2015中考数学复习《探究抛物线中特定三角形的存在性问题》
初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)
特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。
中考数学复习《探究抛物线中特定三角形的存在性问题》
探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点．解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略．一、抛物线中等腰三角形的存在性例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点坐标为A （－2，0）．(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求C 点坐标，连结AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)易得抛物线解析式为配方得，y ＝()2125344x --+， 所以对称轴方程为x ＝3；(2)在213442y x x =-++中，令x ＝0， 则y ＝4，所以点C(0，4).令y ＝0，则2134042x x -++= 解得x 1＝8，x 2＝－2，∴A （－2，0），B(8，0).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC 的解析式为142y x =-+； (3) △AOC ∽△COB ．理由：在△AOC 与△COB 中∵OA ＝2，OC ＝4，OB ＝8，∴2141,4282OA OC OC OB ==== ∴OA OC OC OB =．又∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB；(4)因为抛物线的对称轴方程为x＝3，Q点在对称轴x＝3上，如图2．点评本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想．二、抛物线中的直角三角形的存在性例2（广州市中考题）如图3，抛物线y＝－38x2－34x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式．解 (1)A（－4，0），B(2，0)（过程略）；(2)因为抛物线y＝－38x2－34x＋3的对称轴为x＝－1，与y轴交点C的坐标为(0，3)，所以直线AC的解析式为y＝34x＋3．且当x ＝－1时，有y ＝94，所以直线AC 与对称轴x ＝－1的交点H 的坐标为（－1，94）． 因为AB ＝6，CO ＝3，所以△ACB 的面积为，S △ACE ＝9．不妨设点D 的坐标为（－1，m ），如图4，则△ACD 的面积为S △ACD ＝12×DH ×AO ＝9．当点D 位于AC 上方时，DH ＝m －94， 代入解得m ＝274； 当点D 位于AC 下方时，DH ＝94－m ， 代入解得m ＝－94．所以点D 的坐标为 （－1，274），或（－1，－94） (3)如图5，以AB 为直径作⊙P ，当且仅当直线l 与⊙P 相切时符合题意．因为Rt △PME 中，∠PME ＝90°，PM ＝3，PE ＝5，所以由勾股定理，可得ME ＝4．利用三角形相似可以求得点M 的坐标M （45，125） 设直线l 的解析式为y=kx+b ，代入M （45，125），E(4，0)，解得 4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l 的解析式为y ＝－34x ＋3 同理可得直线l 的另一个解析式为y ＝34x －3． 点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力．三、抛物线中相似三角形的存在例 3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（x1，0），B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE＝30°，128x x-=．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连结AD、BD，在(1)中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图7，点Q为弧EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)如图8，由抛物线的对称性可知：AD＝BD，△ADB为等腰三角形．若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP＝∠BPA＝∠BAD．设AP交抛物线的对称轴于D’点，显然同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．所以在该抛物线上不存在点P，使得与△PAB与△ADB相似；点评解决存在性问题的基本思路是：先假设存在，然后根据问题的已知条件去探索，但对于按部分条件得出的结论，还需要验证是否满足题目的全部要求．。
以抛物线为背景的三角形、四边形的存在性问题探究
以抛物线为背景的三角形、四边形的存在性问题探究作者：李洪生来源：《初中生世界·九年级》2015年第12期以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点.解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一.一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论；最后，如果结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；如果出现与题目要求或定义定理相悖的情况，则假设错误，所设不存在.一、抛物线中等腰三角形的存在性问题例1 （2015·贵州铜仁节选）如图1，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A （1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标.【解析】（1）（略）y=x2-4x+3；（2）当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB或BP=BC或PB=PC.令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3 .①当CP=CB时，PC=3 ，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC-OC=3 -3，∴P1（0，3+3 ），P2（0，3-3 ）；②当BP=BC时，OP=OC=3，∴P3（-3，0）；③当PB=PC时，∵OC=OB=3，此时P与O重合，∴P4（0，0）.综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3-3 ）或（-3，0）或（0，0）.