《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第3节 三向应力状态分析
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材料力学三向应力状态PPT课件
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90 45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
第254页/共72页
CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
1.单向拉伸变形比能：
v
1
2
2
2、微元体变形功
dy
3 dx
CL10TU50
3.最大剪应力理论（第三强度理论）
假设：无论材 料 内 各 点的 应 力 状 态 如何 ， 只 要 有 一点 的 最 大 剪 应力 τ max达到 单 向 拉 伸屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。
屈服破坏条件是：
max s
max
1
2
3
,
s
s 2
用应力表示的屈服破坏条件：
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
求出 x 、 y 、 xy
3
2
1
第21页/共72页
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的 应力圆圆周上各点的坐标。
主单元体：六个平面都是主平面
精品课件-材料力学(张功学)-第9章
9－3）。图9－ 4(a)所示狭长矩形截面梁，当载荷F达到或超过一定数值时， 梁将突然发生翘曲；图9－4(b)所示承受径向外压的圆柱形薄 壳，当外压p达到或超过一定数值时，圆环形截面将突然变为 椭圆形。
第9章 压杆稳定 图9－3
第9章 压杆稳定 图9－4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9－1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9－1 图9－10所示细长圆截面连杆，长度l=800 mm，
直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9－10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆，μ=1。根据欧拉公式， 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9－1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两 端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2 (a)）。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时， 压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2 (b)）；当轴向 压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续 弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破坏。上 述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡 构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平 衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡， 也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临 界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力，并用σcr表示。根据式（9－6），细长压杆临界应力
第9章 压杆稳定 图9－3
第9章 压杆稳定 图9－4
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界载荷
第9章 压杆稳定 表9－1 几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷
第9章 压杆稳定 例9－1 图9－10所示细长圆截面连杆，长度l=800 mm，
直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200 GPa。试计 算该连杆的临界载荷。
图9－10
第9章 压杆稳定
解 该连杆为两端铰支细长压杆，μ=1。根据欧拉公式， 其临界载荷为
第9章 压杆稳定 图9－1
第9章 压杆稳定
对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两 端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微 小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2 (a)）。外 界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时， 压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2 (b)）；当轴向 压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续 弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破坏。上 述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡 构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平 衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平 衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失 稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡， 也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临 界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。
界应力，并用σcr表示。根据式（9－6），细长压杆临界应力
《材料力学 第2版》_顾晓勤第06章第4节 弯曲时的正应力
第 4 节 弯曲时的正应力
纯弯曲的概念
剪切弯曲：弯曲内 力既有弯矩、又有 剪力的弯曲变形称 剪切弯曲（或横力 弯曲）。
纯弯曲：剪力值为 零，弯矩值是一常 数，则内力只有弯 矩而无剪力的弯曲 变形称作纯弯曲。
第六章 梁弯曲时内力和应力
第 4 节 弯曲时的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
一、实验现象及假设
梁表面 mm 、nn 等一组横向直线变形后仍为直 线，并与已变成弧线的 ab 、cd 等一组横向直线 正交，只是相对地转了一个角度。
纵向线变成圆弧线，位于中间位置的纵向线长度 不变，上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长。
变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长 区减小，在纵向线缩短区增大，如图所示 b）。
第 4 节 弯曲时的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
假设
平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。
纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。
中性层：梁在弯曲变形 时，一部分纤维伸长， 一部分纤维缩短，必然 有一部分纤维既不伸长 也不缩短的层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
第 4 节 弯曲时的正应力
二、变形几何关系
bb oo
oo
(
y) d d
d
y
三、物理关系
根据纵向纤维假设，各
纵向“纤维”处于单向受 力状态。当应力不超过材 料的比例极限时，应用胡 克定律可得横截面上距中 性轴为 y 处的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
E
E
第六章 梁弯曲时内力和应力
截面所有微面积上的力对 z 轴的合力矩即为作用在该截 面上的弯矩：
纯弯曲的概念
剪切弯曲：弯曲内 力既有弯矩、又有 剪力的弯曲变形称 剪切弯曲（或横力 弯曲）。
纯弯曲：剪力值为 零，弯矩值是一常 数，则内力只有弯 矩而无剪力的弯曲 变形称作纯弯曲。
第六章 梁弯曲时内力和应力
