高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分布乘法计数原理课件理
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理新人
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进 行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任 务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到 总数．
3．混合问题一般是先分类再分步． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清 楚，便于探索规律．
(2)第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节 课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共 有 2×4×3＝24(种)排法．
因此不同的安排方案共有 12＋24＝36(种)．
角度三 几何问题 [典题 5] 已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( C ) A．40 B．16 C．13 D．10
[典题 1] (1)[2017·重庆铜梁第一中学月考]如果把个位 数是 1，且恰好有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那 么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好 数”共有( C )
A．9 个 B．3 个 C．12 个 D．6 个
18版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数
角度二 选派或分配问题 [典题 4] 某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教
师去上课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上 一节课，第一节课只能从 A，B 两人中安排一人，第四节课只能 从 A，C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？
[ 解]
(1)第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二
节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人， 共有 4×3＝12(种)排法． (2)第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节 课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共 有 2×4×3＝24(种)排法． 因此不同的安排方案共有 12＋24＝36(种)．
角度四 集合问题 [典题 6] 已知集合 M＝{1,2,3,4}， 集合 A， B 为集合 M 的非
空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y 恒成立，则称(A，B)为集合 M
17 的一个“子集对”，则集合 M 的“子集对”共有________ 个．
[解析]
当 A＝{1}时，B 有 23－1＝7(种)情况；
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是
在处理具体的应用问题时， 首先必须弄清楚“分类”与“分 步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计 数的重复或遗漏． 2．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进 行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”， 完成了所有步骤， 恰好完成任 务， 当然步与步之间要相互独立， 分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到 总数． 3．混合问题一般是先分类再分步． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清 楚，便于探索规律．
高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
【答案】84 【解析】先种A地有4种，再种B地有3种，若C地跟A地种相同的花， 则C地有1种，D地有3种；若C地跟A地种不同的花，则C地有2种，D地 有2种．即不同种法种数N＝4×3×1×3＋4×3×2×2＝84.
5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶 数的不同取法的种数是________．
【答案】(1)A (2)120 【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种 不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法， 第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的 排列方法． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一 个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根 据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．
种数为
()
A．120
B．210
C．336
D．504
(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，
y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答)．
【答案】(1)D (2)10 【解析】(1)分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新 节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝ 504种不同的插法． (2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5 种取法．由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个)．
【答案】120 【解析】由分步乘法计数原理，从1,2,3分别各取1本书，不同的取 法有4×5×6＝120(种)．
用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分 步．有时可能应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成， 分步的方法可能会采取分类的思想求解．
高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版的全部内容。
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（)A．24 B．18 C．12 D．9答案：B解析：由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18（种)走法，故选B。
2．[2016·新课标全国卷Ⅲ］定义“规范01数列”｛a n｝如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…,a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个 B．16个C．14个 D．12个答案：C解析：由题意可得，a1＝0,a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111,00010111，00011011，00011101，00100111,00101011，00101101，00110011，00110101,01000111，01001011,01001101，01010011，01010101，共14个．3．［2016·四川卷]用数字1，2，3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（)A．24 B．48C．60 D．72答案：D解析：由题意可知，个位可以从1,3，5中任选一个，有A1，3种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有A4，4种方法，所以奇数的个数为A错误!A错误!＝3×4×3×2×1＝72，故选D。
2020高考数学大一轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布1第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理
[迁移探究 1] (变条件)在本例(1)中，若 m∈{1，2，…，k}，n ∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？ 解：因为 m>n. 当 m＝k 时，n＝1，2，…，k－1. 当 m＝k－1 时，n＝1，2，…，k－2. … 当 m＝3 时，n＝1，2. 当 m＝2 时，n＝1. 所以共有 1＋2＋…＋(k－1)＝k（k2－1）(个)．
分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于 不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以 用分类加法计数原理．
1．如图，从 A 到 O 有________种不同的走法(不重复过一点)．
3．从－1, 0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)＝ ax2＋bx＋c 的系数，则可组成________个不同的二次函数，其 中偶函数有________个(用数学作答)． 解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取 法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数 原理知共有 3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数， 则 b＝0，同上可知共有 3×2＝6(个)偶函数． 答案：18 6
利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任 务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得 到总方法数． [提醒] 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干 扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
两个计数原理的综合应用(多维探究)
角度一 涂色、种植问题
全国通用近年高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1。
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;2。
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
知识梳理1。
分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。
则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法。
2。