【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及运用待定系数法求二次函数、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合、分类讨论是解题的关键.二、抛物线中直角三角形的存在性问题例2 （2015·湖南益阳节选）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图2，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵抛物线E1经过点A（1，m），∴m=12=1.∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0），又点B（2，2）在抛物线E2上，∴2=a×22，解得：a= ，∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y= x2.（2）假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QB′B为直角三角形，由图3可知直角顶点只能为点B或点Q.①当点B为直角顶点时，过B作BQ1⊥B′B交抛物线E1于Q1，则点Q1与B的横坐标相等为2，将x=2代入y=x2得y=4，∴点Q1的坐标为（2，4）；②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2+Q2B2=B′B2，过点Q2作Q2G⊥BB′于G，设点Q2的坐标为（t，t2）（t>0），则有（t+2）2+（t2-2）2+（2-t）2+（t2-2）2=42，整理得：t4-3t2=0，∵t>0，∴t2-3=0，解得t1= ，t2=- （舍去），∴点Q2的坐标为（，3）.综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）.【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，直角三角形、勾股定理的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解一元二次方程等.数形结合是解题的关键.三、抛物线中平行四边形的存在性问题例3 如图4，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）（略）y=x2-2x-3；（2）存在.在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.又y=（x-1）2-4，∴顶点M（1，-4），求得直线CM的表达式是y=-x-3，∴N（-3，0），∴AN=2.在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，∴CP=2，∴AN=CP，又AN∥CP，∴四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，-3）.【点评】本题以抛物线、直线、平行四边形为知识载体，考查对各知识点的理解掌握程度，同时考查综合运用的能力.四、抛物线结合三角形、四边形新概念存在性问题例4 （2012·陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.（1）“抛物线三角形”一定是________三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图6，△OAB是抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.【解析】（1）等腰.根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即“抛物线三角形”必为等腰三角形.（2）因为“抛物线三角形”是等腰直角三角形，所以该抛物线的顶点坐标，，满足 = （b>0），得b=2.（3）存在.如图7，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形.当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形.又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形.作AE⊥OB，垂足为E，∵A ，，AE= OE，∴ = ×（b>0），得b=2 ，∴A（，3），B（2 ，0），C（- ，-3），D（-2 ，0），∴过O、C、D三点的抛物线为y=x2+2 x.【点评】此题以抛物线、等腰三角形等核心内容为载体，引出了“抛物线三角形”这个新概念，结合中心对称、矩形等内容，考查同学们的综合运用能力.（作者单位：江苏省泗阳县庄圩初级中学）。
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
2015年中考数学总复习专题9 存在性问题
(1)求点 A 的坐标和抛物线 C1 的解析式．
解：(1)∵抛物线 C1：y＝a(x＋1) －2 经过点 B(－2，－1)，
2
∴a(-2＋1)2－2=-1
∴a ＝1，
∴抛物线 C1：y＝(x＋1)2－2，
∴顶点 A 的坐标为(－1，－2)．
专题9
存在性问题
(2)如图 T9－4①， 将抛物线 C1 向下平移 2 个单位长度后得到抛物 线 C2，且抛物线 C2 与直线 AB 相交于 C，D 两点，求 S△OAC∶S△OAD 的值．
图T9－4
专题9
存在性问题
【点拨交流】 (1)用待定系数法求抛物线解析式有哪几种类型？本题应该 选择哪一种方法？ (2)求△OAC与△OAD的面积之比时，需要直接求得面积再计 算比值吗？ (3)由直线和坐标轴构造三角形相似时，应注意什么问题？
专题9
存在性问题
2 已知抛物线 C1：y＝ax＋1 －2 的顶点为 A，且经过点 B(－2，－1)．
(2)抛物线 C1：y＝(x＋1) －2 向下平移 2 个单位长度后得抛 物线 C2：y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
∵A(－1，－2)，B(－2，－1)，
E
2
∴直线 AB 的解析式为 y＝－x－3，
∴
解得
F
∴点 C 的坐标为(－3，0)，点 D 的坐标为(0，－3)．
∵A(－1，－2)，B(－2，－1)，
专题9
存在性问题
【归纳总结】 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数 法求抛物线解析式的方法，利用方程组、分类讨论和数形结合 等思想解题．
专题9
存在性问题
面动型问题
探究三
例 3 [2014²曲靖] 如图 T9－3，抛物 线 y＝ax ＋bx＋c 与坐标轴分别交于 A(－ 3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D 是抛物 线顶点，E 是对称轴与 x 轴的交点．
2015二次函数中考存在性
