高中数学 正弦、余弦函数的性质(2)教案 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数与余弦函数的性质教案 新人教A版必修4
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复习导入、展示目标。
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)教案 新人教版必修4-新人教版高二必修4数学教案
课题正弦函数、余弦函数的性质（2）授课时间 4.23 课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.过程与方法 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,。
情感态度价值观 3 学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.教材分析重难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.教学设想教法引导探究学法自学探究教具多媒体直尺,圆规课堂设计一、目标展示.我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.二 .预习检测①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?三质疑探究先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(-∞,+∞)〕.对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),(1)当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.(2)当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.对于余弦函数y=cosx(x∈R),(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.四 精讲点拨 例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么. (1)y =cosx +1,x ∈R ;(2)y =-3sin 2x ,x ∈R .例2数y =sin (21x +3π),x ∈[-2π,2π]的单调递增区间. 解:令Z =21x +3π.函数y =sin Z 的单调递增区间是［2π-+2k π,2π+2k π］.由-2π+2k π≤21x +3π≤2π+2k π,得35π-+4k π≤x ≤3π+4k π,k ∈Z .由x ∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4k π且3π+4k π≤2π,于是121-≤k ≤125,由于k ∈Z ,所以k =0,即35π-≤x ≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y =sin (2x +3π),x ∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］.五当堂测试 课本本节练习 解答:1.(1)(2k π,(2k +1)π),k ∈Z ;(2)((2k -1)π,2k π),k ∈Z ; (3)(-2π+2k π,2π+2k π),k ∈Z ;(4)(2π+2k π,23π+2k π),k ∈Z .点评:只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果,不要求解三角不等式,要注意结果的规X 及体会数形结合思想方法的灵活运用.2.(1)不成立.因为余弦函数的最大值是1,而cosx =23>1. (2)成立.因为sin 2x =0.5,即sinx =±22,而正弦函数的值域是[-1,1],±22∈[-1,1]. 点评:比较是学习的关键,反例能加深概念的深刻理解.通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质. 3.(1)当x ∈{x |x =2π+2k π,k ∈Z }时,函数取得最大值2;当x ∈{x |x =2π-+2k π,k ∈Z }时,函数取得最小值-2.(2)当x ∈{x |x =6k π+3π,k ∈Z }时,函数取得最大值3;当x ∈{x |x =6k π,k ∈Z }时,函数取得最小值1.点评:利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质,结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质,快速写出所给函数的最大值、最小值. 4.B点评:利用数形结合思想认识函数的单调性.这是一道选择题,要求快速准确地选出正确答案.数形结合是实现这一目标的最佳方法.5.(1)sin 250°>sin 260°; (2)cos815π>cos 914π; 六 作业布置判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=xsin (π+x );(2)f (x )=xxsin 1cos sin 12-++-.板书设 计一奇偶性 三 例题1 二单调性 四 例题2 教学反思。
高中数学 必修四 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)教案 新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学过程第1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其中T 是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2k π(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R )是周期函数,所有非零实数T 都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x 有f(x+T)=f(x),那么T 就不是f(x)的周期.例如,分别取x 1=2k π+4π(k∈Z ),x 2=6π,则由sin(2k π+4π+2π)≠sin(2k π+4π),sin(6π+2π)≠sin 6π,可知2π不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是对所有x 都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2k π(k∈Z ,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T 是函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z ,k≠0,kT 也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数T 都是它的周期,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:若T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…呢?怎样求?实际上,由于T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.讨论结果:①略.②定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R ;(2)y=sin2x,x∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x∈R . 活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π). 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x)中,T 是相对于自变量x 而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R )的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2.例如,在第(3)小题,y=2sin(21x-6π),x∈R 中,ω=21,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx 的周期为2π.根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=ωπ2=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R 上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R 上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T 的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+π)=2sin 2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin 2x+｜cosx ｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x 以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π, 2π等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin31(π-x)的周期. 