2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第33练含解析
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第34练 Word版含解析
1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－2≤φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6＜α＜2π3)，求cos(α＋3π2)的值．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．3．(2017·贵阳第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值； (2)若x ∈0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．5．(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)当x ∈0，π2]时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A 2)＝3，且a ＝4，b＋c ＝5，求△ABC 的面积．答案精析1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z.由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.(2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6)，所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，即sin(α－π6)＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.2．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，可得2sin B cos A＝3(sin C cos A＋sin A cos C)，即2sin B cos A＝3sin B.因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝3 2，所以A＝π6，则C＝π－A－B＝2π3.设AC＝m(m＞0)，则BC＝m，所以CM＝12m.在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos 2π3，即(7)2＝14m2＋m2－2·12m·m·(－12)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC ＝12CA·CB sin2π3＝12×2×2×32＝ 3.3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3. (2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3，可知θ∈(0，2π3)．由正弦定理及AD＝3，得BDsinθ＝ABsin(2π3－θ)＝ADsinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3－θ) ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin(θ＋π6)．由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6)，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.4．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题意知C (－22，22)，所以OC →＋OD →＝(－22＋t ，22)，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝(t－22)2＋12(0≤t ≤1)．所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin(2x ＋π4)．因为x ∈0，π2]，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)取得最大值1.所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.5．解(1)f(x)＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin(2ωx＋π3)＋32，因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝sin(2x＋π3)＋3 2.又0≤x≤π2，则π3≤2x＋π3≤4π3，所以－32≤sin(2x＋π3)≤1，所以0≤sin(2x＋π3)＋32≤32＋1，即函数y＝f(x)在x∈0，π2]上的值域为0，32＋1]．(2)因为f(A2)＝3，所以sin(A＋π3)＝32.由A∈(0，π)，知π3＜A＋π3＜4π3，解得A＋π3＝2π3，所以A＝π3.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16＝(b＋c)2－3bc.因为b＋c＝5，所以bc＝3，所以S△ABC ＝12bc sin A＝334.。
江苏专用2020版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理 训练目标 （1）向量知识的综合运用：（2）向量与其他知识的结合.训练题型（1）向量与三角函数；（2）向量与解三角形：（3）向量与平而解析几何：（4）与平 而向量有关的新建义问题.解题策略 （1）利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；（2） 解决向虽:与平面解析几何问题的基本方法是坐标法：（3）新泄义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.2. 设0在△磁的内部，。
为M 的中点，且N+厉+2疋=0,则△磁的而积与的面积的比值为 _______ .3. （2016 •南通、连云港、扬州、淮安三模）在平行四边形如?中，若花・AD=AC •丽3, 则线段川Q 的长为 ______ .0 sin —> co^/3sin|—J, cos ~\, 〃W （0, n ）,并且满足 a 〃b,则〃的值为 ___________________ •5. （2016 •安徽六安一中月考）已知△磁是边长为1的正三角形，动点M 在平而磁内， 若知・AB<0, ;3f|=l,则市•乔的取值范囤是 _______________ .6. 在平而直角坐标系中，已知乳一2,0）, 5（2,0）, C （l, 0）,尸是x 轴上任意一点，平面上 点"满足：莎•筋2万/•压对任意尸恒成立，则点“的轨迹方程为 __________ .7. 在△磁中，已知乔•庞二tan 月，则当A=^-时，△磁的而积为 ______________ . O8. （2016 •南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）如图，在同一平而内，点月位于两平行直 线加"的同侧，且力到皿力的距离分别为1,3,点5 Q 分别在血力上，乔+庞1=5,则蔚•庞的最大值是 _________\a 当』&不共线时, I a-b ,当厶，b 共线时4.已知向量&=（ 9•泄义一种向量运算“列:或b=(* &是任意的两个向量).对于同一平而内的向量a，b、c, e,给出下列结论：①必6=戾&;②久(a®&)=(人a) ®b(人G R)；③(tf+2>)®c=a^c+£^c：④若e是单位向疑，贝IJI^e M al+1.以上结论一泄正确的是________ .(填上所有正确结论的序号)10.已知m xWR,向M a—(-Y»— m) ♦ b— ((zo+l)-¥> X)・(1)当也>0时，若a<\b ,求X的取值范围；⑵若d • b>l~m对任意实数x恒成立，求山的取值范用.答案精析1. 90°2.43.^34.y5.[-1, -*)解析如图，以川为原点，曲为x轴建立直角坐标系，则5(1,0),设M(x, y),而・AB=(x, y)・(l,0)=x<0,由市=1 得(AT-|)=+(y-^)3=l, 所以一扌Wx<0,所以赤~AB= (AT—|» y—穿)•(1, 0) =x—扣［―1, 一》.6.-v=0解析设P(-Yo.O), y),则由面•莎鼻万/•看可得G—及)(2—及)2%—1, A^GR恒成立,即轴一(x+2) xo+x+120, AO^R恒成立，所以4 = C Y+2)**—4C Y+D W0,化简得/W0, 则x=0,即x=0为点"的轨迹方程.17-6解析已知A=^.6由题意得AB AC cos — = tan —.则AB AC =扌,所以△/!證的面积S=* AB AC• sin y=|x|x|=i解析设尸为氏的中点，则AB+AC=2AP,从而由厉+花=5得菲=魯又AB*AC=(AP夕5 25+丽・(彷+花=乔一厉=〒一厉，因为反22,所以西故茜•花W -—1=亍，当且仅当BC\=2时等号成立.9.①④解析当a, b共线时，a®b= a—b=b —a =b®a,当a, b不共线时，a®b = a • b=b • a=b®a,故①是正确的；当4=0, bHO 时，/I (a®b)=0, (Aa)®b= 0—b|H0,故②是错误的；当a + b 与c 共线时，则存在a,b 与c 不共线，(a+b)®c= a+b —c ,a®c+b®c=a • c + b • c, 显然a+b —c [ Ha • c + b • c,故③是错误的；当e与a不共线时，a®e = a • e < a • e < a +1,当e与a共线时，设a=ue, uGR, a®e i = a—e = ue —e= \u~l +1,故④是正确的.综上，结论一泄正确的是①④.10.解(1)由题意得|a|==Y+^,b S=(zff+1):/+Z因为|a V b|,所以|a|=<)b =,从而¥+加V (血+1) "Y+x〔因为皿>0,所以(誥讦vf,解得x<或-Y>^7・即X的取值范用是一命M希'+8).(2)a • b=(2zr+l)x —/or.由题意，得(m-\~ 1) x—mx> 1 —m对任总的实数x恒成立，即(JW4- 1) x—mx-\~m—1>0对任意的实数x恒成立.当加+1=0,即也=一1时，显然不成立，所以也 > — ],解得2y/3 r2^3也〉或历V 2 >所以曲爭.即加的取值范围是（攀，+8）.。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)