存在性---------二次函数与三角形探究一：如图，抛物线y=-x^+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．探究二：如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．探究三：如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．作业：1.在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=-x2+ax+2经过点C．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．3.如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=1/3（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．4.5.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．。
2015年最新中考数学考点分类专题42存在性问题-(原卷版)
专题42 存在性问题?解读考点知识点[来源:]名师点晴抛物线的存在性等腰、直角三角形来源:Z|xx|]掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题来源:][来源学科网ZXXK]平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题?2年中考[2014年题组]1.（2014年福建三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2014年福建漳州）已知抛物线l：y=ax 2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是▲ ，衍生直线的解析式是▲ ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2014广东深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．4．（2014天津）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2014四川凉山）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2014海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．[2013年题组]1．（2013年广西桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．2．（2013年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．3．（2013年辽宁锦州）如图，抛物线21yxmx n 8经过△ABC 的三个顶点，点A 坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C 在x 轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C 的坐标；（2）点E 为线段OC 上一动点，以OE 为边在第一象限内作正方形OEFG ，当正方形的顶点F 恰好落在线段AC 上时，求线段OE 的长；（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动．设平移的距离为t ，正方形DEFG 的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连接DM ，是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG 与△ABC 的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；并求出当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？4．（2013年湖南株洲）已知抛物线C 1的顶点为P （1，0），且过点（0，14）．将抛物线C 1向下平移h 个单位（h ＞0）得到抛物线C 2．一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是m 2（m ＞0）．（1）求抛物线C 1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h 的值；（3）若抛物线C 1的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ．求证：tan ∠EDF ﹣tan ∠ECP=12．5．（2013年四川成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线21yxbx c 2（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究PQNP BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．6．（2013年甘肃天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．7．（2013年山东日照）已知，如图(a)，抛物线2y ax bx c经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为 D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。
中考前数学压轴题「抛物线与相似三角形存在性」多种解法思路
中考前数学压轴题「抛物线与相似三角形存在性」多种解法思路初中数学，玩的就是几何。
相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法,对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
笔者拟就九年级周末作业中的一道题目为例，从不同角度，用不同策略，多种方法解密相似存在性问题。
第一类：化斜为直处理反思：直角坐标系中只有与坐标轴平行或垂直的线段才方便与点的坐标建立联系，故在直角坐标系背景下处理线段问题，常采用'化斜为直'的解题策略。
根据形似三角形的判定定理3：两角相等的两个三角形相似．目标△CED与△AOC中有∠CED＝∠AOC＝90°，故两个三角形相似则需再有一组角对应相等．故将三角形相似问题转化为等角问题处理．故还可以采用以下处理方法。
第二类：垂直处理第三类：等腰处理第四类：图形变换处理第五类：对称处理反思：利用对称处理其本质是互相垂直的线段的处理，即以互相垂直的两条线段的端点作系列水平竖直线，构造'三垂直'相似，也可理解为以互相垂直的两条线段为斜边构造两个直角三角形，利用相似或三角函数的知识解决问题．其核心仍是'化斜为直'思想的运用．第六类：一线三等角反思：'一线三等角'是极其重要的相似形，在解题中可将其视为'工具'，其运用分三重境界，一重境是一线上已具备三个等角，只需识别模型，再证明相似，直接运用；二重境是一条线上有两个等角，需在补上一个等角，构造模型解题；三重境是一条线上只有一个等角，需补上两个等角，构造模型解题。