解:因为y=2sin 31(π-x) =-2sin(31x-3π), 所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.假设T 是正弦函数的周期,且0<T<2π,那么根据周期函数的定义,当x 取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=2π, 代入上式,得sin(2π+T)=sin 2π=1, 但sin(2π+T)=cosT,于是有cosT=1. 根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T 必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x 的一切值都成立. 例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义. 2.(1)38π; (2)2π; (3)2π; (4)6π.点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x的系数有关.3.可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质扩展到整个定义域.点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察与归纳,特殊到一般,定义法,数形结合,辩证的观点)作业1.课本习题 A组3,B组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?(1)(2)图2活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2k π,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2k π,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cos x(x∈R ),(1)当且仅当x=2k π,k∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4就是说,函数y=sinx,x∈［-2,2］. 当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2k π,2π+2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2k π,23π+2k π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,余弦曲线还关于点(2π,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:①略.②定义域为R .③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的定义域相同,都为R ,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,也是由于y 轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.应用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R ;(2)y=-3sin2x,x∈R .活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2k π,k∈Z };使函数y=cosx+1,x∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z }.函数y=cosx+1,x∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-2π+2k π,k∈Z }, 由2x=Z =-2π+2k π,得x=-4π+k π. 因此使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+k π,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+k π,k∈Z }. 函数y=-3sin2x,x∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设Z =ωx+φ化归为y=Asin Z +B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-). 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π. 因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数, 所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-). 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π>0,cos 53π<0,显然大小立判. 例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成Z ,这样问题就转化为求y=sin Z 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是 ［2π-+2k π,2π+2k π］. 由-2π+2k π≤21x+3π≤2π+2k π,得35π-+4k π≤x≤3π+4k π,k∈Z . 由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4k π且3π+4k π≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.思路2例1 求下列函数的定义域: (1)y=xsin 11+;(2)y=cosx . 活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x ｜x≠23π+2k π,k∈Z }. (2)由cosx≥0,得2π-+2k π≤x≤2π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为［2π-+2k π,2π+2k π］(k∈Z ). 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果.本例分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.例2 在下列区间中,函数y=sin(x+4π4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］ 活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的. 解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在[2k π-2π,2k π+2π](k∈Z )上是递增的,故令2k π-2π≤x+4π≤2k π+2π. ∴2k π-43π≤x≤2k π+4π. ∴y=si n(x+4π)的递增区间是[2k π-43π,2k π+4π]. 取k=-1、0、1分别得[411π-,47π]、[43π-,4π]、[45π,49π], 对照选择肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2π 解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sin θ,要使上式取得最大值,可取θ=2π. 答案:A2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间. 解:y=21sin(4π-32x )=-21sin(32x -4π). 由2k π-2π≤32x -4π≤2k π+2π, 可得3k π83π-≤x≤3k π+89π(k∈Z ),为单调减区间; 由2k π+2π≤32x -4π≤2k π+23π, 可得3k π+89π≤x≤3k π+821π(k∈Z ),为单调增区间. 所以原函数的单调减区间为［3k π83π-,3k π+89π］(k∈Z ); 原函数的单调增区间为［3k π+89π,3k π+821π］(k∈Z ). 知能训练课本本节练习解答:1.(1)(2k π,(2k+1)π),k∈Z ;(2)((2k-1)π,2k π),k∈Z ; (3)(-2π+2k π,2π+2k π),k∈Z ;(4)(2π+2k π,23π+2k π),k∈Z . 点评:只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果,不要求解三角不等式,要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用.2.(1)不成立.因为余弦函数的最大值是1,而cosx=23>1.(2)成立.因为sin 2x=0.5,即sinx=±22,而正弦函数的值域是[-1,1],±22∈[-1,1]. 点评:比较是学习的关键,反例能加深概念的深刻理解.通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质.3.(1)当x∈{x|x=2π+2k π,k∈Z }时,函数取得最大值2;当x∈{x|x=2π-+2k π,k∈Z }时,函数取得最小值-2.