九年级数学上册21.1二次根式二次根式概念的学习华东师大版
【新华东师大版】九年级数学上册：21.1《二次根式》教案(两课时)
_B _A _C21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学方法三疑三探教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，所以所求．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得二、设疑自探——解疑合探自探1.你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0老师点评:（略）自探2.、1xx>0）、、1x y+x ≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次根式1x、1x y +．自探3.当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展1．当x 11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．2.(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．教后反思：21.1 二次根式第二课时教学内容）2=a（a≥0），a（a≥0）教学目标2=a（a≥0（a≥0），并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2=a（a≥0a（a≥0）及其运用．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探――解疑合探自探1.做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的非负）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，2=72，）2=0，所以自探2(一)计算1．2（x ≥0） 2．23．24． 2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．（二）在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略)自探3（学生活动）填空：=______；=________=_______．自探4 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展1. 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．2.当x>2．分析：(略)四、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：2=a（a≥0）（a≥0）及其运用，同时理解当a<0－a的应用拓展．五、作业设计一、选择题1）．A．0 B．23 C． 423D．以上都不对2．当a≥0）．AC．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三计算）21．2 2．（2 3．2 4．（22.计算下列各式的值：2）2（）222（4四、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教后反思：。
九年级数学上册 第21章 二次根式知识归纳 华东师大版
1 / 11 / 1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2a 0(a≥0)；（3）⎪⎩
⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b a a b b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
乘法运算：除法运算： 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
最新华东师大版九年级上册数学知识总结
华东师大版数学九年级上知识点小结第21章 二次根式1、二次根式的意义形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。
二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。
2、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
4、二次根式的主要性质（1）双重非负性：)0(0≥≥a a（2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。
＊（3）绝对性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。
0,0).a b ⋅=≥≥=(0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
附：1、根式)0,0(>≥a b a b的化简方法 （1）把a b 化为,ab然后分母有理化为.a ab （2）把ab 化为a a a b ⨯⨯，然后化为.a ab2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为： (1)根据（a ）a =2)0(≥a 可知a(2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是y b x a第22章 一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根》教案设计
一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？
(1) 36＝________； 49
3469＝________．
(2) 9 ＝________； 16
196＝________．
36________ 49
3469；
9 ________ 16
196.
二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 例 1：计算：
解析：根据题意得x2＋ －1x≥ ≥00， ，解得
－1≤x≤2.故选 C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均 是非负数这一条件．
【类型二】 二次根式的乘法运算
例 2：计算：
(1) 3× 5；(2) 64；
(3)6 27×(－3 3)；
(4)34 18ab·－a2 6ab2.
21.2 二次根式的乘除
第 3 课时
教学目标
1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算； 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．
教学重难点
【教学重点】 二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质. 【教学难点】 运用已学性质进行二次根式的化简与运算.
