辽宁省鞍山市第一中学2017届高三数学上学期第二次模拟考试试题理(PDF)
【数学】辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试(期中)数学(文)试题含解析
2017——2018学年高三（18届）二模试卷数学文科一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以，故选A.2. 设复数，且，则等于（）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】C【解析】复数，且，3. 若向量，，满足条件与共线，则的值为（）A. -2B. -4C. 2D. 4【答案】B【解析】向量，，，所以，所以与共线，所以，截得，故选B.4. 数列的前项和为，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：，所以．考点：裂项相消求和5. 已知命题，“为真”是“为假”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:因“为真”,故为假，则“为假”；反之不成立，即“为真”是“为假”的充分不必要条件.应选A.考点：充分必要条件的判定及运用.6. 已知，，且，则向量与向量的夹角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解析】由得，则，故选B.7. 已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求导函数可得函数在点(1,f(1))处切线的斜率为1，∴f′(1)=1，∴ .本题选择D选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8. 已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．9. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是四棱锥，其中底面是以边长为的正方形，四棱锥的高为，所以几何体的体积为，故选B.10. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A........................考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的最值.11. 已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题①若，则②若，则③若，则④若，则⑤若，则中真命题个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】①垂直于同一平面的两个平面不一定平行，所以是错误的；②若，则当相交时，；当，不相交时，不成立，所以是错误的；③若，则成立，所以是正确的；④若，则或，所以是错误的；⑤根据垂直与同一平面的两条直线平行可得，若，则成立，所以是正确的，故选选C.点睛：本题主要考查了空间中直线与平面位置的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行、平面与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记直线与平面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.12. 定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，则，因为，所以，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因为，即，所以，故选A．考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是奇函数，则__________．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，所以，解得.14. 已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】2【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过A点时取最小值2考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 双曲线与抛物线有相同的焦点，且相交于两点，连线经过焦点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由为公共焦点，可知，即，因为抛物线与双曲线都关于轴对称，所以两点关于轴对称，所以直线的方程为，代入双曲线的方程，可得，即，因为在抛物线上，所以，又，所以，即，解得或（舍去）.点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及的关系式是解答的关键.16. 已知，圆上存在点，满足条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】设，因为，圆上存在点，满足条件，所以，即，所以点在圆心为，半径为的圆上，又点在圆上，所以圆与圆有公共点，因为圆的圆心，半径为，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围为.点睛：本题主要考查了直线与圆的问题的综合应用，其中解答中涉及到圆与圆的位置关系，圆的标准方程及圆心坐标、半径的知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中要认真审题，主要圆的性质、圆与圆的位置关系的合理应用是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据得出递推式，确定为等比数列，再计算，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：（1）当时，，即，解得.当时，，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.所以.（2）因为，所以.18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点，，，求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图，连接交于，可得，即可证得平面；（2）三棱柱中，可得底面，可得，即可得，在矩形中，由，可得，即可得平面.试题解析：（1）证明：如图，连接交于，则为中点，连接，∵为棱的中点，∴，又平面，平面∴平面，（2）三棱柱中，侧棱底面，可得∵为棱的中点，，∴面，即，在矩形中，∵，∴，∴，，即.∴，且，∴平面.19. 在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和正弦函数公式化简已知等式可得，由于，利用同角三角函数的基本关系式可求，结合范围，即可求的值；（2）由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算.试题解析：（1）∵，∴由正弦定理可得：，又∵，∴，∵，∴解得：，∵，∴.（2）∵，，∴由余弦定理可得：，即：，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为.20. 已知过点的椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的任意一点，且成等差数列.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角，，由此列出不等式求出的取值范围.试题解析：（1）∵成等差数列，∴，由椭圆定义得，∴；又椭圆过点，∴；∴，解得，；∴椭圆的标准方程为；（2）设，，联立方程，消去得：；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴，，①由方程的根与系数关系可得，；②可得；③由①②③，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，，∴；即，整理得，，解得：或.∴实数的取值范围是或.点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识的综合应用，着重考查了学生的推理与运算能力，同时考查了函数与方程思想，数形结合思想的应用，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程的联立，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.21. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，即可求解函数的单调区间；（2）问题可化为对一切恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的取值范围即可；（3）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性即可作出证明. 试题解析：（1），得由，得∴的递增区间是，递减区间是（2）对一切，恒成立，可化为对一切恒成立.令，，当时，，即在递减当时，，即在递增，∴，∴，即实数的取值范围是（3）证明：等价于，即证由（1）知，（当时取等号）令，则，易知在递减，在递增∴（当时取等号）∴对一切都成立则对一切，都有成立.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数恒成立问题的求解等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把要证明的结论转化为新函数的性质是解答的关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数的关系式，利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围．试题解析：（1）由得．∵，,，∴曲线的直角坐标方程为，即；（2）将代入圆的方程得.化简得．设两点对应的参数分别为，则∴ ,.∴,∵∴或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，即可求解不等式的解集；（2）求出的最小值，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于，或或故不等式的解集是或；（2）∵，∴，∴，∴.。
【数学】辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试(期中)数学(理)试题含解析
辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试（期中）数学（理）试题 (1)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合的真子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】所以真子集的个数为，故选C2. 若为实数，且，则（）A. -4B. -3C. 3D. 4【答案】D【解析】试题分析：，选D．考点：复数相等，复数运算3. 下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14,18，则输出的为（）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B．点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 一个四面体的三视图如下图所示，则该四面体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图所示：三棱锥O−ABC,OE⊥底面ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断;△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC=×2×1=1，S△OAB=S△OBC=，该四面体的表面积：，本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．5. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原命题是假命题，所以其否定“，”是真命题，解得，故选B6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A7. 设向量满足，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】试题分析：，展开后得：，两式相减得，，得到，故选A．考点：向量数量积8. 设满足约束条件，则的最大值为（）A. -3B. 4C. 2D. 5【答案】B【解析】作出x,y满足的区域如图(阴影部分),由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目标函数在点(1,1)处取得最大值4.故选B点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9. 由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为，所以题中所求面积为，故选D10. 设，，，则大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以有。
物理卷·2017届辽宁省鞍山一中高三上学期第二次模拟考试(2016.11)
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试物理第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1-6小题只有一个选项正确，7-10小有多个选项正确，全部选对得4分，选不全的得2分，有选错、多选或不选的得0分）1．许多科学家对物理学的发展做出了贡献，下列表述正确的是（）A．库仑最先提出了电荷周围存在电场的观点，并通过研究电荷间的相互作用总结出库仑定律B．密立根通过油滴实验测定了元电荷的数值C．伽利略通过“理想实验”得出“力是维持物体运动的原因”D．牛顿发现了万有引力，并测出了万有引力常量2. a、b两车在两条平行的直车道上同方向行驶，它们的v-t图象如图所示，在t=0时刻，两车间距离为d；t=5s的时刻它们第一次相遇，关于两车之间的关系，下列说法正确的是（）A．t=15s的时刻两车第二次相遇B．t=20s的时刻两车第二次相遇C．在5～15s的时间内，先是a车在前，而后是b车在前D．在10～15s的时间内，两车间距离逐渐变大3.汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P．快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶，如图四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（）4.如图所示，两物块用轻质细线跨过滑轮连接置于斜面上，轻质细线与斜面平行。
若两物块与斜面间的动摩擦因教均为0.5，忽略轻质细线与滑轮间的摩擦，并且认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则当两物体静止时，12mm的比值最大为（）A．2.5 B．4.4 C．3.5 D．5.55.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G．则地球的密度为（）A.()23g gGT gπ-B. ()23gGT g gπ-C.23GTπD. 023gGT gπ6.如图，安培表、伏特表均是理想表，L为灯泡，R是滑动变阻器，电源电动势为E，r为内阻．将电键S闭合，当滑动变阻器滑片P向左移动时，下列说法中正确的是（）A．灯泡L变亮B．电源的输出功率变大C．伏特表与安培表示数的变化量之比在变小D．R0中有自右向左的电流7.如图所示，是一个说明示波管工作管理的示意图，电子经电压U1加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时的偏转量是h．两平行板间距离为d，电势差为U2，板长是L，每单位电压引起的偏转量（h U）叫做示波管的灵敏度，那么要提高示波管的灵敏度，可采用以下哪些方法（）A．增大两板间电势差U2B．增大一些板长LC．减小一些板距dD．升高一些加速电压U18.小车AB静置于光滑的水平面上，A端固定一个轻质弹簧，B端粘有橡皮泥，AB车质量为M，质量为m的木块C放在小车上且其右端距B为L,用细绳连结于小车的A端并使弹簧压缩，开始时AB与C都处于静止状态，如图所示，当突然烧断细绳，弹簧被释放，使物体C离开弹簧向B端冲去，并跟B端橡皮泥粘在一起，以下说法中正确的是（）A ．如果AB 车内表面光滑，整个系统任何时刻机械能都守恒B ．整个系统任何时刻动量都守恒C ．当木块对地运动速度为v 时，小车对地运动速度为mvM D ．AB 车向左运动最大位移为mL M9.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处的速度为零，AC=h ．圆环在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A ．弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g ．则（ ）A ．下滑过程中，加速度一直减小B ．下滑过程中，克服摩擦力做的功为214mv C ．在C 处，弹簧的弹性势能为214mv − mgh D ．上滑经过B 的速度大于下滑经过B 的速度 10.如图所示，ABCD 竖直放置的光滑绝缘细管道，其中AB 部分是半径为R 的14圆弧形管道，BCD 部分是固定的水平管道，两部分管道恰好相切于B 。
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟考试数学(文)试题(精品解析)
鞍山一中2017届高三七模考试数学（文科）试卷一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，所给选项中只有一个正确）1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，，所以，故选A．2.已知复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，所以，故选A．3.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．4.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点时，有最小值，故选B．5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（）A.B.C. 65,63.5D. 65,65【答案】D【解析】试题分析：选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为（0.01+0.02）×10=0.3，由于0.5﹣0.3=0.2，则，∴中位数为60+5=65.故选D.考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．6.设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和（）A. -10B. -5C. 0D. 5【答案】C【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和为（）A. 18B.C.D.【答案】C【解析】因为圆心，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，应选答案C 。
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三3月月考数学(文)试题
绝密★启用前辽宁省鞍山市第一中学2017届高三3月月考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知复数z =i 1−i （其中i 为虚数单位），则z ⋅z=（ ） A. 1 B. 32 C. 34 D. 12 2．设集合U ={0,1,2,3,4,5},A ={1,2},B ={x ∈Z |x 2−5x +4<0}，则C U (A ∪B )=（ ）A. {0,1,2,3}B. {5}C. {1,2,4}D. {0,4,5}3．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43. 则这四社区驾驶员的总人数N 为（ ）A ．2160B ．1860C ．1800D ．1440 4．设,a b 是不共线的两个向量，若命题:?p a b > ，命题:,q a b 夹角是锐角，则命题p 是命题q 成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．直线:10l x ky --=与圆22:2C x y +=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相交D ．与k 的取值有关6．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）A. 20i >B. 20i <C. 20i ≥D. 20i ≤7．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的虚轴端点到一条渐近线的距离为b 2，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 28．已知函数f (x )= 3sin 2x −2cos 2x ，下面结论中错误的是（ ）A. 函数f (x )的最小正周期为πB. 函数f (x )的图象关于x =π3对称C. 函数f (x )的图象可由g (x )=2sin 2x −1的图象向右平移π6个单位得到D. 函数f (x )在区间[0,π4]上是增函数9．齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16 10．一个四面体的三视图如图，则此四面体的体积是（ ）A. B. C. D.11．已知x y 、满足（ ） A. []1,12 B. []0,6 C. []0,12 D. []1,13第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知等比数列{}n a 满足11352,14a a a a =++=，． 14．直线y =12x −b 与曲线y =−12x +ln x 相切，则实数b 的值为__________． 15．在ΔA B C 中，B C= 3，∠A =600，则ΔA B C 周长的最大值__________．16．已知三棱锥P ABC -中， PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为__________．