(2)当x∈{x|x=6k π+3π,k∈Z }时,函数取得最大值3;当x∈{x|x=6k π,k∈Z }时,函数取得最小值1.点评:利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质,结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质,快速写出所给函数的最大值、最小值.4.B点评:利用数形结合思想认识函数的单调性.这是一道选择题,要求快速准确地选出正确答案.数形结合是实现这一目标的最佳方法.5.(1)sin250°>sin260°; (2)cos 815π>cos 914π; (3)cos515°>cos530°; (4)sin(754π-)>sin(863π-). 点评:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究.6.[k π+8π,k π+85π],k∈Z . 点评:关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题,得到关于x 的不等式,通过解不等式求得答案.作业判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x); (2)f(x)=xx sin 1cos sin 12-++-. 解答:(1)函数的定义域为R ,它关于原点对称.∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠2k π+2π,k∈Z }. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.。
高一下学期数学人教A版必修四教案：正弦函数、余弦函数的性质
1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第一课时> 班级 姓名 【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;2、理解周期函数的概念;3、能熟练地求出简单三角函数的周期。
4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);【教学难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.【教学过程】（2）复习巩固1、画出正弦函数和余弦函数图象。
2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：定义域 值域 y=sinxy=cosx3、下列各等式是否成立？为什么？（1）2 cosx=3， （2）sin 2x=0.54、 求下列函数的定义域:(1)y=xsin 11 ; (2)y=cosx .二、预习提案（阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）1、什么是周期函数？什么是函数周期？注意：①定义域内的每一个x 都有ƒ（x+T ）= ƒ（x ）。
②定义中的T 为非零常数，即周期不能为0。
<小试身手>等式sin(30º+120º)=sin30º是否成立？如果这个等式成立，能否说120º是正弦函数y=sinx ，x ∈R .的一个周期？为什么？2、什么是最小正周期？3周期 最小正周期 y=sinx y=cosx<注>在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.三、探究新课例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x ∈R ;(2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6),x ∈R .练习：求下列函数的周期:（1）x y 43sin=，x ∈R （2）x y 4cos =，x ∈R （3）x y cos 21=，x ∈R （4）)431sin(π+=x y ，x ∈R四、规律总结一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos (ωx+φ), (其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω≠0,x ∈R)的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=A sin(ωx+φ+2π)=As in ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2.五、感悟思考六、作业布置习题1.4A 组 第3题。
[精品]新人教版高中数学必修41.4.2正弦、余弦函数的性质优质课教案
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142正弦、余弦函数的性质教目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质．2、过程与能力目标通过引导生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养生辩证唯物主义观点．教重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
教难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。
正弦、余弦函数的性质(一)教过程：一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变2π-32π-π-2π-02ππ32π2π量x []函数值sin x10 1-0 1 01- 0[]正弦函数()sin f x x =性质如下：（观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2π∈重复出现）3︒ 这个规律由诱导公式sin(2π+)=sin 可以说明[] 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．– –π2π2π-2π5ππ-2π- 5π- Ox y 1 1-也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：1．周期函数定义：对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有：f (+T)=f ()那么函数f ()就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
人教版数学必修四1.4.2《正弦、余弦函数的性质》教案
1.4.2正弦、余弦函数的性质一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，结合正弦、余弦函数图象对三角函数又一深入探讨。
周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充，通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础。
所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用。
2、教学重点和难点重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．二、目标分析学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性；2．会求一些简单三角函数的周期。
(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性。
(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
四、教学过程附：板书设计1.4.2正弦、余弦函数的性质小组成员: 发言人: 协作探究1：（分四人一组进行讨论） 判断下列各题是否正确，并说明理由：1．因为sin()sin 424πππ+=,所以2π是sin y x =的周期.判断： 分析：2.周期函数的周期唯一. 判断： 分析：3.函数f(x)=5是周期函数. 判断： 分析：4.余弦函数y=cosx 是周期函数，最小正周期是π4. 判断： 分析：协作探究2：（分四人一组进行讨论）（1）分别画出下列函数的图象并求函数的最小正周期T 。
人教A版必修4 正弦函数、余弦函数的性质 教案