这种模型的关键是一线加顶点在这条线上的三个等角，解题时模型完整则直接用之，模型残缺则补全模型再用之．。
数学人教版九年级上册在抛物线中三角形的存在性
答案展示：
在平面直角坐标系中，求 线段长度，构建直角三角 形运用勾股定理表示。
归纳小结、总结经验
通过本节课的学习你学到了什么？ 方法：
思想：
灵活运用、拓展延伸
探究三
相似三角形的存在性
2
在抛物线 y x 2 x 3上是否存在一点F, 使⊿ACF与⊿ACO成为相似三角形？
思考： ① 已知的⊿ACO是什么样的三角形？MBiblioteka (0,3) CA B
(-1,0)
O
(3,0)
x
初中数学中考专题复习
研究抛物线中三角形的 存在性
师生互动、合作探究
探究一:
直角三角形的存在性
2
如图, 抛物线y x 2 x 3, 在它对称轴上是否 存在一点P,使⊿OCP成为直角三角形？
思考: ①我们先假设存在点P， 使⊿OCP能成为直角三角形,你认为哪 个角是直角？ ②应分为哪几种情况？请在备用图中分别 画出图形即可。观察哪种情况最好求？ ③求点P坐标？
2
提示：1、等腰三角形谁为腰谁为底？
Q
①以∠A为顶角,则AC=AQ，可得点Q; ②以∠C为顶角,则CA=CQ，可得点Q; ③以∠Q为顶角,则QA=QC，可得点Q;
2、确定Q点位置。（你准备用什么工具 准确的确定Q点。）
3、观察哪种情况最好求？求点Q坐标？ (只列方程不解。) 学生动手实践，完成后举手，学生展示交流。
问题情境、引入新课
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A（-1，
0），与 y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线 x=1，求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标及抛物 线的解析式。
提问：1、你有思路了吗？请说一说。
2、画一个二次函数的草图需要哪些条件？ 2 x 2 x 3与y轴交点是(0,3) ，与x轴交点是(-1,0) (3,0) ， ∵y= y 顶点坐标是(1,4)；对称轴是直线 X=1 . (1,4)
中考数学复习难题突破专题四特殊三角形存在性问题
难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1等腰三角形存在性问题1如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2直角三角形、全等三角形存在性问题图Z4－22如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，△且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．例题分层分析(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专题训练1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．图Z4－32．[2019·湖州]如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数 1 91y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC x x x是等腰三角形，则k的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2019·张家界]如图Z4－6，已知抛物线C的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．1(1)求C的解析式；1(2)若直线l：y＝x＋m与C仅有唯一的交点，求m的值；11(3)若将抛物线C关于y轴对称的抛物线记作C，平行于x轴的直线记作l：y＝n.试结合图象回答：122当n为何值时，l与C和C共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；212(4)若将C与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．2图Z4－65.[2019·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与 y 轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE ＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，△当CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－8参考答案类型1等腰三角形存在性问题例 1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的 x 或 y 为 0，即可求出图象与 y 轴或 x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式 法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a)②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB解：(1)∵直线 y ＝3x ＋3，∴当 x ＝0 时，y ＝3，当 y ＝0 时，x ＝－1，∴点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标为(0，3)．0＝a －b ＋c ，a ＝－1，(2)设抛物线对应的函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得3＝c ，解得b ＝2，∴抛物线对应的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得 y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1，设 Q(1，a)．①当 AQ ＝BQ 时，如图①，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D ，过点 B 作 BF ⊥DQ 于点 F.由勾股定理，得BQ ＝ BF 2＋QF 2＝ （1－0）2＋（3－a ）2，AQ ＝ AD 2＋QD 2＝ 22＋a 2，得 （1－0）2＋（3－a ）2＝ 22＋a 2，解得 a ＝1，∴点 Q 的坐标为(1，1)．②当 AB ＝BQ 时，如图②，由勾股定理，得 （1－0）2＋（a －3）2＝ 10，解得 a ＝0 或 6，当点 Q 的坐标为(1，6)时，其在直线 AB 上，A ，B ，Q 三点共线，舍去，∴点 Q 的坐标是(1，0)．0＝9a ＋3b ＋c ， c ＝3.