三、解答题17．如图，在三棱柱C −A 1B 1C 1中，A 1A =A B ,C B ⊥A 1A BB 1．（1）求证：AB 1⊥平面A 1B C ；（2）若A C =5,B C =3,∠A 1A B =60∘，求三棱锥C −AA 1B 的体积．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =ln (n +1)−a .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =e a n （e 为自然对数的底数），定义： b k =b 1·b 2·b 3·⋯·b n n k =1，求 b k n k =1.19．某市为了了解今年高中毕业生的体能情况，从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格，把所得数据进行整理后，分成六组画出频率分布直方图的一部分，如图，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第六小组的频数是7.（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若从第一小组和第二小组中随机抽取两个人的测试成绩，则两个人的测试成绩来自同一小组的概率是多少？20．已知函数f (x )=x −a −ln x (a ∈R ).（1）若f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：若0<x 1<x 2，则x 1ln x 1−x 1ln x 2>x 1−x 2.21,（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 是椭圆C 的左右焦点, 若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点1F 和2F ,求这个平行四边形面积的最大值。
2017年辽宁省鞍山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年辽宁省鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B{x|2x＞4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|﹣1≤x≤1} 2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若（x2+m）（x﹣）6的展开式中x4的系数为30，m的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．215．（5分）已知向量，满足，（+）⊥，，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图程序框图（见上图），如果输入的x，t均为2，S＝（）A．7B．6C．5D．47．（5分）已知函数f（x）＝cos（x+）sin x，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T＝2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x＝对称8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．8C．D．9．（5分）已知f（x）＝log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M 在直线（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A．B．8C．D．410．（5分）已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．D．11．（5分）已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+1）+f（1﹣x）＝2，当x ＞1时，f（x）＝，则关于x的方程f（x）+2a＝0没有负实根时实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，，）∪（，+∞）D．（﹣2，）∪（，0）12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝tan225°，a5＝13a1，设S n为数列{（﹣1）n a}的前n项和，则S2017＝．n16．（5分）给出下列五个命题：①“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题；②从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为60°的有48对；③“m＜﹣2”是方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充分不必要条件；④点P（x，y）是曲线m|x|+n|y|＝1（m＞0，n＞0）上的动点，且满足≤4，则的取值范围是[2，+∞）；⑤若随机变量ξ服从正态分布N（3，4），且P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a＝．其中正确命题的序号是（请把正确命题的序号填在横线上）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝3，△ABC的面积为，又＝2，∠CBD＝θ．（1）求a，A，cos B；（2）求cos2θ的值．18．（12分）（理科）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，P A＝PB＝，（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求二面角P﹣AC﹣B的余弦值．19．（12分）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析．现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在[90，100]段各不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为X，求X的分布列和期望．20．（12分）过椭圆C：（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，A、B分别为椭圆C的左顶点和上顶点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动直线l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O．问是否存在一个定圆与动直线l总相切．若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2，其中a∈R（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣1＝0垂直，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若∀x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b ＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数，射线与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数，x∈R．（Ⅰ）当时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2017年辽宁省鞍山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B{x|2x＞4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|﹣1≤x≤1}【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，∴∁U B＝{x|x≤2}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z（1+i）＝1﹣2i，得＝，则复数z对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．3．（5分）若（x2+m）（x﹣）6的展开式中x4的系数为30，m的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由＝（x2+m）（x6﹣•2x4+•4x2﹣…），其展开式中x4的系数为：m•（﹣•2）+•4＝30，化简得﹣12m+60＝30，解得m＝．故选：B．4．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．21【解答】解：∵a n2＝a n•a n+1（n≥2），﹣1∴数列{a n}是等比数列，设其公比为q，∵a2＝3，a2+a4+a6＝3+3q2+3q4＝21，即q4+q2﹣6＝0，解得q2＝2或q2＝﹣3（舍），∴a4+a6+a8＝a2（q2+q4+q6）＝3（2+4+8）＝42．故选：C．5．（5分）已知向量，满足，（+）⊥，，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量，满足，（+）⊥，，∴（+）•＝+＝1+＝0，即＝﹣1．再根据（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，可得＝2，||＝，∴＝1••cosθ＝﹣1，∴cosθ＝﹣，θ＝，故选：D．6．（5分）执行如图程序框图（见上图），如果输入的x，t均为2，S＝（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：模拟执行程序，可得x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1满足条件k≤t，M＝2，S＝5，k＝2满足条件k≤t，M＝2，S＝7，k＝3不满足条件k≤t，退出循环，输出S的值为7．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝cos（x+）sin x，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T＝2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x＝对称【解答】解：∵函数f（x）＝cos（x+）sin x＝（cos x﹣sin x）•sin x＝sin2x ﹣•＝（sin2x+cos2x）﹣＝sin（2x+）﹣，故它的最小正周期为＝π，故A不正确；令x＝，求得f（x）＝﹣＝，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）＝sin（2x+）﹣为增函数，故C不正确，故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．8C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V＝，故选：C．9．（5分）已知f（x）＝log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M 在直线（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A．