教学设计1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质．正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深入研究函数性质的思想方法．教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sin x又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？问题②阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对问题①，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1问题②，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，k ∈Z .这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k >0时)或减少(k <0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f (x )对于其定义域内的每一个值，都有：f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数；f (－x )＝f (x )，那么f (x )叫做偶函数；f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是非零常数，那么f (x )叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．讨论结果：①正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．②略．定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题①，学生一时可能难以理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )，那么T 就不是f (x )的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k ∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)≠sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f (x ＋120°)＝f (x )，所以120°不是f (x )的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f (x )的周期，那么对于任意的k ∈Z ，k ≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．讨论结果：①略．②定义法、公式法和图象法．应用示例思路1例1求下列函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(x2－π6)，x∈R.活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x＋2π)＝3cos x，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x＋π)＝－3cos x≠3cos x，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么cos u的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u＋2π时，函数cos u的值重复出现，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x 增加到x＋π且必须增加到x＋π时函数值重复出现．因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[12(x＋4π)－π6]＝2sin[(x2－π6)＋2π]＝2sin(x2－π6)．所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f (x ＋T )＝f (x )中，T 是相对于自变量x 而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.可以按照如下的方法求它的周期： y ＝A sin(ωx ＋φ＋2π)＝A sin[ω(x ＋2πω)＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)． 于是有f (x ＋2πω)＝f (x )， 所以其周期为2πω.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y ＝sin x 的周期为2π. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例1中的第(3)小题：T ＝2πω＝4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法.例1判断函数f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f (x ＋T )＝f (x )成立的T 的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cos x|＝f(x)．所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代等都代入试一试．实际上，在f(x)＝2sin2x＋|cos x|，x∈R 替后看看函数值变不变．为此需将π，π2中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期.课本本节练习解答：1．成立．但不能说12°是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立． 例如sin(20°＋120°)≠sin20°.点评：理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义．2．(1)8π3；(2)π2；(3)2π；(4)6π. 点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x 的系数有关．3．可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域．点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质．可让学生课堂讨论，然后归纳总结．课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些？〔周期函数的概念，最小正周期的定义，正弦、余弦函数的周期性，y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期〕．并思考总结本节都用了哪些数学方法？(观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点)作业1．课本习题 A 组3，B 组3.2．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么，以后有些题就会很难做．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律．让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势． 对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }， 由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z . 由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( )A ．[π2，π]B ．[0，π4]C ．[－π，0]D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函。
人教版高中数学必修四《正弦函数余弦函数的性质》教学设计
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2 教学设计一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。
能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。
情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。
二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。
该内容共两课时，这里讲的是第二课时。
正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。
通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。
三、教学重难点教学重点： 正弦函数、余弦函数的单调性、最值。
教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。
四、教学过程 复习引入： （1）单调性：正弦曲线下面是正弦函数sin ()y x x R =∈图像的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()sin ()y x x R =∈在)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](223,22[Z k k k ∈++ππππ上单调减，函数值从1减小到-1. 余弦曲线 cos ()y x x R =∈cos ()y x x R =∈在)](2,2[Z k k k ∈+-πππ上单调增，函数值从-1增加到1，在)](2,2[Z k k k ∈+πππ上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,取得最大值1②当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时,取得最小值1-余弦函数R x x y ∈=,cos①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 应用一： 正、余弦函数的最值问题例1.以下函数有最大、最小值吗？如果有，求出最大值、最小值，并写出取最大、最小值时的自变量 x 的集合.练习1.求函数y=-3sin2x 的最大最小值，并写出取最大最小值时自变量x 的集合 解：令2t x =，函数sin y t =max 3(1)3y =-⨯-=.4x k ππ=-+Rx x y ∈-=,sin 3)2(Rx x y ∈+=,1cos )1(此时 得：因此 此时x 的取值集合是同理此时x 的取值集合是 方法总结：对形如类型的函数求最值时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时注意函数的定义域。
