第一章 1.7 定积分的简单应用
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
1.7.1定积分的简单应用(一)
1
0
xdx x dx
2 0
2
1
1
3
1
例 2 计算由曲线 y 2 x ，直线 y x 4以及 x 轴所 围成的图形的面积.
y 2x
解:两曲线的交点源自 y 2x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
(x 6 x x )dx
3 2
A1
A2
y x3 6x
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2 3
253 A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx . 12
2
说明： 注意各积分区间上被积函数的形式．
学习小结: 如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分. 课外练习
2 0
2
0 8
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
8
y2 2 x
2 2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 x |0 ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
作业:课本 P A 组⑵ 67
课外练习
上节课外练习
a b
我们知道定积分 f ( x )dx 的几何意义：
a
b
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和.(在 x 轴 上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
1.7定积分的简单应用
2．由曲线 y＝ x和 y＝x 所围成图形的面积可用定积分 表示为( ) 1 1 3 1 3 1 A. x d x ＋ B . xdx x dx x dx－
3
C. xdx＋ x dx
0 0
0 1
0 1 3
1 D. xdx－ x dx
2
4
( 4)
2
1
4 5 ( x 1)dx 2 3 3
二、热身练习
2
计算:
2
2
2
4 x 2 dx
解:如图由几何意义
3
2
1 4 x dx 2 2 2 2
2
xdx 计算： sin
y
y sin x
解：如图由几何意义
sin xdx 0
0
x
解:作出y=x-4, y 2x 的图象 如图所示: y 2x x=8 解方程组 得 :{y=4 , y x 4
y 2x
S2
S1
直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
(
4
0
2 xdx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
解法二
1.7定积分的简单应用
∫
b
a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
S1 S2
S3
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 1.求由一条曲线y=f(x)和直线 及x轴所围成平面图形的面积S 轴所围成平面图形的面积S
y
y = f (x)
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
2
练习. 求抛物线y=x 直线x=2 y=0所围成的 x=2， 练习. 求抛物线y=x -1，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。 图形的面积。
1=0得到抛物线与 得到抛物线与x 解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴 如图： 的交点坐标是( 1,0)，(1,0).所求面积 的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积 如图阴影所示： 如图阴影所示： 所以： 所以：
∫
1
2
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) 作出示意图;(弄清相对位置关系 (2)求交点坐标;(确定积分的上限 下限) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) 求交点坐标;(确定积分的上限, (3)确定积分变量及被积函数; (3)确定积分变量及被积函数; 确定积分变量及被积函数 (4)列式求解. (4)列式求解. 列式求解
1.7定积分的简单应用 定积分的简单应用
一、复习
平面图形的面积: 1.平面图形的面积:
推荐高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析新人教A版选修2_2
1.7定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛a b f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛ac d x ＋⎠⎛c b－＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛ab2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．计算曲线由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3＋32x23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ，y ＝e －x ，解得交点(0,1)． 所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022xd x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x －12x2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛－42⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y2－16y324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫7x －12x272＝143＋252 ＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 40＝43(m )， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0， 在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t43＝4(m )， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x≤2，3x ＋4，2＜x≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y2－124y340＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x)d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403.C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S ＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y ∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c ≤x ≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x ≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac ＋⎠⎛c b f(x)d x ＝－⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛c bd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方． 因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x ＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛a b d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01xd x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22B ．4 2 C ．2 D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3⎪⎪⎪10＝16. 答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0a xd x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛a c f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛bc f(x)d x D .⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛b c ，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确． 2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d x B.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝ 3. 4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－12t2＋2t 21＝176. 5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－12x20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3.答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a 0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛6(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t2－13t360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x2－13x321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动； 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．最新中小学教案、试题、试卷故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t2－23t340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t364＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。
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提示：S1＝ f(x)dx.
问题2：如何求S2?
提示：S2＝ g(x)dx.
b a
问题3：如何求阴影的面积S?
提示：S＝S1－S2.
返回
[导入新知] 平面图形的面积 由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)所围图形的面积
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝
解得 x＝0 或 x＝3.
如图．
返回
因此所求图形的面积为 S＝ (x＋3)dx－ (x2－2x＋3)dx ＝ [( x＋3)－(x 2－2x＋3)]dx ＝ (－ x
3 0 3 0 3 0 3 0
2
1 3 3 2 3 9 ＋3x)dx＝－3x ＋2x |0＝ . 2
a
b a
返回
[化解疑难] 求变速直线运动的路程的注意点 对于给出速度－时间曲线的问题， 关键是由图 像得到速度的解析式及积分的上、 下限， 需要注意 的是分段解析式要分段求路程，然后求和．
；
返回
[例 1]
计算曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成
图形的面积．
[解]
y＝x＋3， 由 2 y＝x －2x＋3，
8x， f(x)＝ 6－x，
x∈0，2]， x∈2，6].
返回
3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不 同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分： 当两区域所围成图形纵坐标一致时， 换元变成对 y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和： 当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别 求出面积再相加．如本节例 2 的求解法．事实上，本 例中的法二就是分割求和．
3(单位：m/s)运动，求：
(1)在t＝4 s时的位置；
(2)在t＝4 s时运动的路程．
解：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为
4 0
(t
2
1 4 4 3 2 －4t＋3)dt＝3t －2t ＋3t|0＝ (m)． 3
4 即在 t＝4 s 时该点距出发点 m. 3
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0. ∴在 t＝4 s 时的路程为 s＝ (t －4t＋3)dt－ (t －4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt
解：画出草图，如图所示． 解方程组
y＝ x， x＋y＝2，
y＝ x， 1 y＝－3x，
x＋y＝2， 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 1 y＝－3x，
返回
法一：S＝
3 1
1 0
1 x－－3xdx＋
b a
[f(x)－g(x)]dx
.
b a
(2)如图②所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝ f(x)dx＋ gxdx ＝ [f (x)－g(x)]dx .
