反比例函数的图象和性质
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图像和性质
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数图像及其性质
易加益教育培训中心——溧阳校区 小学、初中创新教育专家反比例函数图像及其性质一、函数定义一般的，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 xk y (k 为常数，k ≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是自变量x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数，且y 也不能等于0。
k 大于0时，图像在一、三象限。
k 小于0时，图像在二、四象限。
k 的绝对值表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积。
二、函数的性质1、单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，从左往右，y 随x 的增大而减小，为减函数； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，从左往右，y 随x 的增大而增大，为增函数。
2、相交性因为y=k/x(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
3、图像表达⑴ 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴：y=x 和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
⑵ 反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交的渐近线为：x 轴与y 轴。
⑶ k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
⑷ |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
三、重点知识⑴ 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
⑵ 对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/（x ±m ），m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）四、反比例函数图像。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数图象和性质
对称性
反比例函数的图象关于原点对称，即 如果点 (x, y) 在图象上，那么点 (-x, y) 也在图象上。利用这一性质，可以 更快地描出图象。
图象特点总结
图象形状
反比例函数的图象是一条双 曲线，且以原点为中心对称 。
渐近线
当 x 趋向于正无穷或负无穷 时，y 趋向于 0。因此，x 轴和 y 轴是反比例函数的渐 近线。
在生物学领域，反比例 关系可以描述生物体内 部某些生理过程之间的 平衡关系。例如，在生 态系统中，捕食者和猎 物之间的数量关系可能
呈现出反比例关系。
THANK YOU
解析法
对于反比例函数f(x)=k/x (k≠0)，可以通过求导来判断其增减性。当k>0时，f'(x)=-k/x^2<0，函数在定义域内 单调递减；当k<0时，f'(x)=-k/x^2>0，函数在定义域内单调递增。
对称性表现形式
中心对称性
反比例函数的图象关于原点对称。即对于任意一点(x,y)在反比例函数的图象上， 其关于原点的对称点(-x,-y)也在反比例函数的图象上。
06
函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。
02
反比例函数图象绘制
列表法绘制步骤
确定函数表达式
列表取值
首先确定反比例函数的表达式 y = k/x (k ≠ 0)。
在自变量 x 的取值范围内，选取一些具有 代表性的点，计算对应的函数值 y。
绘制坐标点
连线成图
在坐标系中，将选取的点用坐标 (x, y) 表示 出来。
变速直线运动
在某些变速直线运动中，速度与时间的关系也可以近似为反 比例关系。此时，可以利用反比例函数来分析和求解相关问 题。
反比例函数的图像和性质ppt课件
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17．1．2反比例函数的图象和性质（2）
教学过程
此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。
例2． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围
分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式x
y 2-=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一
次函数解析式y ＝－x －1，第（2）问根据图象可得
x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因为比较两
个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
例3：已知变量y 与x 成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y 与x 之间的函数解析式和自变量的取值范围。
分析：要确定一个反比例函数x
k y =的解析式，只需求出比例系数k 。
如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。
例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过
电流的强度为I(A)。
（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A ，求I 关于R 的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？
（2）在电压U 保持不变的前提下，电流强度I 与电阻R 成哪种函数关系？
（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？
先让学生尝试练习，后师生一起点评。
第三步：随堂练习：
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度p 成反比例。
且V=5m3时，p=1．98kg ／m3
（1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
2、已知反比例函数y=k/x （k ≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y 的值。
3、 已知y －2与x+a （其中a 为常数）成正比例关系，且图像过点A （0，
4）、B （－1，2），求y 与x 的函数关系式
4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y =x
k （1） k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两
个交点？
( 2 ) 如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。
第四步：课后练习
1．已知反比例函数x
k y 12+=的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式
2．已知一次函数b kx y +=的图像与反比例
函数x
y 8-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2 ，
求（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB 的面积。