B．8C．D．4【解答】解：当x＝2时，log a（x﹣1）+1＝1恒成立，故f（x）＝log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M（2，1），∵点M在直线（m＞0，n＞0）上，故，故m+n＝m+n（m+n）（）＝2+1+（）≥3+2＝3+2，即m+n的最小值为3+2，故选：A．10．（5分）已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．D．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|＝|FP|．故当PQ∥y轴时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|＝2﹣（﹣1）＝3．设点P（1，y），代入抛物线方程12＝4y，解得y＝，∴P（1，）．故选：D．11．（5分）已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+1）+f（1﹣x）＝2，当x ＞1时，f（x）＝，则关于x的方程f（x）+2a＝0没有负实根时实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，，）∪（，+∞）D．（﹣2，）∪（，0）【解答】解：∵f（x+1）+f（1﹣x）＝2，∴f（x）的图象关于点（1，1）对称，作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）+2a＝0没有负实根，∴﹣2a≤1或﹣2a≥2，解得a≥﹣或a≤﹣1．故选：A．12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵若，∴M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．∵OM为△NF2F1的中位线．|OM|＝a，∴|NF1|＝2 a．∵OM⊥MF，∴NF2⊥NF1，于是可得|NF|＝2b，设N（x，y），则c﹣x＝2a，于是有x＝c﹣2a，y2＝﹣4c（c﹣2 a），过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2＝4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2＝4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2＝ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1＝0，所以e＝，负值已经舍去．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣4．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最小，此时z最小．由，得，即A（﹣2，﹣1），此时z的最小值为z＝﹣2﹣2＝﹣4，故答案为：﹣414．（5分）现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为．【解答】解：现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，基本事件总数n＝＝90，甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作包含的基本事件个数：m＝＝12，∴甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率：p＝＝＝．故答案为：．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝tan225°，a5＝13a1，设S n为数列{（﹣1）n a}的前n项和，则S2017＝﹣3025．n【解答】解：依题意，d＝＝3tan225°＝3，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，∴S2017＝﹣（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）＝﹣•（a1+a2017）+（a2+a2016）＝﹣•（a1+a2017）+（a1+a2017）＝﹣•（a1+a2017）＝•（﹣1+3×2017﹣2）＝﹣3025，故答案为：﹣302516．（5分）给出下列五个命题：①“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题；②从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为60°的有48对；③“m＜﹣2”是方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充分不必要条件；④点P（x，y）是曲线m|x|+n|y|＝1（m＞0，n＞0）上的动点，且满足≤4，则的取值范围是[2，+∞）；⑤若随机变量ξ服从正态分布N（3，4），且P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a＝．其中正确命题的序号是②④⑤（请把正确命题的序号填在横线上）．【解答】解：对于①，“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”是真命题，它的逆否命题“x+y≠5，则x≠2或y≠3”也是真命题，∴①错误；对于②，正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有＝66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，且一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有3×6＝18；∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有66﹣18＝48对，②正确；对于③，m＜﹣2时，m2﹣1＞0，m+2＜0，方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线，充分性成立；方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线时，，解得m＜﹣2，即必要性成立；∴m＜2是方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件，③错误；对于④，由m|x|+n|y|＝1（a＞0，b＞0），当x，y≥0时，化为mx+ny＝1；当x≥0，y≤0时，化为mx﹣ny＝1；当x≤0，y≥0时，化为﹣mx+ny＝1；当x≤0，y≤0时，化为﹣mx﹣ny＝1；画出方程表示的轨迹如图所示：其轨迹为四边形ABCD．+≤4，变形为+≤4，上式表示点M（0，1），N（0，﹣1）与图象上的点P的距离之和≤4；∴，化为m≥，n≥；∴m+2n≥×+2×＝2，∴的取值范围是[2，+∞），④正确；对于⑤，随机变量ξ～N（3，4），且P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，解得a＝，⑤正确；综上，中正确的命题序号是②④⑤．故答案为：②④⑤．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝3，△ABC的面积为，又＝2，∠CBD＝θ．（1）求a，A，cos B；（2）求cos2θ的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为＝bc sin A，可得：＝，可得：sin A＝，又A为锐角，可得：A＝，再由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝22+32﹣2×＝7，解得a＝，可得：cos B＝＝＝．（2）由＝2，知CD＝1，由△ABD为正三角形，即BD＝3，且sin B＝＝，cosθ＝cos（﹣B）＝cos cos B+sin sin B＝＝，cos2θ＝2cos2θ﹣1＝．18．（12分）（理科）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，P A＝PB＝，（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求二面角P﹣AC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，由P A＝PB＝，AB＝2，知△P AB为等腰直角三角形，∴PO＝1，PO⊥AB，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，知△ABC为等边三角形，∴CO＝，由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD；（2）如图所示，以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，﹣1，0）得：＝（，1，0），＝（0，1，1），设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，则x＝，z＝1，即＝（，﹣1，1），平面BAC的一个法向量为＝（0，0，1），设二面角P﹣AC﹣B大小为θ，易知其为锐角，所以cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．19．（12分）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析．现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在[90，100]段各不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）平均分＝0.05×45+0.15+55+0.2×65+0.3×0.75+0.25×85+0.05×95＝72分．众数的估计值是75分．（2）在[90，100]段的人数80×0.05＝4（人），设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为P，则P＝＝，显然，X的可能取值为0，1，2，3．由X～B，∴P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．∴X的分布列为：∴E（X）＝＝．20．（12分）过椭圆C：（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，A、B分别为椭圆C的左顶点和上顶点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动直线l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O．问是否存在一个定圆与动直线l总相切．若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，所以，．由AB∥OP，得，解得b＝c，，由，得，，椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的圆．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由已知，以MN为直径的圆恒过原点O，即，所以x1x2+y1y2＝0．