分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法。
3。
分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步"问题，各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[常用结论与微点提醒］1。
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【易错点索引】
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
D.45
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2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取,
所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类,
当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种,
D.5种
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2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
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2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
2021/4/17
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机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
高三数学一轮复习 第十一篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数
第十一篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修23) 第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点、方法题号分类加法计数原理1,2,4,6,10,12,13,14分步乘法计数原理3,5,8,9,11,15两个计数原理的综合7,16基础对点练(时间:30分钟)1.小明同学的书架上层放有8本不同的数学书,下层放有10本不同的英语书,小明要从中拿出一本书,则共有不同的拿法的种数为( C )(A)8 (B)10 (C)18 (D)80解析:从上层拿有8种不同的拿法,从下层拿有10种不同的拿法,根据分类加法计数原理,共有8+10=18(种)不同的拿法.2.一件工作可以用2种方法完成,有3人会用第1种方法完成,另外5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是( A )(A)8 (B)15 (C)16 (D)30解析:由分类加法计数原理知有3+5=8(种).3.小刚同学要从6个不同的人文课外活动小组和4个不同的自然课外小组中各选择一个参加,则他有不同的选择方法数为( D )(A)4 (B)6 (C)10 (D)24解析:各选择一个小组参加,可以分为两个步骤完成.第一步从人文小组选择一个,有6种不同选法;第二步从自然小组选择一个,有4种不同选法.根据分步乘法计数原理,共有不同选法6×4=24(种).4.从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船,某人某天要从甲地到乙地,共有不同走法的种数是( A )(A)26 (B)60 (C)18 (D)1 080解析: 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26(种)不同走法.5.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( C )(A)30个(B)42个(C)36个(D)35个解析:b有6种取法,a也有6种取法,由分步乘法计数原理共可以组成6×6=36(个)虚数. 6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( D )(A)3 (B)4 (C)6 (D)8解析:以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数列有8个.7.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为( B )(A)24 (B)14 (C)10 (D)9解析:两个原理的联合运用,4×3+2=14(种).8.如图所示2×2方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字,则不同的填法共有种.A BC D解析:可分三步:第一步,填A,B方格的数字,填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2,则方格B只能填入1;若方格A填入3,则方格B只能填入1或2;若方格A填入4,则方格B只能填入1或2或3);第二步,填方格C的数字,有4种不同的填法;第三步,填方格D的数字,有4种不同的填法.由分步计数原理得,不同的填法总数为6×4×4=96. 答案:969.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,则可组成不同的三位数的个数为.解析:分三步确定百位、十位、个位,注意到百位不能为0,且正反两面可用.第一步:百位可放8-1=7(个)数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成7×6×4=168(个)三位数.答案:16810.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.解析:正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”,12条棱共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.答案:36能力提升练(时间:15分钟)11.用数字1,2, 3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( C )(A)8 (B)24 (C)48 (D)120解析:偶数的个位数是偶数,分四步完成.第一步,安排个位,有2种不同的安排方法;第二步,安排十位,有4种不同的安排方法;第三步,安排百位,有3种不同的安排方法;第四步,安排千位,有2种不同的安排方法.根据分步乘法计数原理,共可组成2×4×3×2=48个不同的四位偶数.12.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( A )(A)72种(B)48种(C)24种(D)12种解析:先分两类.一是四种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有一种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用三种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有两种涂法.故不同的涂法共有24+24×2=72(种).13.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为( B )(A)4 (B)6 (C)9 (D)12解析:如图所示,根据题意,1,2,9三个数字的位置是确定的,余下的数中,5只能在a,c位置,8只能在b,d位置,依(a,b,c,d)顺序,具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8),(6,7,5,8),(6,8,5,7),(7,8,5,6),合计6种.14.椭圆+=1的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3, 4,5,6,7},则满足条件的椭圆的个数为.解析:因为方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m>n>0.以m的取值进行分类.①当m=1时,n值不存在;②当m=2时,n可取1,只有1种选择;③当m=3时,n可取1,2,有2种选择;④当m=4时,n可取1,2,3,有3种选择;⑤当m=5时,n可取1,2,3,4,有4种选择;由分类加法计数原理可知,符合条件的椭圆共有10个.答案:1015.从集合A={1,2,3,4}到集合b={a,b,c}可以建立种不同的映射,从集合B到集合A可以建立种不同的映射.解析:根据映射的定义,集合A中的元素1有3种对应方法,元素2,3,4也各有3种对应方法,只有这四个元素都找到了对应的元素这个映射才算完成,根据分步乘法计数原理共有3×3×3×3=81(种)不同的映射;同理集合B到集合A可以建立4×4×4=64(种)不同的映射. 答案:81 6416.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有种不同的安排方法.解析:首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类:第一类:2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有3×1=3种选法.第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有2×3×1=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步乘法计数原理知共有2×3×2=12(种)选法.再由分类加法计数原理知共有6+12=18(种)选法.第三类:2人全被选出,同理共有1+2×3×2+3=16(种)选法.所以共有3+18+16=37(种)选法.答案:37精彩5分钟1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中千位为2的“六合数”共有( B )(A)18个(B)15个(C)12个(D)9个解题关键:除千位外其余三位数字之和为4进行分类.解析:首位数字为2,则其余三位数字之和为4.数字0,0,4的有3个,0,1,3的有6个,0,2,2有3个,1,1,2的有3个.共有15个.2.一张五元人民币换成一毛、两毛、五毛的纸币,换法的总数是( C )(A)144 (B)145 (C)146 (D)147解题关键:按五毛纸币的枚数分类,分类后注意一毛纸币是取奇数还是偶数.解析:归结为方程x+2y+5z=50的非负整数解的组数.如果z=0,则x+2y=50,此时x只能是偶数,x=0,2,4,…50,共26种可能;如果z=1,则x+2y=45,此时x只能是奇数,x=1,3,5,…,45,共23种可能;如果z=2,则x+2y=40,此时x只能是偶数,x=0,2,4,…,40,共21种可能;如果z=3,则x+2y=35,此时x只能是奇数,共18种可能;如果z=4,则x+2y=30,此时x只能是偶数,共16种可能;如果z=5,则x+2y=25,此时x只能是奇数,共13种可能;如果z=6,则x+2y=20,此时x只能是偶数,共11种可能;如果z=7,则x+2y=15,此时x只能是奇数,共8种可能;如果z=8,则x+2y=10,此时x只能是偶数,共6种可能;如果z=9,则x+2y=5,此时x只能是奇数,共3种可能;如果z=10,则x+2y=0,只有1种可能.综上可知总数为1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26=146.。
高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有( )
A.12种
B.24种
C.64种
D.81种
(2)(2023安徽铜陵三模)若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动, 两家企业均要求既有女生又有男生,则不同的分配方案有( )种.
