保险精算学生命表的编制
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
寿险精算
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5
q30 ,5.25 q50，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 q30 UDD 0.5q30
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表： 依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
保险精算 第2章 生命表
4
寿命的分布函数与概率密度
Pr(x 100)
1 Pr(x 100)
1 F(100)
f (x)dx 100
E(X ) xf (x)dx 0
Pr(x X x 1 X x)
Pr(x X x 1 X x) Pr( X x)
Pr( X x 1) Pr( X x) 1 Pr( X x)
E(I j ) 1 s(x) 0 (1 s(x)) s(x), ( j 1, 2,..., l0 )
l0
l0
lx E(Lx ) E( I j ) E(I j ) l0 s(x)
j 1
j 1
27
死亡人数
n Dx l0个零岁新生婴儿在x岁与x n岁之间死亡的人概数率
x dx
0
2
24
Actuarial Science
2.2 生命表
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7
死亡率 q x
生存人数 l x
死亡人数 d x
平均余命
0
ex
生命表各函数间的关系
取整平均余命
随机生存群体与确定生存群体
保险精算
25
年龄 x
lxk lxk lxk m lxk lxkm d m xk
k x m xk lx
lxk
lx
lx
31
应用实例
例 根据美国1979～1981年国民生命表计算 30岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活 过80岁；（2）在5年之内死亡；（3）在60岁 死亡。
解
x
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
保险精算基础 (6)
CL00-03
CL90-93
死亡率(40-59岁)比较
0.014000
0.012000
0.010000
0.008000
0.006000
0.002000
0.000000 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
CL00-03
CL90-93
死亡率(60-79岁)比较
0.090000 0.080000 0.070000 0.060000 0.050000 0.040000 0.030000 0.020000 0.010000 0.000000
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
• 随着人民生活水平、医疗水平的提高和寿
险公司核保技术的不断完善，寿险业被保 险人的死亡率已悄然发生着变化。
• 2005年11月颁布新生命表2000-2003。
• 生命表由原来的6张表改为4张表。
新生命表颁布的意义
• 1.为科学定价奠定了基础 • 2.为科学监督提供了保障 • 3.为推行费率市场化创造了条件
中国第一张经验生命表的编制
• 中国人民保险公司从1992年开始到1995年
制作完成。
• 此次使用了8000742件保单，其中男性占
56.3%，女性占43.7%。
• 此次制作保险险种分布分为三类：养老年
金保险、独生子女及少儿两全保险和子女 教育婚嫁保险、简易人身、福寿安康保险 及地方性两全和定期死亡保险
CL00-03
CL90-93
1.200000
死亡率(80+)比较
保险精算学生命表的编制
q n x
k
d n x
k
lx
T
.
5
T q n x :x
nq
x n岁由所有减因产生的减少概率.
T nq
T x
d n Tx , lx
T x
k n qx .
k 1
m
6
T p n x :x
x n岁保留在原群体中的概率.
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。
分析课本p66,表3-3
选择生命表的基本项目函数
l[ x ] n , d[ x ] n , q[ x ] n , e[ x ] n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ] n l[ x ] n l[ x ] n 1 q[ x ] n d[ x ] n l[ x ] n
0
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]2 ,1 p[30]1.
l[ x]2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x]1
998 994 990 983
3.5.4 选择生命表
在人口分析中，可以按照性别、地区、种族等对人口进行 分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体； 2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。 因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。 结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。
保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。
保险精算第三章2
18/25
[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
83.0208(人)
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
4/25
3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
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学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
2/25
§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.