课前准备
无
教学过程
21.2 二次根式的乘除
第 2 课时
教学目标
1．掌握积的算术平方根的性质； 2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．
教学重难点
【教学重点】 积的算术平方根的性质. 【教学难点】 用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入 计算： (1) 4× 25与 4×25； (2) 16× 9与 16×9. 思考： 对于 2× 3与 2×3呢？ 从计算的结果我们发现 2× 3＝ 2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究 探究点一：积的算术平方根的性质 例 1：化简： (1) （－36）×16×（－9）； (2) 362＋482；
华东师大版数学九年级上册21.1二次根式课件
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
? 在实数范围内,负数没有平方根
例1： 当x取何值时，下列各式有意义？
(1) x 5 (2) x2 2
(3) x 1 x3
(4) x 2 2 x 1
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(Hale Waihona Puke 0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式二次根式的概念和性质讲义华东师大版.doc
二次根式的概念和性质 重难点易错点解析 区别)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 例1题面：判断下列等式是否成立(1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=- (3)2(19)19()-= (4)2()()a b a b -=- (5)2()()a b a b-=- (6)2(0)().a a a =-≤金题精讲题一 题面：（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）．A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a - （2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 题二题面：已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______．满分冲刺题一题面：已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长．题二题面：已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．题三 题面：设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积.思维拓展题面：若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ．讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．金题精讲题一答案：（1）A （2）C题二答案：0满分冲刺题一答案： c＝2，3，4．题二题三答案：1() 2bc ad-思维拓展答案：。
九年级数学上册 21.1 二次根式讲授素材 (新版)华东师大版
二次根式我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗?呢?若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a＋10、a2-1不能保证是非负数，即a＋10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是二次根式.例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?解：略．说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：（1）(2)(3)(4)分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2＋b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是二次根式.（4），即，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时，是二次根式.例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：（1）；（2）；（3）；（4）分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．解：（1）由2a＋3≥0，得.（2）由，得3a-1＞0，解得.（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|＋0.1＞0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．。
华东师大版九年级上册 数学 教案 21.1 二次根式
华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。
本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。
它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。
（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。
3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。
（2）上课环境为多媒体教室。
二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
(2) 掌握二次根式有意义的条件。
(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。
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二次根式概念的学习 式子a （a ≥0）叫做二次根式，这个概念是初中数学中的重要概念之一，要学好这个
概念必须注意以下几个问题:
1. a ≥0是a 为二次根式的决定条件. 因为在实数范围内,负数不能进行开 平方运算,
即当a<0时, a 在实数范围内无意义. 2. a (a ≥0)表示a 的算术平方根, 它是一个非负数, 即a 0≥.
3. 二次根式a (a 0≥)中a 可以表示数、单项式、多项式乃至符合条件的一切代数式.
熟悉、掌握并正确、灵活应用这个概念是学习《二次根式》一章的重点. 下面看几个例
子.
例1. 下列各式哪些是二次根式? 哪些不是? 为什么? (1)19- (2) 39 (3)1+x (4) a 6-
分析: 二次根式的第一个特征是根号的根指数必须是2; 第二个特征是必须能保证被
开方数不小于零.
解: (1) –19 < 0 , ∴19-不是二次根式
(2) 39中根指数是3, ∴39不是二次根式.
(3) 不论x 取什么实数,都有1+x > 0 , ∴1+x 是二次根式.
(4) 当 – 6a ≥0 , 即a 0≤时, a 6-是二次根式. 当 – 6a < 0, 即a>0 时,
a 6-不是二次根式.
例2. x 是什么值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1) 2x - (2)x x -+ (3)12+x
解: (1) 要使 2x - 在实数范围内有意义,应有 - x 2,0≥ 即x 2≤0.
又 在实数范围内,不论x 取什么值恒有x 02≥. 故x ,02= 从而 x=0.
即当x=0时, 2x -在实数范围内有意义.
(2) 要使 x x -+ 在实数范围内有意义,应有⎩
⎨⎧≥-≥00x x 从而x=0. 即当x=0时, x x -+ 在实数范围内有意义.
(3) 要使12+x 在实数范围内有意义,应有x 012
≥+. 在实数范围内,不论x 取什么值,恒有x 012>+,
∴ 不论x 为何值, 12+x 在实数范围内都有意义.
例3. 已知 a +,0=a 求2a 的值.
解: 0=+a a , a ∴有意义, 0≥∴a 且0≥a .
又 a +,0=a 0=∴a ∴ 2a =0.
例4. 计算x
x x --+-+11142
2. 解: 由原式知12-x 和21x -均有意义,
⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-∴0
10122x x .012=-∴x .1±=∴x
又 当a=1时, 分母 1-x=0, 原式无意义, 故 x = -1.
∴ 原式= .22
4)1(1004==--++
练习:
1. 如果a
b 是二次根式,那么a 、b 应满足( ) A. a>0, b>0. B. a,b 同号. C. a>0, b ≥0. D.
.0≥a b 2. 式子2
33---x x 中x 的取值范围是 . 3. 已知522+---=x x y . 求x y 的值. 参考答案：
1、 D
2、2,3≠≤x x 且
3、25。