专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.( × ) (5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )1.设a ，b ，c 为平面向量，有下面几个命题： ①a ·(b －c )＝a·b －a·c ； ②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③(a －b )2＝|a|2－2|a||b |＋|b |2； ④若a·b ＝0，则a ＝0，b ＝0. 其中正确的有________个. 答案 1解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a||b |cos θ＋|b |2知③不正确；对于④，∵a·b ＝|a||b |·cos θ＝0，∴|a |＝0或|b |＝0或cos θ＝0.∴a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故④不正确.2.(教材改编)已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝________. 答案 －16解析 画图可知向量BC →与CA →夹角为角C 的补角(图略)，故BC →·CA →＝BC ×AC cos(π－C )＝4×8×(－12)＝－16.3.(教材改编)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________.答案3解析 ∵a·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.4.(教材改编)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是________. 答案 －3解析 b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 因为AM →＝23AE →＝23(AD →＋12AB →)＝23AD →＋13AB →， MB →＝23DB →＝23(AB →－AD →)，所以AM →·MB →＝(23AD →＋13AB →)·23(AB →－AD →)＝16，所以AB →·AD →＝34.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°.若E 为DC 的中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 1解析 (1)设AB ＝m (m >0)，以向量AB →，AD →为基底，在▱ABCD 中，AB ＝m ，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝4－12m －12m 2，因为AE →·BD →＝1，得m 2＋m －6＝0，因为m >0，所以m ＝2，所以BD →·BE →＝BD →·(BC →＋CE →)＝(AD →－AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－32AB →·AD →＋12AB →2＝4－3＋2＝3，故BD →·BE →＝3.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝________.(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________.答案 (1)30° (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD ，→＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为________.答案 3解析 令AC ＝b ，由题意得 AB →·AC →＝4b cos 120°＝－2b ， 因为点D 在边BC 上， 且BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，从而AD →2＝(13AB →＋23AC →)2，又因为AD ＝273，所以289＝169＋4b 29－8b9，整理得b 2－2b －3＝0，解之得b ＝3(b ＝－1舍去)，即AC 的长为3.(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角等于150°，b 与c 的夹角等于120°，|c |＝2，求|a |，|b |. 解 由a ＋b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2，b 2＋c 2＋2b·c ＝a 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋|b |2＋2|a||b |cos 150°＝4，|b |2＋4＋2·2·|b |cos 120°＝|a |2， 解之得|a |＝23，|b |＝4. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是____________.答案 (1)π3(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得， 21＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋1－10cos θ， 即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2，1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________. 答案 (1)9 (2) 6解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2016·南通调研)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝(cos(A ＋π3)，sin(A ＋π3))，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n . (1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长.解 (1) 因为m ⊥n ，所以m·n ＝cos(A ＋π3)cos B ＋sin(A ＋π3)sin B＝cos(A ＋π3－B )＝0.又A ，B ∈(0，π2)，所以A ＋π3－B ∈(－π6，5π6)，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈(0，π2)，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(B ＋π6)＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310.由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在△ABC 中，已知C ＝π6，m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的值；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0， 因为C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0， 即3sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1(舍负)，所以AB ＝BC ＝3.所以S △ABC ＝12BA ·BC sin B＝12×3×3×sin 2π3＝934.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1，1)，B (3，3).求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.1.(2016·苏州期末)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝________. 答案 9解析 先由a ⊥(a －b )，得a·(a －b )＝0，即a 2＝a·b ，再代入数据. 把a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，代入a 2＝a·b ，得5＝x －4，所以x ＝9. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝________. 答案 2 3解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60° ＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3.已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为________. 答案32解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4.(2016·常州期末)已知平面向量a ＝(4x ，2x)，b ＝(1，2x －22x )，x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________.答案 2解析 因为a ⊥b ，所以4x＋2x×2x －22x ＝4x ＋2x－2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x ＝1，故a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)， 故a －b ＝(0，2)，故|a －b |＝2.5.