A.20
B.28
C.32
D.64
答案 (1)C (2)B 解析 (1)根据题意,第一天值班可以安排4名职员中的任意1人,有4种排班方 法, 同理第二天和第三天也有4种排班方法,
根据分步乘法计数原理可知,不同排班方法的种数为4×4×4=64.故选C.
(2)先安排2名男生,保证每个小组都有男生,共有2种分配方案; 再安排4名女生,若将每个女生随机安排,共有24=16种分配方案; 若女生都在同一小组,共有2种分配方案,故保证每个小组都有女生,共有242=14种分配方案. 所以共有2×14=28种分配方案.故选B.
根据分类加法计数原理,不同的安排方法种数为8+6=14. 故选C.
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②80
(2)5
(3)20
利用分类加法计数原理解题时的注意事项 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准 要统一，不能遗漏； (2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于 某一类，不能重复．
[典题 2] (1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由 一层到五层的走法有( A．10 种 C．52 )
已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若 a，b， c∈M，则： (1)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函 数？其中偶函数有多少个？ (2)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个图象开口向上 的二次函数？
答案：(1)D (2)120
[探究 1]
本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人
至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不 限”，则有多少种不同的报名方法？
解： 每人都可以从这三个比赛项目中选报一 项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数 原理，可得不同的报名方法共有 36＝729 种．
B．25 种 D．24 种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人， 且每人至多参加一项，则不同的报名方法有________种．
[听前试做]
(1)由一层到二层、由二层到三层、由三层
到四层、由四层到五层各有 2 种走法，故共有 2×2×2×2 ＝24 种不同的走法． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项 目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法， 第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同 的报名方法共有 6×5×4＝120 种．
(3)在分步乘法计数原理中， 每个步骤中完成这个步 骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的， 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
答案：(1)×
(2)√
(3)√
(4)×
2．从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主 题班会，则不同的选法种数为________．
考纲要求： 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2． 会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解 决一些简单的实际问题．
两个计数原理
分类加法计数原理 完成一件事有两类方案． 在 条 第 1 类方案中有 m 种不同 分步乘法计数原理 完成一件事需要 两个步骤 ． 做 第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法
(3)当 m＝1 时，n＝2,3,4,5,6,7 共 6 种 当 m＝2 时，n＝3,4,5,6,7 共 5 种； 当 m＝3 时，n＝4,5,6,7 共 4 种； 当 m＝4 时，n＝5,6,7 共 3 种； 当 m＝5 时，n＝6,7 共 2 种，故共有 6＋5＋4＋3＋2＝20 种．
答案：(1)①165
②完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法． 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法． 综上知，共有 30＋30＋20＝80(种)选法．
(2)分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A→B→O 和 A→C→O 2 种 不同的走法；第三类，中间过两个点，有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的走法，由分类加法计数原理 可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法．
答案：8
[典题 1] (1)高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；高 三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人． ①从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席，有________种不同的选法； ②从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选 一名学生任学生会体育部长，有________种不同的选法．
[探究 2]
本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人
至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项 目不限”，则有多少种不同的报名方法？
解：每人参加的项目不限，因此每一个项目都 可以从这六人中选出一人参赛， 根据分步乘法计数 原理，可得不同的报名方法共有 63＝216 种．
(1) 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的 过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满 足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤 都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不 干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
件 的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 结 论 完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法
[自我查验] 1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误 的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法 可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能 直接完成这件事．( )
(2)如图，从 A 到 O 有________种不济南模拟)若椭圆 m＋ n ＝1 的焦点在 y 轴上， 且 m ∈ {1,2,3,4,5} ， n ∈ {1,2,3,4,5,6,7} ，则这样的椭圆的个数为 ________．
[听前试做] (1)①完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法， 根据分类加法计数原理， 任选一名学生任学生会主席共有 50＋60＋55＝165(种)选法．
答案：5
3． 在所有的两位数中， 个位数字大于十位数字 的两位数共有________个．
答案：36
4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a＋bi，其中虚数有________．
解析：36
5． 从集合{1,2,3， …， 10}中任意选出三个不同的数， 使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ________．