当直线l垂直于x轴时，x1＝x2，y1＝﹣y2，所以，又，解得，不妨设，或，，即直线l的方程为或，此时原点O到直线l的距离为．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+m，解消去y得方程：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，因为直线l与椭圆C交于M，N两点，所以方程的判别式△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，即m2＜3（k2+2），且，．由x1x2+y1y2＝0，得x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝，所以，整理得m2＝2（1+k2）（满足△＞0）．所以原点O到直线l的距离．综上所述，原点O到直线l的距离为定值，即存在定圆x2+y2＝2总与直线l 相切．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2，其中a∈R（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣1＝0垂直，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若∀x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1），（x＞﹣1），函数f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝，∵函数f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣1＝0垂直，∴，∴；（2）∵＝，（x＞﹣1），h（x）＝2ax2+2ax+1，①当△＝（2a）2﹣4×2a×1＝4a2﹣8a≤0，函数f（x）单调，即当0≤a≤2时，函数f（x）无极值点；②当△＝4a2﹣8a＞0时，即a＜0或a＞2，当a＜0时，方程2ax2+2ax+1＝0，有一正一负两根x1，x2，x1+x2＝﹣1，∴x1＜﹣1，x2＞0，故函数f（x）有一个极值点；当a＞2时，方程2ax2+2ax+1＝0，有两个负根，∵x1+x2＝﹣1，∴x1＞﹣1，x2＞﹣1，故函数f（x）有两个极值点；（3）由（2）得：①当0≤a≤2时，函数f（x）单调递增，∀x＞0，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；②当a＜0时，故函数f（x）有一个极值点x2＞0，x∈（0，x2）函数f（x）递增，x∈（x，+∞）递减，∀x＞0，f（x）≥0不恒成立，故不符合题意；③当a＞2时，函数f（x）有两个极值点x1，x2，0＞x1＞﹣1，0＞x2＞﹣1，函数f（x）单调递增，∀x＞0，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；综上，a的取值范围为：[0，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b ＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数，射线与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．【解答】解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线C1的方程为（φ为参数），或．设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的方程为ρ＝2R cosθ，（或（x﹣R）2+y2＝R2）．将点代入ρ＝2R cosθ，得，即R＝1．（或由，得，代入（x﹣R）2+y2＝R2，得R＝1），所以曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．（Ⅱ）因为点A（ρ1，θ），在曲线C1上，所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数，x∈R．（Ⅰ）当时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）＝由f（x）≥4得或，解得x≤﹣1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}；（Ⅱ）由绝对值的性质得，所以f（x）最小值为，从而，解得，因此a的最大值为．。
【全国百强校】辽宁省鞍山市第一中学2017届高三上学期第一次模拟考试理数(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. sec1200=（ ）A ．B ．C ．12- D ．-2 【答案】D 【解析】试题分析：111sec12002cos1200cos(3360120)cos120====-︒⨯︒+︒︒,故选D.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.2. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 【答案】B考点：集合的运算. 3. 设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为2121012x x x x +->⇔<->或，所以“12x >”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式的解法；2.充分条件与必要条件.4.=⎰（ ）A ．πB ．2πC.4πD ．0【答案】C 【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，该积分式表示圆221x y +=在第一象限部分与坐标由所围成的封闭区域的面积，所以4π=⎰，故选C.考点：定积分的几何意义.5. 若0.522log 3log 0.5a b c π===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C. c a b >> D ．b c a >> 【答案】A 【解析】试题分析：因为0.521,0log 31a π=><<即01b <<，2log 0.50c =<，所以a b c >>，故选A. 考点：指数函数、对数函数的性质.6. 已知2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ） A ．15 B ．16 C.17 D ．18 【答案】D 【解析】考点：导数与函数的单调性与极值.7. 函数||(1)xx a y a x=>的图象大致形状是（ ）【答案】B考点：1.分段函数的表示与图象;2.指数函数的性质.8. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1) C. (,1)-∞ D ．[0,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩与函数y x a =+的图象，由图可知，当1a <时，两个函数的图象有两个不同的公共点，所以当1a <时，方程()f x x a =+有两个不相等的实数根，故选C.考点：函数与方程.9. 4cos50tan 40-=（ ）A B D ．1- 【答案】C 【解析】考点：1.两角和与差的正弦；2.同角三角函数基本关系；3.诱导公式.【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦、同角三角函数基本关系、诱导公式，属中档题；利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.10. 设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123x x x ，，满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．2026(,]33 B ．2026(,)33 C. 11(,6]3 D ．11(,6)3【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩的图象，作直线y a =与该函数的图象相交，有三个公共点，由图可知，23176,03x x x +=-<<，所以1231163x x x <++<，故选D.考点：1.函数与方程；2.数形结合. 11. 已知函数2()sin 21x f x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++=（ ） A ．0 B ．5 C. 4 D ．1 【答案】B考点：1.函数的表示；2.指数运算；3.三角函数的性质；4.函数图象的对称性.【名师点睛】本题考查.函数的表示、指数运算、三角函数的性质，函数图象的对称性,属中档题；若函数满足()()f a x f a x b ++-=时，函数的图象关于点(,)a b 对称，本题中()()2f x f x +-=，所以函数图象关于点(0,1)对称，解题基本思想就是利用这一性质求解的.12. 已知函数22,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞ C. [2,1]- D ．[2,0]- 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y ax =的图象，因为当0x ≤时，2()2y f x x x ==-，22y x '=-，02x y ='=-，即当直线y ax =与2()2y f x x x ==-相切时，2a =-，数形结合可得|()|f x ax ≥，a 的取值范围是[2,0]-.考点：1.导数的几何意义；2.函数与不等式.【名师点睛】 本题考查导数的几何意义、函数与不等式，属中档题；函数与不等式是高考的热点与难点，通常通过函数的图象、导数等知识求解，函数图象在高中数学不等式问题中的运用，可将函数不等式问题变得形象直观，把复杂问题变得简单，把抽象问题变得具体，将数的大小问题变成形位置问题，简化解题步骤.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知sin cos 11tan()1cos 222αααβα=-=-，，则tan β=____________.【答案】13【解析】考点：三角恒等变换.14. 若()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又有(3)0f -=，则()0xf x <的解集是_________. 【答案】(3,0)(0,3)-【解析】试题分析：由函数的单调性与奇偶性的关系可知，在区间(,0)-∞上，函数()f x 单调递增，又(3)0f -=，所以当0x <时，()0xf x <的解集是(3,0)-，在区间(0,)+∞上，函数()f x 单调递增，且(3)0f =，所以当0x >时，()0xf x <的解集是(0,3)，所以()0xf x <的解集是(3,0)(0,3)-.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.15. 对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________. 【答案】1(1,1)e+ 【解析】考点：1.导数与函数的极值、单调性；2.新定义下函数数的值域与最值问题；【名师点睛】本题考查新定义下函数的值域问题和函数极值、最值问题，属中档题；对于新定义问题，要根据题意将问题适当转化为熟悉的问题求解，旨在考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.