③当AQ＝AB时，如图③，由勾股定理，得22＋a2＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．类型2直角三角形、全等三角形存在性问题例2【例题分层分析】(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2，∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)．∵点A为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)2－4，把(3，0)代入，得4a－4＝0，解得a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.(2)存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时OP平分第二象限，即直线PO对应的函数表达式为y＝－x.设P(m，－m)，则－m＝m2－2m－3，解得m＝1－131＋13m＝＞0，舍去1 2，1－1313－1∴点P的坐标为，2 2.(3)如图，①当∠Q AB＝90°时，△DAQ∽△DOB，11∴AD DQ5DQ ＝，即＝，OD DB65 7∴DQ＝，∴OQ＝，2 27即点Q的坐标为0，－2113 5 111；②当∠Q BA ＝90°时，△BOQ ∽△2DOB ， 2∴ OB OQ 3 OQ ＝ ，即 ＝ ，OD OB 6 3 3 3 ∴OQ ＝ ，即点 Q 的坐标为0，22；③当∠AQ B ＝90°时，过点 A 作 A E ⊥y 轴于点 E ， 3则△BOQ ∽△Q EA ，33OB OQ 3 OQ ∴ ＝ ，即 ＝ ， Q E AE 4－OQ 13 3∴OQ2 3 －4OQ ＋3＝0，∴OQ ＝1 或 3， 3 3即点 Q 的坐标为(0，－1)或(0，－3)． 3综上，点 Q 的坐标为0，－ 或0，2 2专题训练1．6或(0，－1)或(0，－3)．2.3 7 15 或7 5 [解析] 考查反比例函数中系数 k 的几何意义及等腰三角形的性质． 用 B ，A 两点的坐标来表示 C 点坐标，得到 BC 的长度，然后分三种情况讨论 k 值．9 1 1 9 1 9 1 8 设 B(a ， )，A(b ， )，∴C(a ， )，ka ＝ ，kb ＝ ，∴a 2＝ ，b 2＝ .又∵BD ⊥x 轴，∴BC ＝ .a b a a b k k a①当 AB ＝BC 时，AB ＝ （a －b ）2＋（ka －kb ）2，8 3 1 8∴ 1＋k 2(a －b)＝ ，∴ 1＋k 2( － )＝ ，a 3k∴k ＝3 7 7.②当 AC ＝BC 时，AC ＝1 1（b －a ）2＋（ － ）2，b ak 2 3 1 64k 15∴(1＋ )( － )2＝ ，∴k ＝ .9 9 5k 2 3 715③当 AB ＝AC 时，∴1＋ ＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝ 或. 9 753．解：①若∠BAP ＝90°，易得 P (0，2)．1②若∠ABP ＝90°，易得 P (0，－3)．22 2 2233 7 3 k k k k③若∠BPA＝90°，如图，以AB为直径画⊙O′与x轴、y轴分别交于点P，P，P，P，AB与x轴交3456于点 C ，过点 O ′作 O ′D⊥y 轴于 D 点．5 在 △R t DO ′P 中易知 O ′D ＝2，O ′P ＝ ，则 P D ＝ 225 3－4＝ ，4 2 3 1OP ＝P D －OD ＝ － ＝1，则 P (0，1)．易知 P D ＝P D ，则 P (0，－2)．连结 O ′P ，O ′P ，5 5 5 56 6 3 4易求出 P (2－ 6，0)，P (2＋ 6，0)．34综上所述，存在点 P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为 P (0，2)，P (0，－3)，P (2－ 6，0)，123P (2＋ 6，0)，P (0，1)，P (0，－2)．4564．解：(1)∵抛物线 C 的顶点坐标为 A(－1，4)，1∴设 C 的解析式为 y ＝a(x ＋1)2＋4，1把 D(0，3)代入得 3＝a(0＋1)2＋4，解得 a ＝－1，∴C 的解析式为 y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.1y ＝－x 2－2x ＋3，(2)由方程组y ＝x ＋m ，得 x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m －3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝21 4.(3)抛物线 C 的顶点坐标为(1，4)，l 与 C 和 C 共有：①两个交点，这时 l 过抛物线的顶点，∴n ＝4；22122②三个交点，这时 l 过两条抛物线的交点 D ，∴n ＝3；③四个交点，这时 l 在抛物线的顶点与点 D 之间或 22在点 D 的下方，∴3<n<4 或 n<3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 的解析式为 y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与 x 轴正半轴的交点 B2的坐标为(3，0)，又 A(－1，4)，∴AB ＝ 42＋42＝4 2.①若 AP ＝AB ，则 PO ＝4＋1＝5，这时点 P 的坐标为(－5，0)；②若 BA ＝BP ，若点 P 在点 B 的左侧，则 OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点 P 的坐标为(3－4 2，0)， 若点 P 在点 B 的右侧，则 OP ＝BP ＋BO ＝4 2＋3，这时点 P 的坐标为(3＋4 2，0)；③若 PA ＝PB ，这时点 P 是线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点，显然 PA ＝PB ＝4，∴P(－1，0)． 综上所述，点 P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．32＋3b ＋c ＝0，b ＝－4，5．解：(1)由题意得 解得c ＝3，c ＝3，∴抛物线的解析式为 y ＝x 2－4x ＋3.(2)由题易知 OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°.5 5 5 2 2同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形．以BC为对称轴将△FCE对称得到△F△′CE，作PH⊥CF′于H点，如图①，则PE＋EF＝PF′＝2PH.又PH＝y－y＝3－y，C P P∴当y最小时，PE＋EF取得最大值，P∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y＝－1时，(PE＋EF)＝2×(3＋1)＝4 2.P max(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝2，设D(2，n)，如图②.