苏教版数学高三-高一数学北师大版必修一第三章1 正整数指数函数 教案
高中数学 3.3指数函数概念与性质1教学案 北师大版必修1
5.函数 的定义域为.
四课后反思
五课后巩固练习
1.求函数y= 的定义域.
2.探究：在[m，n]上， 值域？
教学过程
一自主学习
1.一般地，函数 （ ＞0且 ≠1）叫做，其中 是自变量，函数的定义域为。
2
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过点（），即x=0时y=1
(4)在R上是
(4)在R上是
二师生互动
例1函数 （ ）的图象过点 ，求 , , 的值.
例2比较下列各组中两个值的大小：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
练1.已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1） ；（2） .
练2.比较大小：
（1） ；
（2） , .
三巩固练习
1.函数 是指数函数，则 的值为
A. 1 B.2 C. 1或2 D.任意值
2.函数f(x)= (a>0,a≠1)的图象恒过定点（）.
A. B.
C. D.
3.指数函数① ，② 满足不等式 ，则它们的图象是（）.
教案、学案用纸指数函数概念与性质
年级高一
学科数学
课题
指数函数概念与性质
授课时间
撰写人
学习重点
指数函数的概念和性质及其应用
学习难点
指数函数性质的归纳，概括及其应用
学习目标
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
高中数学3.1正整数指数函数导学案北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：3.1正整数指数函数【学习目标】1.知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；2 .过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊T一般T特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
3 .情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
【学习难点】函正整数指数数图像的特征。
【使用说明与学法指导】1. 通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2. 用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个,，，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：2. 某种商品的价格从今年起每年降低15%设原来的’价格为1, x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为_________________ ;3. 正整数指数函数的概念：一般地，函数________________________________ 叫作正整数指数函数，其中___________ 是自变量，定义域是__________________________ .说明：1 •正整数指数函数的图像是_______________ ,这是因为______________________ .【合作探究】1.判断下列函数是否为正整数指数:网数.⑴尸歹0<EN+)(2)尸了—盟”⑶尸2X爭据EN+)(4)尸症咨T+)(通过练习，让同学们巩固所学的概念)2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低y随经过年数变化的函数关系式。
P%,写出成本3.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1 %,(A)6 次(B)7 次(C)8 次(D)9 次【巩固提高】1.某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为增长5 %，经过x年，森林面积为yhm2。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 正整数指数函数》优质课教案_4
2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．[基础·初探]教材整理1根式阅读教材P48～P51“例1”以上部分，完成下列问题．1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示x ＝⎩⎪⎨⎪⎧n a ，n 为奇数，±n a ，(a ＞0)，n为偶数.(3)根式2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝a .(2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n ＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n 没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n ＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 分数指数幂阅读教材P 50例1以下～P 51“指数幂的运算性质”部分，完成下列问题． 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4)332＝________；(5)m －35＝________.【答案】 (1)352 (2)223 (3)2－35 (4)33 (5)15m 3教材整理3 有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂阅读教材P 51“指数幂的运算性质”至P 53“思考”，完成下列问题． 1．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23＝________. 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23 ＝2×(－3)×(－4)a 14－12＋14b 13＋23＋23＝24b 53.【答案】24b 53[小组合作型](1)5(－2)5； (2)4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)(x －y )2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5(－2)5＝－2. (2)∵3－π<0，∴4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32. (3)(x －y )2＝|x －y |＝⎩⎨⎧x －y ，x ≥yy －x ，x <y .(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.当－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎨⎧－2x －2，－3<x <1－4，1≤x <3.1．正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝________.【解析】 3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝(2－1)2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3) (b >0)．【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝＝a 34.(2)原式＝＝(3)原式＝1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a mn 的两点说明： (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题] 2.化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1D ．x 2【解析】x ·3x 2x ·6x ＝x 12·x 23x ·x 16＝x 12＋23－1－16＝x 0＝1.故选C. 【答案】 C(1)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－870＋[](－2)3－43＋16－0.75； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12× (a >0，b >0)．【精彩点拨】指数幂的运算性质化简求值根式与分数指数幂的互化【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：＋(1.5)－2________.【导学号：97030075】【解析】 原式＝＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.【答案】 12[探究共研型]探究1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.探究2 已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？ 【提示】 设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2.已知＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】(1)将＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知＝5，则＝________.【解析】因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3.【答案】 31．下列运算结果中，正确的是()A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A.【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710【解析】 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 【答案】 D4．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.【答案】 －45．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3aa 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果为分数指数幂).【导学号：97030076】【解】 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a . (2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23 ＝2x 14＋14＋12y －13＋23＝2xy 13.。
北师大版必修一3.1《正整数指数函数》word教案1
《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x > ②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
正整数指数函数 教案
正整数指数函数 教案一、 教学内容的分析1.教材所处的地位和作用本节课是北师大版教材必修一第三章第一节第一课时（3.1.1）《正整数指数函数》，是在学习了“正整数指数幂”、“函数的概念”的基础上展开的，学生已有了大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。