下列函数①xy e x =+；②2y x =；③3sin y x x =-；④ln ||,00,0x x x ≠⎧⎨=⎩是“H 函数”的所有序号为_______. 【答案】①③ 【解析】考点：1.新定义问题；2.导数与函数的单调性.【名师点睛】本题考查新定义问题、导数与函数的单调性，属中档题；函数单调性的判断方法主要有定义法与导数法，用导数判定时，先求函数的导数()f x '，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<时，函数()f x 单调递减.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知函数())12f x x x R π=-∈，.（1）求()3f π的值；（2）若33cos (,2)52πθθπ=∈，，求()6f πθ-. 【答案】（1）1；（2）15-. 【解析】试题分析：(1)将3x π=代入解析式，直接计算即可；(2)由33cos (,2)52πθθπ=∈，，求出sin θ的值，利用两角差的余弦公式展开计算即可.试题解析： （1）())33124f ππππ=-=)=1.………………4分（2）∵33cos (,2)52πθθπ=∈，，4sin 5θ==-，∴1())cos sin sin )64445f ππππθθθθ-=-=+=-.……………………10分考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换. 18. （本小题满分12分）已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2a >；(2) 12a ≤≤. 【解析】考点：1.对数函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题；3.全称命题与特称命题.【名师点题】本题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题，属容易题；当两个命题均为真命题时，“p q ∧”为真命题，其余为假命题，当两个命题均为假命题时，“p q ∨”为假命题，其余为真命题，由此可得“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，是解本题的关键.19. （本小题满分12分）已知函数()(sin cos )sin 2f x a x x x =++，其中a R ∈. （1）当2a =时，求()f x 值域；（2）若()f x 最小值为()g a ，求()g a 表达式及()g a 最大值.【答案】(1) [2,1-+；(2)21,()1,1,4a g a a a a ⎧⎪≤-⎪=≥⎨⎪⎪---<<⎩，且其最大值为1-.【解析】试题解析： （1）设sin cos x x t +=，[t ∈,则2sin 21x t =-，所以221y t t =+-，求得值域为[2,1-+.………………6分 （2）21[y t at t =+-∈，，当a ≥()13g a =≤-，当a ≤-时，()13g a =+≤-，当a -<<时，2()114a g a =--≤-.综上21,()1,1,4a g a a a a ⎧⎪+≤-⎪=≥⎨⎪⎪---<<⎩，且其最大值为-1.………………12分考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的图象与性质. 20. （本小题满分12分）已知函数22()(23)()xf x x ax a a e x R =+-+∈，其中a R ∈. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； （2）当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.【答案】(1) 3e ；(2)当23a >时，()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数，函数()f x 的极大值为2(2)3a f a ae --=,函数()f x 的极小值为2(2)(43)a f a a e --=-；当23a <时，()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数，函数()f x 的极大值为2(2)(43)a f a a e --=-，函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)3a f a ae --=.【解析】（2）解：22'()[(2)24]x f x x a x a a e =++-+.令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-.由23a ≠知，22a a -≠-. 以下分两种情况讨论： 若23a >，则22a a -<-.当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值，属中档题；求函数的单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x ''=，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()y f x =的间断点(即()y f x =的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()y f x =的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.21. （本小题满分12分）已知定义在R 上的函数满足：()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x <.（1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）解关于x 的不等式：22()(2)()(2)f ax f x f ax f a ->-.（其中0a >且a 为常数）.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 当2a a <，即a >不等式解集为2{|x x a <或}x a >；当2a a=，即a =不等式解集为{|x x ≠；当2a a >，即0a <<时，不等式解集为{|x x a <或2}x a >. 【解析】试题解析： （1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得：(0)(0)(0)f f f =+，即(0)0f =.再令0x y +=，即y x =-，得：(0)()()f f x f x =+-.∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数.………………4分（2）设12x x R ∈、，且12x x <，则120x x -<.由已知得：12()0f x x -<，∴121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<，∴12()()f x f x <.即()f x 在R 上是增函数.………………8分（3）∵22()(2)()(2)f ax f a f ax f x +>+，∴22(2)(2)f ax a f a x x +>+，∴2222ax a a x x +>+.即22(2)20ax a x a -++>.∵0a >，22()20x a x a -++>， ∴2()()0x x a a-->.当2a a <，即a >时，不等式解集为2{|x x a<或}x a >.当2a a=，即a =时，不等式解集为{|x x ≠.当2a a >，即0a <<时，不等式解集为{|x x a <或2}x a >.………………12分考点：1.函数的奇偶性与单调性；2.二次不等式的解法；3.函数与不等式.22. （本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x a x x =--.（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值；（2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n ≥时，2211132ln 2ln 3ln 22n n n n n --+++>+. 【答案】(1) 18a =；(2) 12a ≥；(3)见解析. 【解析】试题解析： （1）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x =-， ∵()f x 在2x =处取得极小值，∴'(2)0f =，即18a =. 此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18a =.………………2分 （2）∵1'()2f x ax x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾.………………4分②当0a >时，221'()ax f x x-=， 令'()0f x >，得x >'()0f x <，得0x <<.考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式；3.数列与不等式.：。
辽宁省鞍山市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则31ii+=-（ ） A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i +2.已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 3.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.设向量(1,cos )a θ=与(1,2cos )b θ=-垂直，则cos 2θ等于（ ）A ．2B ．12 C.0 D ．-15.若0.522log 3log 0.5a b c π===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C. c a b >> D ．b c a >> 6.设:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假 C.p q ∧为假 D ．p q ∨为真 7.将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象经过点3(,0)4π，则ω的最小值是（ ） A ．13 B ．1 C.53D ．2 8.已知函数平面上,,A B C 三点不共线，O 是不同于,,A B C 的任意一点，若()()0OB OC AB AC -+=，则ABC ∆是（ ）三角形A ．等腰B ．直角 C. 等腰直角 D ．等边 9.4cos50tan 40-=（ ）A ．1 10.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123x x x ，，满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．2026(,]33 B ．2026(,)33C. 11(,6]3 D ．11(,6)311.已知函数2()sin 21xf x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++=（ ）A ．0B ．5 C. 4 D ．212.