返回
b a b a
[化解疑难] 相交曲线所围图形的面积求法 如图所示，在区间[a，b]上，若曲线 y＝f(x)，y＝g(x) 相交，则所求面积 S＝ S1＋ S2＝ [f(x)－ g(x)]dx ＋ [g(x)－ f(x)]dx＝ |f(x)－g(x)|dx.
1 1 16 40 2 2 ＝ ＋6×6－2×6 －6×2－2×2 ＝ . 3 3 2 0 6 2 4 0
3
[答案] C 返回
[多维探究] 1．本题易搞错被积函数及积分上下限，误认为 S＝ (6
1.7
定 积 分 的 简 单 应 用
1 理解教 材新知
知识点一 知识点二
题型一
2 突破常 考题型
第 一 章
题型二
题型三 题型四
3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
随堂即时演练
课时达标检测
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1.7
定积分的简单应用
返回
[提出问题] 如图，由直线 x＝a，x＝b，曲线 y＝f(x)和 x 轴围 成的曲边梯形面积为 S1.由直线 x＝a，x＝b，曲线 y＝ g(x)和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S2. 问题 1：如何求 S1?
1 2－x－－3xdx
1 0 3 1 2 2－ xdx x＋ xdx＋ 1 3 3
＝
3 1 2 3 1 2 2 2 1 ＝ x ＋ x |0＋2x－3x |1 6 3
2 1 1 1 13 ＝ ＋ ＋6－ ×9－2＋ ＝ . 3 6 3 3 6
解：设 x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的 力(单位：N)． 由题意 F(x)＝kx，且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N，解得即 0.05k＝100，∴k＝2 000. ∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 W＝∫0 2 000xdx＝1 000x2|0 ＝22.5(J)．
图形的面积．
[解]
2 y ＝2x， y＝－x＋4，
先求抛物线和直线的交点，解方程组 求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8，－4)．
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法一：选 x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图 形分割成两部分(如图)，则面积为 S＝S1＋S2＝2
2 0
2xdx＋ ( 2x－x＋4)dx
1 1 1 3 1 4 3 2 3 2 3 2 ＝3t －2t ＋3t|0－3t －2t ＋3t|1＋3t －2t ＋3t|3＝4(m)．
1 0
2
3 1
2
4 3
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
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[例4]
0.15 0.15
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4.利用定积分求面积的策略
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[典例]
ห้องสมุดไป่ตู้
由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝ ( 32 2 B．16＋ 3 40 32 2 D. ＋ 3 3 )
0 所围成图形的面积为 32 2 A．16－ 3 40 C. 3
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[解析]
y2＝8x y＞0， 由题意， 作图形如图所示， 由 x＋y－6＝0，
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[类题通法] 求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形；
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐 定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、 下位置； 标，
(4)写出平面图形面积的定积分表达式；
(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的 面积． 返回
8 2
4 2 32 2 1 2 2 3 8 2 2 | ＝ x 0＋ x － x ＋ 4 x |2＝18. 3 2 3
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法二：选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如 图得所求的面积为 2 y2 1 2 1 3 2 S＝ 4－y－ 2 dy＝4y－2y －6y |－4 －4 ＝18.
x＝2， 得 所以抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝ y＝4，
0 的交点坐标为(2,4)， 1 2 法一：(选 y 为积分变量)S＝ 6－y－8y dy 1 2 1 3 1 40 4 | ＝ 6y－2y －24y ＝ 24 － 8 － × 64 ＝ . 0 24 3 法二：(选 x 为积分变量) S＝ ( 8x)dx＋ (6－x)dx 1 2 2 22 6 ＝ 8× x |0＋6x－2x |2 3
[活学活用] 求曲线 y＝ex， y＝e－x 及 x＝1 所 围成的图形面积．
x y ＝ e ， 解：作图，并由 －x y ＝ e ，
解得交点(0,1)． 所求面积为 (e －e )dx ＝(e ＋e
x
－x 1 0
x
－x
1 1 )|0＝e＋ －2. e
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[例 2]
求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的
4
2
3 4 2 2 (3x＋4)dx＝10x|0＋ x ＋4x|2＝46(J)． 2
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[类题通法] 解决变力作功应关注两点 (1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步；
(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
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[活学活用]
设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比， 求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm所做的功．
0
4
32 2 －x－ 8x)dx，从而得出 S＝16－ 的错误答案． 3 2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分 上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求 解面积． 1 2 如本例法一中的被积函数为 f(y)＝6－y－ y ，y∈(0,4]， 8 法二中的被积函数为
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[解]
(1)设 A 到 C 的时间为 t1，
则 1.2t1＝24，t1＝20 (s)，
20 2 20 ∫ 则 AC＝ 0 1.2tdt＝0.6t |0 ＝240(m)．
(2)设 D 到 B 的时间为 t2， 则 24－1.2t2＝0，t2＝20 (s)，
20 则 DB＝∫0 (24－1.2t)dt 2 20 ＝(24t－0.6t )|0 ＝240(m)．
一物体在力F(x)(单位：N)
的作用下沿与力F相同的方向运动， 力—位移曲线如图所示．求该物体从 x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x) 做的功．
[解] 由力 位移曲线可知