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第十二章第一节多元函数微分学要点

一、偏导数与全微分要点

1、2/3,兀2,…凡)关于兀的偏导数求法：只须将除了兀以外的自变量都看成常量，对于“ =/(x p x2,---,xj关于兀•用一元函数求导法。

2、可偏导与连续互无关系

(1)可偏导但不连续的例子：

例1、/'(X, y) = f'U 力—在do,儿)点处。

解：冬(x°,y°)=lim d+兀北)—'％』。)“,同理各(心儿)=0,但函数在OX 5 x (兀0*0)极限不存在,当然不连续。

,, “，(兀,刃工(0,0),亠.

例2、/(x,y)= x2 + / 在(0,0)点。

O,(x,y) = (O,O),

^°2_o

解：型(0,0)= lim — = 0,同理型(0,0) = 0,但/在(0,0)点不连续。dx so Ar dy

(2)连续但不可偏导的例子：

卜|,兀=0(即在y轴上),

例3、f(x, y)=卜|, y = 0(即在x轴上)，在(0, 0)点处。

0,其它，

解：因为|/(x,y)|j，故/在(0,0)点连续。又因为/(0,刃=卜|,/(兀,0)=卜|，/(0,)，)在y = 0处不可导‘ f(x,O)在x = 0处不可导, 故/(兀,歹)在(0,0)点不可偏导。

3、可微与全微分

⑴、Z = f(x, y)在(兀0,儿)可微等价于存在与Oo,儿)无关的A，B使得

z = /(%()+ 兀,〉'()+ 刃一/(兀()』())=4 兀+ B y + o(J x2 +)，),

其中oJ F + ■/ 可换为o(| x| + | y|)或刍X + 02

(2)、于(兀，刃在(兀0，儿)可微

a): /(x, y)在 So,儿)连续， a

y 0)可偏导，且A 二?(兀0，儿),3 = %(观』0)

ox dx

(2)、可偏导未必可微：反例为 例 1、/ (x,刃=■ 777"工 在(o,o )点。

0,(x, y) = (0,0), .. = 0或y = 0,亠 / 、［

例 2、/(“)=；甘宀 7

'在(0,0)点。

0,具匕, U

(3) 、连续且可偏导不能导出可微，反例为 例1、2 =心刃=洞,在(0,0)点。 解：人(0,0)=向/(兀°)一/(°'°)=0,同理人(0,0) = 0.

XT () X 由 0 S /(x,y) < 血日 ,2)可知 /(X,y)在(0,0)点连续。

I r , (%, y) h (0,0), 例 2、z =

J/ + y2 在(0,0)点。

0,(兀，刃= (0,0),

解:易见£ (0,0) = 0 = f x (0,0),在极坐标F ••

lim f (x, y) = lim /(r cos 0. r sin 0) = lim r cos sin = 0 ,故 f(x, y)在(0,0)

(儿 y )T(0・0)

—0

r->0

可偏导月.连续。但是

Az - A\x - B\y =—严A 〉°在(心,Ay) = (0,0)点处极限不存在,故不可微。

Ar +4r (4) 若偏导数都连续，则必可微。

注：判断一个函数Z = f(x,y)在(兀0，儿)处可微的原则与主要步骤如下： (i) 若函数z = /(%,刃在(兀,y°)处不连续或不可偏导(即至少冇一个偏

导数不存在)，则函数在(x°,y 。)处必不可微;

(ii)

若函数z = /(x, y)在(兀,儿)处连续且可偏导，则考察如下的

又因为- A Ax - B\y = J|Axz\y ,月

故不可微。

lim (x 、

不存

/Uo+心,儿+心）一 /Oo,儿）一 £（% 儿）心 一 f y Gw 。）®

极限为o 则可微; 其他情形则不可微。

3 3 / 2

2

例3、设/（兀,刃=兀歹丫兀:（（兀,刃工（0,0））,于（0,0） = 0,试问/在（0,0）处可

X + y

微否？

当gm 妙与0同向时，方向导数达到最大，反向时最小，而垂直时为0。 当n = 2时，在同样的条件下，

2 = gradf - v = —COS6Z + —sincif.其屮Q 是0与x 轴正向的夹角。 dv dx dy

（2）对于分段函数的分段点，一定要用定义來求方向导数，即

对于〃元函数Z = /（X P X 2,•••,%…）在兀=（兀1，兀2,…忑）点处为 /(兀]+ t COS ，兀2 + f COS

•••，£+( COS

一 f (x [,兀2厂• •，£)

lim

A YT O

解：rti 基木不等式有,

X 4

+ y 6

=-(x 4

+x 4

+x 4

) + —(y 6

+ y 6

) >5- 3 2

<

--------- X

jF + b TO (H (O ,O )), 极限为0.

lim f(x,y) = 0・£(0,0) = 0 =厶(0,0). y-»() lim

Ax->() Av->0

/(O + Ax,O + Ay)-/(0,0) — f x (0,0) Ar - f y (0,0) Ay

7 Ar 2 + A>,2

=肥證厂。叫

Ay-＞0

丿

Ax 3 Ay 3

Ar 4 + Ay 6 ^/3322

3 < -——|ArA 沖 t 0((Ar, Ay) T (0,0)).)

故该函数在（0,（））点可微。 二、方向导数的要点

（1 ）对于z = / （西,兀2，…，兀』有 偏导数连续=＞可微=＞方向导数处处存在，且dv

其中e 是0与兀•轴正向的夹角。

<=l lm dv —o+

=gradf • v =