高中数学下学期 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教案 新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第二课时>【教学目标】1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。
3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。
【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性、对称性)。
【教学难点】利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
【教学过程】一、 复习相关知识 1、填写下表奇函数 定义图象偶函数定义图象2、填写下表中的概念增函数 减函数单调增区间单调减区间最大值及其在图象中的体现最小值及其在图象中的体现3、什么是中心对称、轴对称图形？什么是对称中心、对称轴?二、预习提案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）1、观察正余弦曲线：知：正弦函数是函数，余弦函数是 函数。
并用奇偶函数的定义加以证明。
2、判断下列函数的奇偶性：①)(x f =x sin , ②)(x f =x cos , ③x x f sin )(=， ④x x f cos )(=。
3、观察函数y=sinx,x ∈［-2π,23π］的图象，填写下表: x -2π … 0 … 2π... π (2)3π sinx 小结：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.4、观察函数y=cosx,x ∈[-π,π] 的图象，填写下表:x -π … -2π … 0 … 2π … π cosx 小结：余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.5、由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下：Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1.Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1.6、观察正余弦曲线，解读正、余弦函数的对称性： 正、余弦函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修4
此时x＝2kπ－
，k∈Z.
[0,2]
4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
因为－1≤cos x≤1
要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，
所以0≤m≤2.
新知探究
[－1,1]
[－1,1]
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，
n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，
你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调
性可知m＝ ，n＝π.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
正弦函数、余弦函数的单调性
(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则
a的取值范围是________．
思路点拨
确定a的范围 → y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数 → y＝
5
4
23
−
5
＜cos
＝cos
π
.
4
x在[0，π]上是减函数，
，
17
−
4
π
)
4
.
三角函数值大小比较的策略
解
题
策
略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转
化到
− ,
2 2
或
3
,
2 2
内；对于余弦函数来说，一般将两个
角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
[例3]
(2)已知函数f(x)＝asin
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河北省武邑中学高中数学正弦、余弦函数的性质（2）教案新人教A
版必修4
备课人授课时间
课题正弦函数.余弦函数的性质(2)
课标要求正弦函数余弦函数的性质
教学目标
知识目标要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
技能目标
掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函
数的单调区间。
情感态度价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操
重点正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
难点正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
一、复习引入：
研究函数就是要讨论函数的一些性质，正弦、余弦函数最基本的
性质。
请同学们回想一下，一般来说我们都是从哪些方面来研究
的（定义域、值域、奇偶性、单调性、最值）上节课我们研究了
定义域、值域，这节课我们继续研究它的其他性质。
二、讲解新课：
a)奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称
性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-
3
π
)=
2
1
,f(
3
π
)=
2
1
,即f(-
3
π
)=f(
3
π
)；……
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx
的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数
y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对
应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性
学生回答
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与
它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们
说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－
x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=
x
1
都是奇函数。
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇
偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。
因此，判断某一函
数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于
f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数
没有奇偶性。
2.单调性
从y＝sin x，x∈［－
2
3
,
2
π
π
］的图象上可看出：
当x∈［－
2
π
，
2
π
］时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到
1.
当x∈［
2
π
，
2
3π
］时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
2
π
＋2kπ，
2
π
＋2kπ］(k∈Z)上都
是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［
2
π
＋2kπ，
2
3π
＋
2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增
函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈
Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
2
π
π+
k k∈Z
学生完成
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动y=cosx的对称轴为x=πk k∈Z
（1）写出函数x
y2
sin
3
=的对称轴；
（2）)
4
sin(
π
+
=x
y的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线
4
π
=
x， (D) 直线
4
π
-
=
x
4.例题讲解
例1(课本例3)
例2(课本39页例4)
例3(课本例5)
学生独立完
成
教
学
小
结
正、余弦函数的奇、偶性和单调性
课
后
反
思
3。