第 4 节 弯曲时的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
一、实验现象及假设
梁表面 mm 、nn 等一组横向直线变形后仍为直 线，并与已变成弧线的 ab 、cd 等一组横向直线 正交，只是相对地转了一个角度。
纵向线变成圆弧线，位于中间位置的纵向线长度 不变，上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长。
变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长 区减小，在纵向线缩短区增大，如图所示 b）。
第 4 节 弯曲时的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
假设
平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。
纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。
中性层：梁在弯曲变形 时，一部分纤维伸长， 一部分纤维缩短，必然 有一部分纤维既不伸长 也不缩短的层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
第 4 节 弯曲时的正应力
二、变形几何关系
bb oo
oo
(
y) d d
d
y
三、物理关系
根据纵向纤维假设，各
纵向“纤维”处于单向受 力状态。当应力不超过材 料的比例极限时，应用胡 克定律可得横截面上距中 性轴为 y 处的正应力
第六章 梁弯曲时内力和应力
E
E
第六章 梁弯曲时内力和应力
截面所有微面积上的力对 z 轴的合力矩即为作用在该截 面上的弯矩：
材料力学应力分析(共143张PPT)
Mz Wz
17
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
主单元体：在单元体各侧面只有正应力而
无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
约定：
1
12 320
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。
3
一、什么是应力状态？
〔一〕、应力的点的概念:
最大正应力所在的面上切应力一定是零； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 7-2 二向应力状态分析--解析法 面将单元体截为两局部， 并注意到 化简得 三、如何描述一点的应力状态 应力圆上一点( ， ) 7-8 广义胡克定律 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 解: 该单元体有一个主应力 例2：纯剪切状态的主应力 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；
5
F
F
A
F
co2s
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称为
这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
《材料力学 第2版》_顾晓勤第02章 轴向拉伸和压缩第6节 应力集中的概念
第二章 轴向拉伸和压缩
总结
在静载荷作用下，塑性材料对应力集中不敏感，实 际工程计算中可按应力均匀分布计算。
脆性材料因无屈服阶段，当应力集中处的最大应力
max 达到强度极限b时，该处首先产生裂纹。因此
对应力集中十分敏感，必须考虑应力集中的影响。
对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生 应力集中的主要因素，而构件外形改变所引起的应 力集中是次要因素，可以不考虑应力集中的影响。
第 6 节 应力集中的概念
应力集中的程度用理论 应力集中系数表示：
max
式中max 为最大拉应力， 为假设应力均匀分布时
该截面上的名义应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
第 6 节 应力集中的概念
第二章 轴向拉伸和压缩
注意
应力集中系数 值取决于截面的几何形状与尺寸，
截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。 因此，在杆件上应尽量避免带尖角、槽或小孔，在 阶梯轴肩处，过渡圆弧的半径以尽可能大些为好。
第 6 节 应力集中的概念
第二章 轴向拉伸和压缩
应力集中：工程中常在一些构件上钻孔、开槽（如 退刀槽、键槽等）及车削螺纹等，有些则需要制成 阶梯状的，这就引起杆件横截面尺寸的突变。研究 表明，杆在轴向拉伸时，在杆件截面突变处附近的 小范围内，应力的数值急剧增大；而离开这个区域 稍远处，应力就大为降低。并趋于均匀分布，这种 现象称为应力集中。
继续增大，则该处相邻
的材料将进入屈服阶段
而停止增长。增大的载
荷由截面上尚未屈服的
材料来承担，使截面1-1 上材料的屈服区域将随 载荷的不断增大而扩大(图b)，直至截面 1-1 上各点处 的应力都达到屈服极限(图c)。因此，塑性材料可使截 面上的应力逐渐趋于平均，降低应力不均匀程度。
六、 材料力学应力状态分析(2)
(MPa)
τ σ
（0，-100）
tmax
（300，100）
τmax = 180MPa；
Hale Waihona Puke σOσσ三向应力状态 特例分析
作为三向应力状态的特例,平面应力状态特点：
σ =0 σ、σ 、σ σ1 、σ 2、σ3
广义胡克定律
1、胡克定律、横向变形与泊松比
y
sx x = ; E sx y = x = ； E — 泊松比
tmax
（-300，50）
300
(MPa)
τ
σ
σ
（-200，-50）
σ
O
σ
三向应力状态 特例分析
例3、如图平面应力状态，求： 主应力s1、s2 、 s3和最大切 应力tmax。
300 100
解：如图作应力圆 Ｒ＝180MPa； s1 = 330MPa； s2 = 0； s3 = -30MPa；
A
2、平衡方法是分析一点处应 力状态最重要、最基本的方法
A
论证A－A截面上 必然存在切应力，而 且是非均匀分布的； 怎样证明A－A截 面上各点的应力状态 不会完全相同。
结论与讨论
A
ζ
ζ η
A
关于A点的应力状态有多种答 案、请用平衡的概念分析哪 一种是正确的。
η
η
ζ
结论与讨论
3、怎样将应力圆作为一 种分析问题的重要 手段，求解较为复杂的 应力状态问题
P
x =
由变形方程： x =
1 [s x (s y s z )] = 0； E s x = s z = 0.3( 60) = 18 MPa
P σx σy
所以铅块主应力为: ζ1 = 0；ζ2 = -18MPa; ζ3 = -60MPa;
《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x
材料力学——应力分析【可修改】.ppt
（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
精选
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
x
在坐标系内画出点A( x，
xy)和B(y，yx)
2a C
A(
x
,
a
xy)
AB与a 轴的交点C便是
圆心。
O
以C为圆心，以AC为
B( y ,yx)
半径画圆——应力圆；
精选
y
n 三、单元体与应力圆的对应关系
面上的应力( ， )
a xy x 应力圆上一点( ， )
y
面的法线 应力圆的半径
Oa n D(xa , a)
所在的平面)垂直的
1
斜截面上的应力。
3
精选
2
3
1
2
用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。
2
3
3
1
1
1
3
2
3
2
精选
主应力 3 所在的两平面上是一对
自相平衡的力， 因而该斜面上的
3
应力, 与 3无关, 只由主应力
1
1 , 2 决定。
3 2
与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由
精选
应力的点的概念与面的概念
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2、一点处的最大切应力
取平行于一个主应力3 的任一斜截面 m-m，用
截面法研究其左边部分，根据平衡条件可得：
x 1, y 2, x 0122sin 2
第 3 节 三向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
当
1
2
2
sin 2
450 时，切应力为最大，记作
12
1
2
2
同理，可得到平行于1和2 的两组截面上的正
第 3 节 三向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
复杂应力状态下一点处的最大应力 1、一点处的最大正应力
设一点处的主应力单元体如图 a 所示，研究证
明，当主应力按 1 2 3 排列时，则有
max 1
min 3
第 3 节 三向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
号极值切应力分别为：
23
2
3
2
31
1
3
2
因 1 2 3，显然 12、23、31 三个极值切
应力中，31为最大，即
max
1
2
3