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的上方D位置时，由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即1(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的下方D位置时，由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2，即2(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．3 31②如图③，以BC的中点T(，)为圆心，BC为半径作⊙T，与抛物线的对称轴x＝2交于D和D，2 2234由直径所对的圆周角是直角得∠CD B＝∠CD B＝90°，341 32设D(2，m)为⊙T上一点，由DT＝BC＝，2 23 332得(－2)2＋(－m)2＝()2，2 223 17解得m＝±，2 23 17 3 17∴D (2， ＋ )，D (2， － )，2 2 2 2又由①得 D 为(2，5)，D (2，－1)，12∴若△BCD 是锐角三角形，则 D 点在线段 D D 或 D D 上(不与端点重合)，则点 D 的纵坐标的取值范围1 32 43 17 3 17是－1＜y ＜ － 或 ＋ ＜y ＜5.2 2 2 20＝8a ＋c ， a ＝－ ，6．解：(1)由题意，得 解得4＝c ，1∴所求抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ x 2＋x ＋4.2(2)如图①，设点 Q 的坐标为(m ，0)，过点 E 作 EG ⊥x 轴于点 G.1由－ x 2＋x ＋4＝0，得 x ＝－2，x ＝4， 2∴点 B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2.∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG BQ EG m ＋2 ＝ ，即 ＝ ， CO BA 4 6 2m ＋4 ∴EG ＝ ，31 1∴ ＝S －S ＝ BQ·CO － BQ· △S CQE △CBQ △EBQ1 EG ＝ (m ＋2) 22m ＋4 1 2 8 14－ ＝－ m 2＋ m ＋ ＝－ (m －1)3 3 3 3 32 ＋3. ∵－2≤m≤4，∴当 m ＝1 时，S 有最大值 3，此时点 Q 的坐标为(1，0)．△CQE(3)存在．在△ODF 中，①若 DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2.又在 Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°，∴∠DFA ＝∠OAC＝45°，3 4 D D1 2c ＝4，1 2 2 2∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)． 1由－x2＋x＋4＝2，得x＝1＋5，x＝1－5，212∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)．②若FO＝FD，如图②，过点F作FM⊥x轴于点M，1由等腰三角形的性质得OM＝OD＝1，2∴AM＝3，∴在等腰直角三角形AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)．1由－x2＋x＋4＝3，2得x＝1＋3，x＝1－3，12∴点P的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)．③若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝42，∴点O到AC的距离为22，而OF＝OD＝2，与OF≥22相矛盾，∴AC上不存在点F，使得OF＝OD＝2，∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5， 2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知下列命题:①若a<b<0,则11> ;②若三角形的三边a、b、c满足aa b2+b2+c2=ac+bc+ab,则该三角形是正三角形;③斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似;④两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个2．欧几里得的《原本》记载，形如x2ax b2的方程的图解法是：画Rt ABC，使ACB 90，BC a2，AC b，再在斜边AB上截取BD a2.则该方程的一个正根是（）A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3．甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：班级甲乙人数5555中位数149151方差191110平均字数135135某同学根据上表分析得出如下结论：①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③4．如图，小明想测量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30，已知斜坡CD的长度为20m，斜坡顶点D到地面的垂直高度DE 10m，则树AB的高度是（）mA．203B．303C．30D．405．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探究抛物线中特定三角形的存在性
以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点．解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略．
一、抛物线中等腰三角形的存在性
例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线y ＝－14
x 2＋bx ＋4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点坐标为A （－2，0）．
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)求C 点坐标，连结AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；
(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)易得抛物线解析式为
配方得，
y ＝()2125344
x --+， 所以对称轴方程为x ＝3； (2)在21
3442
y x x =-++中，令x ＝0， 则y ＝4，所以点C (0，4). 令y ＝0，则21
3404
2x x -++= 解得x 1＝8，x 2＝－2，
∴A （－2，0），B (8，0).