已知函数22,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞ C. [2,1]- D ．[2,0]-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 11tan()1cos 222αααβα=-=-，，则tan β=____________.14.若()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又有(3)0f -=，则()0xf x <的解集是_________.15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为_________.16.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.下列函数①xy e x =+；②2y x =；③3sin y x x =-；④ln ||,00,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 是“H 函数”的所有序号为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数())12f x x x R π=-∈，.（1）求()3f π的值；（2）若33cos (,2)52πθθπ=∈，，求()6f πθ-. 18. （本小题满分12分）已知向量(sin ,cos 2sin )(1,2)a b θθθ=-=，. （1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||a b =，0θπ<<，求θ的值. 19. （本小题满分12分）已知函数22()(23)()x f x x ax a a e x R =+-+∈，其中a R ∈. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； （2）当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 20. （本小题满分12分）已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.（1）求a b ，的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()(1)ln f x a x x =--.（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D E ，为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结AC AE DE ，，. 求证：E C ∠=∠.23.（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A B C D ，，，依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π.（1）求点A B C D ，，，的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围；24.（本小题满分10分）已知a R ∈，设关于x 的不等式|2||3|24x a x x -++≥+的解集为A .（1）若1a =，求A ；（2）若A R =，求a 的取值范围.2016-2017学年高三（17届）一模数学文科答案一、选择题1-5:DBACA 6-10:CDACD 11、12：BD 二、填空题 13.13 14. (3,0)(0,3)- 15. 1216.①③ 三、解答题17.解：（1）())33124f ππππ=-=)=1.………………4分（2）∵33cos (,2)52πθθπ=∈，，4sin 5θ=-，∴1())cos sin sin )64445f ππππθθθθ-=-=+=- (10)分18.解：（1）因为//a b ，所以2sin cos 2sin θθθ=-，………………2分 于是4sin cos θθ=，故1tan 4θ=.………………4分于是sin(2)42πθ+=-………………9分 又由0θπ<<知，92444πππθ<+<， 所以5244ππθ+=或7244ππθ+=，因此2πθ=或34πθ=．………………12分19.解：（1）当0a =时，22()'()(2)x xf x x e f x x x e ==+，，故'(1)3f e =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为3e .………………4分 （2）解：22'()[(2)24]xf x x a x a a e =++-+. 令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-.由23a ≠知，22a a -≠-. 以下分两种情况讨论： 若23a >，则22a a -<-.当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数. 函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)3a f a ae --=. 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-. 若23a <，则22a a ->-，当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数. 函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)(43)a f a ae --=- (12)分20.解：（1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =.………………4分 又(1)(1)f f -=-，得1a =. 经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=---- 21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220xx ->，又∴12(21)(21)0x x ++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数.………………8分 （3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立， ∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-， ∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-.即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-.………………12分21.解：（Ⅰ）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x=-， ∵()f x 在2x =处取得极小值，∴'(2)0f =，即18a =. 此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18a =.………………4分 （Ⅱ）∵1'()2f x ax x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾.………………6分②当0a >时，221'()ax f x x-=，令'()0f x >，得x >'()0f x <，得0x <<. 1>，即102a <<时，x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾.……………………8分1≤，即12a ≥时，[1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意.综上，12a ≥.………………12分 22.证明：如图，连结OD ，因为BD DC =，O 为AB 的中点，所以//OD AC ，于是ODB C ∠=∠.因为OB OD =，所以ODB B ∠=∠.于是B C ∠=∠.因为点A B D E ，，，都在圆O 上，且D E ，为圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以E ∠和B ∠为同弧所对的圆周角， 故E B ∠=∠，所以E C ∠=∠. 23.解：（1）由已知可得(2cos ,2sin )33A ππ，(2cos ,2sin)3232B ππππ++，(2cos ,2sin )33C ππππ++，33(2cos,2sin )3232D ππππ++，即(1((1,1)A B C D --，，，.（2）设(2cos ,3sin )P ϕϕ，令2222||||||||S PA PB PC PD =+++，则2216cos 36sin 16S ϕϕ=++ 23220sin ϕ=+.因为20sin1ϕ≤≤，所以S 的取值范围是[32,52].24.解：（1）当3x ≤-时，原不等式化为3224x x --≥+，综合得3x ≤-. 当132x -<≤时，原不等式化为424x x -+≥+，综合得30x -<≤. 当12x >时，原不等式为3224x x +≥+，得2x ≥.综上，{|0A x x =≤或2}x ≥.（2）当2x ≤-时，|2||3|024x a x x -++≥≥+成立.当2x >-时，|2||3||2|324x a x x a x x -++=-++≥+得1x a ≥+或13a x -≤， 所以12a +≤-或113a a -+≤，得2a ≤-， 综上，a 的取值范围为2a ≤-.。
【数学】辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试(期中)数学(文)试题含解析
2017——2018学年高三（18届）二模试卷数学文科一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以，故选A.2. 设复数，且，则等于（）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】C【解析】复数，且，3. 若向量，，满足条件与共线，则的值为（）A. -2B. -4C. 2D. 4【答案】B【解析】向量，，，所以，所以与共线，所以，截得，故选B.4. 数列的前项和为，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：，所以．考点：裂项相消求和5. 已知命题，“为真”是“为假”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:因“为真”,故为假，则“为假”；反之不成立，即“为真”是“为假”的充分不必要条件.应选A.考点：充分必要条件的判定及运用.6. 已知，，且，则向量与向量的夹角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解析】由得，则，故选B.7. 已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求导函数可得函数在点(1,f(1))处切线的斜率为1，∴f′(1)=1，∴ .本题选择D选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8. 已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．9. