离相等吗？
第二十四章 圆——九年级上册人教版(2012)数学课后习题精讲课件(共120张PPT).ppt
答案：（1）相离 （2）相切 （3）相交
3.一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 是 25 cm . （1）如果UV 28 cm ，VT 是多少？ （2）如果 UVW 60 ，VT 是多少？
解析：（1）VT UV 2 UT 2 282 252 1409(cm) ； （2）VT 2UT 50 cm .
3
9.如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.求证：AC BD .
证明：过点 O 作OE AB ，垂足为 E，则 AE BE ，CE DE ， AE CE BE DE ，即 AC BD .
10. O 的半径为13 cm ， AB ，CD 是 O 的两条弦， AB//CD ， AB 24 cm ， CD 10 cm .求 AB 和 CD 之间的距离.
（1）8 cm ； （2）10 cm ； （3）12 cm .
答案：（1）点在圆内 （2）点在圆上 （3）点在圆外
2. Rt△ABC 中， C 90 ， AC 3 cm ， BC 4 cm ，判断以点 C 为圆心，下列
r 为半径的 C 与 AB 的位置关系：
（1） r 2 cm （2） r 2.4 cm （3） r 3 cm .
第二十四章 圆
课后习题精讲
九年级上册人教版（2012）
第二十四章
24.1 圆的有关性质
1.求证：直径是圆中最长的弦. 解析：已知：如图所示， O 中 AB 是直径，CD 是弦.
求证： AB CD . 证明：（1）当弦 CD 也是直径时，显然 AB CD . （2）当弦 CD 不是直径时，连接 OC，OD，则OC OD AB . 在△OCD 中， OC OD CD （三角形两边之和大于第三边），即 AB CD . 综上可知 AB CD .
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.
解:如图,连接AC,BD. 因为AB,CD是☉O的两条直径, 所以OA=OB=OC=OD,AB=CD. 所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC,AD∥BC. 点拨同圆中的所有半径相等,因此圆中有直径或半径时,就有相 等的线段和等腰三角形出现,这为问题的解决提供必要条件.事实 上,该例也可利用若两个等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也 相等的特征来说明.
个圆;以O为圆心,以2 cm为半径可以画 1
个圆.
3.连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ,经过圆心的弦叫
做 直径 .圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ,简称 弧 .圆的任
意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做 半圆 .
大于半圆的弧叫做 优弧 ,小于半圆的弧叫做 劣弧 .能够重合的
两个圆叫做 等圆 .在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个
端点A所形成的图形叫做 圆 .其固定的端点O叫做 圆心 ,线
段OA叫做 半径 .以点O为圆心的圆,记作 ☉O ,读作
“ 圆O ”. 2.以2 cm为半径可以画 无数 个圆;以O为圆心可以画_无__数__
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
3.已知圆的半径为3,则弦AB长度的取值范围是
.
0<AB≤6
关闭
答案
1
2
3
4
5
6
4.如图,AB,CD是☉O的弦,OC,OD是☉O的半径,则以A为端点的劣
弧是
;若 ������������ 与 ������������是等弧,则������������=
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
解：每个小圆的面积为 π12a·n12＝π4na22，而大圆的面积为 π12a2＝14πa2，即每个小 圆的面积是大圆的面积的n12.
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
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科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
九年级数学上册教学课件《圆》
弦和直径的定义
C
O
A
B
半径是弦吗？
知识点2
与圆有关的概念
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
C
O
A
B
弧
劣弧与优弧
C
O
A
B
例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的圆上.
பைடு நூலகம்
基础巩固
1.下列说法正确的是( )A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
解：23÷20=1.15(cm)
1.15÷2=0.575(cm)
∴这棵树的半径平均每年增加0.575 cm.
3. △ABC中，∠C=90°.求证。A, B, C三点在同一个圆上.
【教材P81练习 第3题】
证明：作斜边上的中线CD交AB于点D.
∵ CD = AB = BD = AD
∴ A, B, C三点在同一个圆上.
圆的基本概念
圆的定义
与圆有关的概念
形成性定义：
集合性定义：
弦：直径：圆弧（弧）：半圆：等圆、等弧：优弧、劣弧：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等定长r的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
·
r
O
A
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
C
O
A
B
半径是弦吗？
知识点2
与圆有关的概念
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
C
O
A
B
弧
劣弧与优弧
C
O
A
B
例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的圆上.
பைடு நூலகம்
基础巩固
1.下列说法正确的是( )A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
解：23÷20=1.15(cm)
1.15÷2=0.575(cm)
∴这棵树的半径平均每年增加0.575 cm.
3. △ABC中，∠C=90°.求证。A, B, C三点在同一个圆上.
【教材P81练习 第3题】
证明：作斜边上的中线CD交AB于点D.
∵ CD = AB = BD = AD
∴ A, B, C三点在同一个圆上.
圆的基本概念
圆的定义
与圆有关的概念
形成性定义：
集合性定义：
弦：直径：圆弧（弧）：半圆：等圆、等弧：优弧、劣弧：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等定长r的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
·
r
O
A
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．