如果
x
2 2 x 1 100
x
,0
x
100
若 l0 10000 则
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选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。
分析课本p66,表3-3
选择生命表的基本项目函数
l[ x ] n , d[ x ] n , q[ x ] n , e[ x ] n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ] n l[ x ] n l[ x ] n 1 q[ x ] n d[ x ] n l[ x ] n
3.5.2生命表的种类与选用
• 国民生命表：根据全体国民或者特定地区 的人口的死亡统计数据编制的生命表。 • 经验生命表：保险公司 • 基础生命表：人寿保险公司计算保费所使 用的生命表。（终极表） • 年金生命表：根据年金购买者的死亡资料 编制的生命表。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3.5.3 注意事项
• 安全性 • 稳定性 • 合理性
假设同批人生命表： 即把某一时期各个年龄的死亡水平当 作同时出生的一批人在一生中经历各个年龄 时的死亡水平看待，这样编制的生命表称之 为时期生命表或者假设同批人生命表。
1 可以描述某一时期处于不同年龄人群 的死亡水平
2 反映了假定一批人按这一时期各年龄 死亡水平度过一生时的生命过程。
分年龄中心死亡率： 实际中，分年龄死亡率一般不能直接计算出来，通常先计算出 分年龄中心死亡率，然后根据中心死亡率与死亡率的关系，计算出 分年龄死亡率。 设某x岁的死亡人数为Dx，x岁的平均人数为Px，Px是年初x岁人数 与年末x岁人数的平均数，有时也用年总人数代替，则x岁的中心死亡 率m x为： m x Dx Px
第4章 多减因表
在保险精算分析中，研究一批人受多个 因素影响而陆续减少的过程规律，我们 是通过多减因表的形式给出研究方法。
主要研究问题与主要内容
• 研究在职劳动力人数受职工死亡、伤残、离职、 退休等因素影响而逐步减少的规律，它是编制养 老金计划的重要基础； • 研究各种死因使一批被保险人陆续减少的规律， 它是健康保险精算的基础； • 研究一批人受死亡和伤残两个一因素影响的规律， 它是伤残保险的基础； • 对寿险来说，引起合同终止的因素有死亡和退保 两个因素。
以q[ x ] n 表示x岁的人加入保险，经过n年在x n岁的死亡率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 ..... 选择性 经验数据表明：这种选择性随着n的不断增大迅速缩小。一般， 当n 10时，这一差异可以忽略不计。 把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择 效果明显期或者选择期。把依据q[ x ] n编制的生命表称为选择生 命表。 当选择效果消失时，死亡率只与年龄相关，如果选择期为r年， 投保期超过r年同一年龄上的死亡率相同，此时死亡率用qx 表示。 则 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 ... qx .
3.5 生命表的编制
• • • •
生命表编制的一般方法 生命表的种类及其选用 编制生命表的注意事项 选择生命表
3.5.1 生命表编制的一般方法
实际同批人生命表的优缺点的分析： 1 需要纵向跟踪一批人从生到死的全部过 程； 2 不能说明现在在某个时期的死亡水平； 3 很难取得完整的原始资料。 结论：实际中一般不采用这种方法。
0
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]2 ,1 p[30]1.
l[ x]2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x]1
998 994 990 983
• 研究同批人受两个或两个以上因素影响陆 续减少的数学模型就是多减因模型。 • 多减因模型通常以统计表的形式表示，称 为多减因表。 主要内容： 多减因表基本函数 减因力和中心减率 联合单减因表
4.1 多减因表基本函数
多减因表也建立在封闭人口基础之上， 研究一批人受减因力作用影响的减少过程， 没有不断新加入或重新加入的人群。 例子： ■养老金计划多减因表 ■死亡和伤残多减因表
3.5.4 选择生命表
在人口分析中，可以按照性别、地区、种族等对人口进行 分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体； 2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。 因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。 结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。
m x 就是人口统计中的分年龄死亡率。 生命表分年龄中心死亡率定义为生命表分年龄死亡人数在分年龄生存 dx 人数中的比例。以mx 表示之，则mx ， Lx 在假设死亡均匀分布的情况下：qx 2mx 。 2 mx
通常m x与mx非常接近，在实际中常用mx 近似表示mx， 利用上面的关系式，可以根据人口统计中的分年龄死亡 率编制生命表。
m
d
T x
n dx
k 1
k T
lx n d x lx n
lx d x T
y 1 T
T
T
4
q n x :x
k T
x n岁由 k 减因减少概率,也就是 k 减因使 x
k
离开lx 的概率, 当n 1时, 记为qx ,
1 2 3
lx : x岁时，受 1， 2 ，..., m 等m个减因影响的
T
人数,或者说x岁暴露于m个减因下的人数.
k d n x :x T d n x :x
n
x n岁由 k 减因减少的人数, k 1, 2,..., m. x n岁由所有减因减少的总人数.