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是四棱锥，其中底面是以边长为的正方形，四棱锥的高为，所以几何体的体积为，故选B.10. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A........................考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的最值.11. 已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题①若，则②若，则③若，则④若，则⑤若，则中真命题个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】①垂直于同一平面的两个平面不一定平行，所以是错误的；②若，则当相交时，；当，不相交时，不成立，所以是错误的；③若，则成立，所以是正确的；④若，则或，所以是错误的；⑤根据垂直与同一平面的两条直线平行可得，若，则成立，所以是正确的，故选选C.点睛：本题主要考查了空间中直线与平面位置的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行、平面与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记直线与平面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.12. 定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，则，因为，所以，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因为，即，所以，故选A．考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是奇函数，则__________．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，所以，解得.14. 已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】2【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过A点时取最小值2考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 双曲线与抛物线有相同的焦点，且相交于两点，连线经过焦点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由为公共焦点，可知，即，因为抛物线与双曲线都关于轴对称，所以两点关于轴对称，所以直线的方程为，代入双曲线的方程，可得，即，因为在抛物线上，所以，又，所以，即，解得或（舍去）.点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及的关系式是解答的关键.16. 已知，圆上存在点，满足条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】设，因为，圆上存在点，满足条件，所以，即，所以点在圆心为，半径为的圆上，又点在圆上，所以圆与圆有公共点，因为圆的圆心，半径为，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围为.点睛：本题主要考查了直线与圆的问题的综合应用，其中解答中涉及到圆与圆的位置关系，圆的标准方程及圆心坐标、半径的知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中要认真审题，主要圆的性质、圆与圆的位置关系的合理应用是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据得出递推式，确定为等比数列，再计算，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：（1）当时，，即，解得.当时，，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.所以.（2）因为，所以.18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点，，，求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图，连接交于，可得，即可证得平面；（2）三棱柱中，可得底面，可得，即可得，在矩形中，由，可得，即可得平面.试题解析：（1）证明：如图，连接交于，则为中点，连接，∵为棱的中点，∴，又平面，平面∴平面，（2）三棱柱中，侧棱底面，可得∵为棱的中点，，∴面，即，在矩形中，∵，∴，∴，，即.∴，且，∴平面.19. 在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和正弦函数公式化简已知等式可得，由于，利用同角三角函数的基本关系式可求，结合范围，即可求的值；（2）由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算.试题解析：（1）∵，∴由正弦定理可得：，又∵，∴，∵，∴解得：，∵，∴.（2）∵，，∴由余弦定理可得：，即：，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为.20. 已知过点的椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的任意一点，且成等差数列.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角，，由此列出不等式求出的取值范围.试题解析：（1）∵成等差数列，∴，由椭圆定义得，∴；又椭圆过点，∴；∴，解得，；∴椭圆的标准方程为；（2）设，，联立方程，消去得：；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴，，①由方程的根与系数关系可得，；②可得；③由①②③，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，，∴；即，整理得，，解得：或.∴实数的取值范围是或.点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识的综合应用，着重考查了学生的推理与运算能力，同时考查了函数与方程思想，数形结合思想的应用，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程的联立，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.21. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，即可求解函数的单调区间；（2）问题可化为对一切恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的取值范围即可；（3）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性即可作出证明. 试题解析：（1），得由，得∴的递增区间是，递减区间是（2）对一切，恒成立，可化为对一切恒成立.令，，当时，，即在递减当时，，即在递增，∴，∴，即实数的取值范围是（3）证明：等价于，即证由（1）知，（当时取等号）令，则，易知在递减，在递增∴（当时取等号）∴对一切都成立则对一切，都有成立.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数恒成立问题的求解等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把要证明的结论转化为新函数的性质是解答的关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数的关系式，利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围．试题解析：（1）由得．∵，,，∴曲线的直角坐标方程为，即；（2）将代入圆的方程得.化简得．设两点对应的参数分别为，则∴ ,.∴,∵∴或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，即可求解不等式的解集；（2）求出的最小值，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于，或或故不等式的解集是或；（2）∵，∴，∴，∴.。
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试物理试题 Word版含解析
第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1-6小题只有一个选项正确，7-10小有多个选项正确，全部选对得4分，选不全的得2分，有选错、多选或不选的得0分）1．许多科学家对物理学的发展做出了贡献，下列表述正确的是（）A．库仑最先提出了电荷周围存在电场的观点，并通过研究电荷间的相互作用总结出库仑定律B．密立根通过油滴实验测定了元电荷的数值C．伽利略通过“理想实验”得出“力是维持物体运动的原因”D．牛顿发现了万有引力，并测出了万有引力常量【答案】B考点：物理学史【名师点睛】本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆。
亚里士多德认为力是维持物体运动的原因，认为物体越重下落的越快．伽利略认为力不是维持物体运动的原因；卡文迪许最早成功地测出了引力常量；法拉第最先提出了电荷周围存在电场的观点。
2.a、b两车在两条平行的直车道上同方向行驶，它们的v-t图象如图所示，在t=0时刻，两车间距离为d；t=5s的时刻它们第一次相遇，关于两车之间的关系，下列说法正确的是（）A．t=15s的时刻两车第二次相遇B．t=20s的时刻两车第二次相遇C．在5～15s的时间内，先是a车在前，而后是b车在前D．在10～15s的时间内，两车间距离逐渐变大【答案】A考点：速度时间图象【名师点睛】在速度时间图象中，需要掌握三点，一、速度的正负表示运动方向，看运动方向是否发生变化，只要考虑速度的正负是否发生变化，二、图像的斜率表示物体运动的加速度，三、图像与坐标轴围成的面积表示位移，在坐标轴上方表示正方向位移，在坐标轴下方表示负方向位移。
由图象可知a做匀减速运动，b做匀加速运动，相遇说明在同一时刻两车在同一位置．根据图象与坐标轴围成的面积表示运动的位移，分析a、b两车各个时刻的位置情况即可求解。
3.汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P．快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶，如图四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（）【答案】C 【解析】试题分析：汽车匀速行驶时合力为零即牵引力等于阻力；功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P=Fv ，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动，由公式P=Fv 可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故物体做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，物体将再次做匀速直线运动，故C 正确。