本节课还为后续学习“指数函数”和“数列”作铺垫，在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是对学生进行情感价值观教育的好素材。
2.学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为本节课的学习打好了基础。
但应用函数的思想解决实际问题的能力还很弱，所以应二、教法学法分析1.教法分析结合学情及知识特点，进一步落实数学学科核心素养，本节课我采用设问--合作--讨论式教学方法，配合多媒体等辅助教学，在知识的生成和应用（一）情景引入、复习导入指数爆炸一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。
再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。
以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。
教师引入事例，激发学生学习的兴趣。
探究1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂次数n与得到的细胞个数y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.〈三〉知识应用、巩圄提高例1某地现有森林面积为1000h m z，每年增长5%.经过x (xεN ＋）年，森林面积为y h m 2写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y = 1000(1 + 5%）正（x EN +) 经过5年，森林的面积为1000(1十5%)5二1276.28(hm 2).（答略〉例2已知锚经过100年剩留原来质量的95.76 % 设质量为1的错经过x年后的剩留量为y，求y关于x的函数解析式．解：设经过1年，锚剩留原来质量的a%则y ＝（孟）正，问＋）fo 寸I F、J AY AV －∞ 飞飞Ill－lJ G －m ／F『Ill－－今．（． …一···一二＝0.9576100.1 100’ • •• y = 0.9576100, (x EN +) （答略）（四）课堂小结、反思提高1，正整数指数函数的定义、图像特征。
高中数学 3.1 正整数指数函数导学案 北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：3.1 正整数指数函数【学习目标】1. 知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；２．过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
【学习难点】函正整数指数数图像的特征。
【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：（通过练习，让同学们巩固所学的概念）2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y 随经过年数变化的函数关系式。
3. 抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )(A)6次 (B)7次 ( C)8次 (D)9次【巩固提高】1. 某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为1000hm2,每年增长5％，经过x年，森林面积为yhm2。
(1)写出x,y间的函数关系式;(2)求出经过5年后，森林面积;2. 高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?3.:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?。
苏教版高中数学必修一第三章指数函数教学设计
即：1.情景设置，形成概念2.发现问题，深化概念3.深入探究图像，加深理解性质4.强化训练，落实掌握5.小结归纳6.布置作业（一）情景设置，形成概念1、引例：折纸问题：让学生动手折纸问题1：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间有什么关系？（2x y =）②记折前纸张面积为1，对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间有什么关系？（1()2x y =）问题2： ①x y 2=、1()2x y =及0.999879x y =这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x y a =的形式。
自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数）2、形成概念：（1）定义：形如x y a =（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。
问题3：一个新的数学概念的引入，一定要有研究的价值和意义。
此定义中，你觉得对底数a 有何要求？为什么？3．发现问题、深化概念例1：判断下列函数是否为指数函数，为什么？1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=(-3)x 4) ｙ=31+x ，5）(1)x y a =+ 例2： 1）若函数ｙ=(2a -3a+3) a x是指数函数，求a 值。
2）指数函数f(x)= a x （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。
（待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程））（二）深入研究图像，加深理解性质问题4：指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，也是很重要的初等函数。
我们应研究指数函数的哪些性质？又该如何研究呢？（图象——性质，具体——一般）学生操作： 操作一：利用描点法作函数2xy =与1()2x y =的图象； 操作二：利用描点法作函数3x y =与1()3x y =的图象； 问题5：（1）指数函数2x y =与1()2x y =的图象有何关系？函数3x y =与1()3x y =的图象有何关系？你能得到一般性结论吗？（2）指数函数2x y =、1()2x y =、3x y =、1()3x y =的图象有何有什么共同特征？又有什么区别呢？你能得到一般性结论吗？（学生观察图象得出结论）操作三：（借助几何画板演示）函数x y a =当1>a 和10<<a 时的若干个图象，请同学们观察，（1）当5.1=a ，2=a ，3=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？（2）当8.0=a ，5.0=a ，3.0=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？请你概括一下对数函数应具有什么性质。
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正整数指数函数
[学习目标]
1、知识与技能
（1）结合实例,了解正整数指数函数的概念．
（2）能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．
2、过程与方法
（1）借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法．
（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．
3、情感．态度与价值观
通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．
[学习重点]:正整数指数函数的定义．
[学习难点]：正整数指数函数的解析式的确定．
[学习教具]：直尺、多媒体
[学习方法]：学生观察、思考、探究．
[学习过程]
【新课导入】
[互动过程1]
问题1．某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…
一直分裂下去．
（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,
得到的细胞个数;
分裂次数
细胞个数
（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n（n∈N+）与得到的细胞
个数y之间的关系;
（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用
科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数?
细胞个数y随着分裂次数n发生怎样变化?你从哪里看出?
小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是___________数,而且___________是变量,取值为________数．细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为_______________细胞个数y随着分裂次数n的增多而逐渐___________．
[互动过程2]
问题2．某种商品的价格从今年起每年降15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为：
其图像如何呢？
[互动过程3] 上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?
正整数指数函数的定义:
一般地,函数_____________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是________________________．
说明: 1．正整数指数函数的图像是_____________,这是因为___________________．
2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．
例题1 :某地现有森林面积为10002
hm ,每年增长5%,经过x （x ∈N+）年,森林面积为y 2hm ．写出x ,y 间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．
分析:要得到x ,y 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x ,y 间的函数关系式．
解:
００.０.０.０.
例题2 ：高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?
练习：
1. 某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?
2.抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )
A.6次
B.7次
C.8次
D.9次
3.下面给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )
(A)y=1.2x(x∈N+)
(B) y=3x(x∈N+)
(C) y=0.999x(x∈N+)
(D) y=πx (x∈N+)
注意：
正整数指数函数y=a x
（1）x是________________________，定义域是________________________
（2）规定底数________________________
判一判
判断下列函数是否为正整数指数函数
(1) y=3x (x∈N+)
(2) y=3－x (x∈N+)
(3) y=2×3x(x∈N+)
(4) y=x3(x∈N+)
练一练
作出函数图像
（1）y=3x
(2) y=(1/2)x
性质小结：
⏹当_______________________时是单调递增函数
⏹当_______________________时是单调递减函数
作业：
一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y随经过年数变化的函数关系式。