数学建模数学模型作业题

一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格1k y +由第1k +和k 时段的数量1k x +和k x 决定，如果设

1k x +仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。 （2）若除了1k y +由1k x +和k x 决定之外，

1k x +也由前两个时段的价格k y 和1k y -确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，设1k y +由1k x +和k x 的平均值决定，即二者平均值

2

1k

k x x ++，模型为： 110

0100(),02(),0

k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++⎧

-=-->⎪⎨

⎪-=->⎩ 由此可以得到 22022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+， 其特征方程为 022=++αβαβλλ，

得出其特征根： 4

8--2

2,1αβ

αβαβλ）（±=

*

当8>αβ时，有： 4

-48---2

2αβ

αβαβαβλ<=）（ 由以上可算出： 2

2,1αβ

λ=

即：2<αβ

所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2αβ<。 （2）设k x 也由k y 和1k y -的平均值决定，模型为：

1100110

0(),02

(),02

k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++⎧

-=-->⎪⎪⎨

+⎪-=->⎪⎩

得32142k k k k x x x x c αβαβαβ++++++=，c 由00,,x ,y αβ决定，其特征方程为

04

2

4

23=+

+

+

αβ

λαβ

λαβ

λ，该方程所有特征根1λ<的条件（即平衡点稳定的条

件）仍为2αβ<。

二、在7.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从log istic 规律，而单位时间捕捞量为常数h （1）{

（2）

分别就/4,/4,/4h rN h rN h rN ><=这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点

极其稳定状况。

（3）如何获得最大持续产量，其结果与17.1节的产量模型有何不同？

解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()x t ，则由题设条件知：()x t 变化的模型为：

()(1)dx t x

rx h dt N

=-- 即()(1)x

F x rx h N

=--

（1）讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：

由()0F x =，得(1)0x

rx h N

--=

即20r

x rx h N

-+= （1）

?

244()rh h

r r r N N

∆=-=-

可以解得（1）：

1,2x =

①当/4h rN >，0∆<，（1）无实根，此时无平衡点； ②当/4h rN <，0∆>，得到两个平衡点：

1x =

2x = 可以知道：当12N

x <

时，'1()0F x >； 当22N

x >时，'2()0F x <；

∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定。

③当/4h rN =，0∆=，（1）有两个相等的实根，平衡点为：

02

N x =

''

02()(1),()0x rx rx F x r r F x N N N

=--=-=

所以不能断定其稳定性。

当0x x >及0x x <均有()(1)04

x rN F x rx N =--<,即0dx

dt <，0x ∴不稳定。

（2）最大持续产量的数学模型为：max ..F(x)

0h

s t ⎧⎨=⎩

即max (1)x h rx N

=-

,可以得到*0

2N x =,此时4rN h =，但是*02N x =这个平衡点不稳定。这是与17.1节的产量模型的不同之处。

要获得最大产量，应使渔场鱼量2

N

x >,切尽量接近2N ，但不能等于2N 。

{

三、与log istic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Compertz 模型：

()ln

N

x t rx x

=，其中r 和N 的意义与log istic 模型相同。 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h Ex =，讨论渔

场鱼量的平均平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x 。 解：()x t 变化规律的数学模型为：

()ln dx t N

rx Ex dt x

=- 即()ln N

F x rx Ex x

=-

（1）令()0,F x =得 ln 0N

rx Ex x

-= 12,0E r x Ne x -∴==

∴平衡点为12,x x ，又

'''12()ln

,()0,()N

F x r r E F x r F x x

=--=-<=∞ ∴平衡点1x 是稳定的，而平衡点2x 不稳定。

（2）<

（3）最大持续产量的数学模型为：max ..ln 0,0h Ex N

s t rx Ex x x =⎧⎪

⎨-=≠⎪⎩