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
把B (8，0)，C (0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC 的解析式为
142
y x =-+； (3) △AOC ∽△COB ．
理由：在△AOC 与△COB 中
∵OA ＝2，OC ＝4，OB ＝8， ∴
2141,4282
OA OC OC OB ==== ∴OA OC OC OB =． 又∠AOC ＝∠BOC ＝90°，
∴△AOC ∽△COB ；
(4)因为抛物线的对称轴方程为x ＝3，Q 点在对称轴x ＝3上，如图2．
点评 本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q 坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想．
二、抛物线中的直角三角形的存在性
例2 （广州市中考题）如图3，抛物线y ＝－38x 2－
34
x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
(1)求点A 、B 的坐标； (2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
(3)若直线l 过点E (4，0)，M 为直线l 上一动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 解析式．
解 (1)A （－4，0），B (2，0)（过程略）；
(2)因为抛物线y ＝－3
8x 2－34
x ＋3的对称轴为x ＝－1， 与y 轴交点C 的坐标为(0，3)，所以直线AC 的解析式为y ＝
34x ＋3． 且当x ＝－1时，有y ＝94
，所以直线AC 与对称轴x ＝－1的交点H 的坐标为（－1，94
）． 因为AB ＝6，CO ＝3，所以△ACB 的面积为，S △ACE ＝9．
不妨设点D 的坐标为（－1，m ），如图4，则△ACD 的面积为S △ACD ＝
12×DH ×AO ＝9．
当点D 位于AC 上方时，DH ＝m －
94， 代入解得m ＝274
； 当点D 位于AC 下方时，DH ＝
94－m ， 代入解得m ＝－94
．所以点D 的坐标为 （－1，274
），或（－1，－94） (3)如图5，以AB 为直径作⊙P ，当且仅当直线l 与⊙P 相切时符合题意．因为Rt △PME 中，∠PME ＝90°，PM ＝3，PE ＝5，
所以由勾股定理，可得ME ＝4．
利用三角形相似可以求得点M 的坐标M （
45，125） 设直线l 的解析式为y =kx +b ，
代入M （45，125
），E (4，0)，解得 4125540
k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l 的解析式为y ＝－34
x ＋3 同理可得直线l 的另一个解析式为
y ＝34
x －3． 点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力．
三、抛物线中相似三角形的存在
例3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （x 1，0），B (x 2，0)，C (0，－2)，其顶点为D ．以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N ．∠ONE ＝30°，128x x -=．
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
(2)连结AD 、BD ，在(1)中的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 与△ADB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图7，点Q 为弧EBF 上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH ·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)如图8，由抛物线的对称性可知：AD＝BD，△ADB为等腰三角形．
若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP＝∠BP A＝∠BAD．
设AP交抛物线的对称轴于D’点，显然
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得与△P AB与△ADB相似；
点评解决存在性问题的基本思路是：先假设存在，然后根据问题的已知条件去探索，但对于按部分条件得出的结论，还需要验证是否满足题目的全部要求．。