高考数学专题复习：分类讨论思想

当 <x 1<x 2<+∞时，
，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，
即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（ ，+∞）单调递增 . （ 2）因为 0<x≤１，由（ 1）的结论，
当 0< ≤１即 a≥１时， g(a)=f( )=2- ;
当 >1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a
的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果
.
2．分类的原则
（ 1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论， 即认识为什么要分类讨论， 又从几方面开
始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论
.这就要求我们准确掌握
所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面 .函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大
综上，所求的函数 y=g(a) ＝
.
【变式 2】 求函数
解析：
令
，则
(1)当 0＜ a≤１时，
在
上的值域 .
∵ 0≤x≤，ａ∴ f ′(x) ≥只0有( a=1 且 x=1 时 f ′(x)=0)
∴ f(x) 在 [0,a] 上单增，从而 (2)当 a>1 时，
，值域为
；
∵ 0≤x≤，ａ∴ f(x) 在
或
时，
.
； ；
【变式 2】 解关于 的不等式 : 解析：
（ 1）当
时，不等式为
, 解集为
（ 2）当
时，需要对方程
.
； 的根的情况进行讨论：
①
即
时，方程
有两根
.
则原不等式的解为
.
②
即
时，方程
没有实根，
此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为
.
③
即
时，方程
有两相等实根为
，
则原不等式的解为
（ 3）当
时，
与 bn 的大小，并说
明理由 .
解析：
(Ⅰ )由题设
2a3=a1+a2，即
2a1q
2
=a
1+a1q,
∵a1≠０，∴ 2q2 -q-1=0，
∴
或
，
(Ⅱ )若 q=1 ，则 当 n≥２时，
若
当 n≥２时， 故对于 n∈N +，当 2≤n≤９时， Sn>bn；当 n=10 时， Sn=bn；当 n≥11时， Sn<b n.
（ 1）依题意：
，
∴ ∴ ∴数列
， 是首项为 1，公差为 5 的等差数列。
（ 2）
，
（ 3）令
，
则当
时，函数
单调递减；
当
时，函数
单调递增；
又因
，
而
，
所以当 n=2 时，数列 an 存在最小值，其最小值为－ 18。
类型四：解析几何
5、已知椭圆 C 的方程为
，点 P（ a,b）的坐标满足
P 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，求： （ 1）点 Q 的轨迹方程 . （ 2）点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数 . 思路点拨： 本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识 解析： （ 1）设点 A ， B 的坐标为（ x1， y1），（ x 2， y2），点 Q 的坐标为 Q（ x,y ） . 当 x1≠ｘ2 时，可设直线 l ： y=k(x-a)+b
第一，明确讨论对象，确定对象的范围； 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论 .
4. 分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集 . 第二，按参数分类的结果要分类给出 . 第三， 分类讨论是一种重要的解题策略，
能，应尽量避 免分类 .
明:
.
解析：
（ 1）当 q=1 时，Sn=na1，从而
，
（ 2）当 q≠１时，
， 从而
由（ 1）（ 2）得 :
.
∵ 函数
为单调递减函数 .
∴
∴
.
【变式 3】 已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且 a1， a3， a2 成等差数列 .
(Ⅰ )求 q 的值；
(Ⅱ )设 {b n} 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n≥２时，比较 Sn
an=Sn-Sn-1
=a
1·qn-1
n-2
-a1·q
n-2
=a1·q
(q-1)
此时
∴ q>1 时，
，
0<q<1 时，
.
总结升华： 等比数列前 n 项和公式分 q=1 或 q≠１两种情况进行讨论 .
举一反三：
【变式
1】 求数列：
1，
a+a2,a2+a
3 43
+a ,a +a
45
+a +a
6
,
……（其中
高考冲刺：分类讨论思想
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升
热点分析
高考动向
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一
.突出
考查学生思维的严谨性和周密性， 以及认识问题的全面性和深刻性， 提高学生分析问题， 解
决问题的能力，能体现 “着重考查数学能力 ”的要求 .因此分类讨论是历年数学高考的重点与
与 的大小，并证明你的结论 .
解析： 设等比数列 {S n} 的公比为 q，则 q>0 ① q=1 时， Sn=S1=a1
当 n=1 时，
， a2=0，∴
，即
当 n≥２时， an=Sn-Sn-1 =a1-a1=0，
(2)q
≠１时，
Sn=S1·qn-1
n-1
=a1·q
当 n=1 时，
，即
∴
，即
.
当 n≥２时，
上的最小值 .
的定义域为（ 0， +∞）
对
求导数，得
解不等式
，得 0＜ x＜ e
解不等式
，得 x＞ e
故
在（ 0， e）上单调递增，在（ e，+∞）上单调递减
（ 2）①当 2a≤ｅ时，即
时，由（ 1）知
在（ 0， e）上单调递增，
所以 ②当 a≥ｅ时，由（ 1）知
在（ e， +∞）上单调递减，
所以
的图象经过点 (-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞）上恒
解析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则
，
整理得：
题意；
(1)当
时，则
(2)当
，则
，解得
或 ，此时 x∈(-1 ，+∞）时， f(x)>3 ，不满足
，此时， x∈ (-1， +∞）时，
即 f(x)<3 ，满足题意为所求 .
热点 .而且也是高考的一个难点 .
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分， 它不仅形式多样， 而且具有很强的综合性和逻
辑性 .
知识升华
1．分类讨论的常见情形
（ 1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有
不同结论，则必
须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等
综上，
.
【变式 2】已知函数 解析：
有最大值 2，求实数 的取值 .
令
，则
(
).
(1)当
即
时，
，
解得 :
或
（舍）；
(2)当
即
时，
,
解得 :
或
（舍）；
(3) 当 （全都舍去） .
即
时，
，解得
综上，当
或
时，能使函数
的最大值为 2.
3、已知函数
（
）.
（ 1）讨论
的单调性；
（ 2）求 解析： （ 1）函数
在区间
∴
.
举一反三： 【变式 1】 解关于 的不等式 : 解析： 原不等式可分解因式为 : （下面按两个根 与 的大小关系分类）
（
）.
，
（ 1）当
，即
或
时，不等式为
或
，不等式的解集
为：
；
（ 1）当
，即
时，不等式的解集为：
（ 2）当
，即
或
综上所述，原不等式的解集为：
时，不等式的解集为：
当
或
时，
；
当
时，
；
当
恒成立，
即
时，方程
. 有两根
. 此时，为开口向下的抛物线，
故原不等式的解集为
.
综上所述，原不等式的解集为：
当
时，解集为
当
时，解集为
当
时，解集为
； ；
；
当
时，解集为
类型二：函数中的分类讨论
2、设 为实数，记函数
（Ⅰ）设
，求 的取值范围，并把
（Ⅱ）求
；
.
的最大值为
，
表示为 的函数
；
（Ⅲ）试求满足 解析：
（ 2）记 f(x) 在 0<x≤１上的最小值为 解析： （ 1）设 0<x 1<x 2<+∞
g(a)，求 y=g(a) 的解析式 .
则 f(x 2)-f(x 1)=
由题设 x 2-x 1>0 ，ax1·x 2>0 ∴当 0<x 1<x2 ≤ 时，