(2017·江苏扬州中学质检)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －5解析 AB →＋BC →＋CA →＝0两边平方得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝0， 又AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，从而有2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝－10， 故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－5.6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.答案2解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋2－0＝ 2.7.(2016·南京调研)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝______.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ，其中|a |＝|b |＝1，则DC →＝2a ，AM →＝2b . 由AC →·BM →＝－3得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a·b ＝32.方法二 建立平面直角坐标系，使得A (0，0)，B (4，0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2，3sin α)，M (2cos α，2sin α).由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2，3sin α)·(2cos α－4，2sin α)＝－3，化简得cos α＝18.所以AB →·AD →＝12cos α＝32.8.(2016·南通调研)已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________. 答案274解析 如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (－3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1， 23)，P (0，332)，所以PB →·PD →＝274.9.已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10.(2016·南京、盐城调研)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC→的值为________.答案 －2解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝(AC →＋23CB →)·BC →＝[AC →＋23(AB →－AC →)]·BC →＝(23AB →＋13AC →)·(AC →－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2.11.(2016·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________. 答案 －2解析 设M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，由题设知B (0，y 0)，A (x 0＋y 02，x 0＋y 02)，从而MA →＝(y 0－x 02，x 0－y 02)，MB →＝(－x 0，0)，故MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，因为M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，所以x 0y 0＝x 20＋4，从而有MA →·MB →＝x 20－x 0y 02＝－42＝－2.*12.(2016·苏北四市调研)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________. 答案 [6－1，6＋1]解析 因为OA →·OB →＝|OA →|×|OB →|×cos 〈OA →，OB →〉＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，所以〈OA →，OB →〉＝π3，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (2，0)，B (22，62). 令OP →＝OA →＋OB →＝(322，62)，则|OP →|＝6，因为|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OP →－OC →|＝1，所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径的圆，而|OP →|＝6，则|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].13.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 14.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC 中，B ＝π4，D 是边BC 上一点，AD ＝5，CD ＝3，AC ＝7.(1)求∠ADC 的值； (2)求BA →·DA →的值.解 (1)在△ADC 中，由余弦定理得 AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ＝AC 2， 52＋32－2×5×3×cos ∠ADC ＝72， 所以cos ∠ADC ＝－12.又因为0<∠ADC <π，所以∠ADC ＝2π3.(2)由(1)得∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB ，得AB ＝AD sin ∠ABD×sin ∠ADB ＝562.所以BA →·DA →＝562×5×cos(π－π4－π3)＝25(3－3)4.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案 －BC →＋12BA →解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析 由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析 若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析 由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________. (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________. 答案 (1)－2 (2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解 因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2.4.容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在. 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向 ④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析 取BC 的中点D ，连结PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25，∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则mn ＝________. 答案 12解析 因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p的值是________.答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________.答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
A版2018版高考数学理一轮专题复习课件专题5 平面向量 精品
第一步,观察并将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和 或差；
第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,…） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步 中的式子,从而得到结果．
第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量．
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
3.平面向量的坐标运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
考点29
✓ 考法3 平面向量基本定理的应用
✓ 考法4 平面向量的共线问题 ✓ 考法5 平面向量的坐标表示与运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
应注意的是,基底的选择并不唯一，只 要两个向量不共线，都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐 标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y 轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同 的向量是相等向量．
江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数33平面向量的概念与线性运算课件文
0 b∥c，则a∥c.其中正确的个数是________ ． 【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于
②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向 量不能比较大小，故③错；对于④，若b＝0，则a与c不一定平 行，故④错．
3. ( 必修 4P57 习题 2 改编 ) 对于非零向量 a ， b ，“ a∥b”是 必要不充分 “a＋b＝0”成立的_________________( 从“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个 ) 条 件．
【备考策略】 1. 高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、 垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要．解答 题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数 列交汇出现综合题．应突出向量的工具性． 2. 复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以 小题形式出现，都为基础题．
变式
→ → → → → →＝ →＋ →＋ →＋ → .. 所以 所以 2 2CD CD ＝CA CA ＋CB CB ＋AD AD ＋BD BD → → →＝ →， 又因为 又因为AD AD ＝2 2DB DB ，
2. 几个特殊的向量 (1) 零向量： ________________ 长度为零的向量 ，记作 0 ，其方向是任意 的．
长度等于1个单位长度的向量． (2) 单位向量：__________________________
方向相同或相反的非零向量 (3) 平行向量：____________________________ ，平行向量 又称为共线向量，规定0与任一向量共线．
长度相等且方向相同的向量 ． (4) 相等向量：____________________________
【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第31练 Word版含解析
1．(2016·佛山期中)已知点M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP→＝12MN →，则点P 的坐标是______________．2．(2016·南京一模)在△ABC 中，BD →＝2DC →.若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为______________．3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为________．4．(2016·哈尔滨三模)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为________．5.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________．6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 7．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．8．(2016·常州一模)在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB→＝a ，AC →＝b ，则AG →＝______________.(用a ，b 表示) 9．(2016·南京二模)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.10．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC 的长为________．11．若P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.12．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．13．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋2μ的最小值是______________．14.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________．答案精析1．(－1，－32) 2.29 3.－13 4.12 5．3解析 ∵AP→＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →＝13AD →－13AB →＝13×23AC →－13AB →＝29AC →－13AB →，∴AP→＝AB →＋29AC →－13AB →＝23AB →＋29AC →. 又AP→＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3. 6.12解析 如图，DE→＝BE →－BD →＝23BC →－12BA → ＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝(12－23)AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 7．(0，13)解析 因为O 在线段CD 上，且BD→＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23＜λ＜1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)． 8.13a ＋13b解析 AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB→＋λ2(BA →＋BC →)＝(1－λ2)AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB→＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b ，又AG→＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m 2)AC →＋m 2(AB →－AC →) ＝(1－m )AC→＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，所以λ＝m ＝23，所以AG→＝13a ＋13b. 9.34解析 根据向量加法的平行四边形法则可知BE→＝12(BA →＋BO →)＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD→，所以λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.10．3解析 以A 为坐标原点，AC→的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，则C (3,0)，设B (x ，x )(x ＞0)，则由CD→＝2DB →，得D (2x ＋33，2x 3)，由AD ＝13，得x ＝3，所以BC＝(x －3)2＋x 2＝3. 11．{(－13，－23)}解析 P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎨⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n ，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 12．k ＝1解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 13.83解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB→＋13(AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →.设AD→＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD →＝xλAB →＋yμAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧xλ＝23，yμ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23x ，μ＝13y ，故λ＋2μ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋x y ＋1≥ 23⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ·x y ＝83. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．14．－1,1]解析 设∠P AE ＝α，建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)， F (1.5,0.5)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP→＝λED →＋μAF →， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cos α＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是－1,1]．。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第33课 平面向量的概念与线性运算含答案
第33课平面向量的概念与线性运算A 应知应会1。
给出下列四个命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a，b 之一方向相同；②在△ABC中，必有++=0;③若++=0,则A，B，C为三角形的三个顶点;④若a，b均为非零向量，则|a+b|与|a｜+｜b|一定相等.其中假命题是。
（填序号)2.若向量a，b不共线,且a+mb与-(b—2a）共线,则实数m的值为.3。
在△ABC中，M为边BC上一点，N为AM的中点.若=λ+μ，则λ+μ=.4。
在△ABC中，点M,N满足=3，=。
若=x+y，则x+y= 。
5.已知向量a=2e1—3e2，b=2e1+3e2,c=2e1—9e2,其中e1,e2不共线，问:是否存在这样的实数λ，μ，使得向量d=λa+μb与c共线?6.如图,四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC,AB的中点.设=a，=b,=c，试用a，b,c表示,,+。
（第6题)B 巩固提升1.已知向量e1，e2不共线,=3（e1+e2),=e2—e1，=2e1+e2.给出下列四个结论:①A，B，C三点共线；②A，B，D三点共线；③B，C,D三点共线；④A,C，D三点共线.其中正确的结论为。
(填序号）2。
在平行四边形ABCD中，=a，=b,=3,M为BC的中点，则= 。
(用a，b表示)3。
若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|—｜=|+—2|,则△ABC的形状为.4.(2016·如东期中）已知P是△ABC内一点，且+2+3=0.若Q为CP 的延长线与AB的交点，令=p,则= .（用p表示)5.已知a,b是不共线的两个非零向量.（1）若=2a-b,=3a+b,=a—3b,求证:A，B,C三点共线;（2）若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;（3）设=ma,=nb，=αa+βb,其中m，n，α，β均为实数,m≠0，n≠0,若M,P，N三点共线，求证：+=1。
2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第五章 平面向量 §5.2 平面向量的数量积
(江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组
自主命题·江苏卷题组
OA OB OC OC 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 2 与OA 的夹角
OB OC OC 为α,且tan α=7, 与 的夹角为45°.若 = m +OA n (mOB ,n∈R),则m+n=
5sin θ),
因为 =3 ,所以P(5cos θ+2,5sin θ), PD CP
从而 =(5cos θ+2,5sin θ), =(5cos θ-6,5sin θ), AP BP 因为 · =2, AP BP 所以(5cos θ+2,5sin θ)· (5cos θ-6,5sin θ)=2,
7 2 10
2 10
∴| OM |=
又 OC =m OA +n OB = OM + ON ,| OA |=| OB |=1,
∴m= ,n= , ∴m+n=3.
5 4
7 4
2.(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, CP =3 PD, AP· BP =2,则
FD BE BF 由②③可得 · = · +3 =-1+ = . CE CF
2 1 = 2 ( 1 ( 1 1, 5 = + =DE 1 + + )= - DA AD )AB AC AB AB CE CD CB = CB AC AC 2 3 2 3 2 3 6 6 1 1 = BD + = BF DF + DA BC 2 3
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1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12
【AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．
3．【2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD
→＝3，则线段AC 的长为________．
4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2
，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4， b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈【0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为________． 5．【2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面
ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB
→的取值范围是________． 6．在平面直角坐标系中，已知A 【－2,0)，B 【2,0)，C 【1,0)，P 是x 轴上任意一点，
平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，
则点M 的轨迹方程为______．
7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________． 8．【2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC
→的最大值是________．
9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎨⎧
a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时 【a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ【a ⊗b )＝【λa )⊗b 【λ∈R )；
③【a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．【填上所有正确结论的序号)
10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝【x ，－m )，b ＝【【m ＋1)x ，x )．
【1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；
【2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
答案精析
1．90° 2.4 3.3 4.π3
5．－1，－12)
解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 【1,0)，C 【12，32)，
设M 【x ，y )，AM →·AB →＝【x ，y )·【1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得【x －12)2＋【y －32
)2＝1， 所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝【x －12，y －32)·【1,0)＝x －12∈－1，－12)．
6．x ＝0
解析 设P 【x 0,0)，M 【x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得【x －x 0)【2－x 0
)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－【x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝【x ＋2)2－4【x
＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16
解析 已知A ＝π6，
由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6
， 则|AB →||AC →|＝23
， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16. 8.214
解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52
，又AB →·AC →＝【AP →＋PB →)·【AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254
－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC
→|＝2时等号成立． 9．①④
解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|
＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；
当λ＝0，b ≠0时，λ【a ⊗b)＝0，【λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，【a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c|≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；
当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e|
＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
10．解 【1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2，
|b|2＝【m ＋1)2x 2＋x 2.
因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，
从而x 2＋m 2＜【m ＋1)2x 2＋x 2.
因为m ＞0，所以【m m ＋1
)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞m m ＋1
. 即x 的取值范围是
【－∞，－m m ＋1)∪【m m ＋1
，＋∞)． 【2)a·b ＝【m ＋1)x 2－mx .
由题意，得【m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即【m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．
当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以
⎩⎨⎧
m ＋1＞0，m 2－4(m ＋1)(m －1)＜0， 解得⎩⎨⎧ m ＞－1，
m ＞233或m ＜－233 ，
所以m ＞233. 即m 的取值范围是【233，＋∞)．。