数学-江苏省南通市启东中学2018届高考押题试卷(04)(解析版)
江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理含答案
xyy 0 11π24y 05π24O （第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设复数满足（为虚数单位），则复数 ． 2．已知集合，，则共有 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组 数据的频数为25，则样本容量为 ．5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为 ． 6．函数的定义域为 ． 7．若函数的部分图象如图所示， 则的值为 ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ．9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为， 三棱锥的体积为，则 ．10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ． 11．已知数列中，，，．若是等比数列，则 ． 12．已知，，若，则的最小值为 ．13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 ．14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：．17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，， ,在上，且 ,．（1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式； （2）多边形面积的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知分别为椭圆（）的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．(第16题图)PABCD QO19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．（1）若，求函数的单调增区间；（2）若函数为上的单调增函数，求的值；（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：．20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列通项公式为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．在相应的答题区域内作答A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若DA = DC，求证：AB = 2BC．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量． （1）求矩阵的另一个特征值； （2）求矩阵的逆矩阵． C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 求直线被曲线所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．（1）求的值；（2）求的值；（3）设，求证：．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【解析】．2．【解析】由条件得，所以的子集有个．3．【解析】由题意可知．4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为6．【解析】由已知得，，所以7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．9．【解析】因为，，所以．10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以．11．3049 【解析】，所以，所以．12．【解析】因为，，，所以．令，，，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为．13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．14．【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．当时，恒成立，符合；当时，，所以在上单调递增，不符合；当时，，所以在上单调递减，此时，即．令（），不等式即为，由于，所以在上单调递增，而当时，，所以恒成立．综上所述，的取值范围是．15．解：（1），，…… 2分，…… 4分所以函数的最小正周期为．…… 6分（2），，且，，…… 8分，，…… 10分，…… 12分，．…… 14分16．证明：（1）如图，连接，因为，，所，………2分又，所以，…………4分又平面，平面，所以平面. ……… 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，…………………8分又平面，所以，…………………10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面，…………………12分又平面，所以．…………………14分17．解：连接，，，，，，………2分（1）在中，，，，，，………4分，．………8分（2）令，，则，且，………10分，，………12分当，即时，，即多边形面积的最大值为平方米．………14分18．解：（1）因为椭圆经过点和点，所以…… 2分解得，所以椭圆的方程为．…… 6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为．…… 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，．若，则．…… 14分解得，所以，即直线的斜率．…… 16分解法二：由（1）可得，设（），则①，…… 8分直线，由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，，若，则，所以②，…… 12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以，即直线的斜率．…… 16分19．解：（1）当a=0时，，，令，得，所以的单调增区间为．…… 3分（2），因为函数为上的单调增函数，所以0在上恒成立．……5分当时，，0显然成立；当时，恒成立，则恒成立，此时；当时，恒成立，则恒成立，此时．综上，．…… 8分（3）不妨设，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，，，…… 10分在上单调递减，所以要证，即证，即证，又因为，所以即证（*）．12分记，，，所以在上恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，，所以，即，（*）式得证．所以，命题成立．…… 16分20．解:（1）因为，所以，…… 2分所以，所以，即．…… 4分（2）设的公差为，因为，所以（*），特别的当时，，即，…… 6分由（*）得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，…… 8分于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是．…… 10分（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，…… 12分假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为(为常数)，则存在，，使得，即，…… 14分设，则，即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．…… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A．证明：连接OD因为DC为切线且点D为切点，所以因为OA=OD所以又因为AD=DC所以故所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B．解：（1）由条件得，，，解得………2分因为矩阵，所以特征多项式为，………4分令，解得．所以矩阵的另一个特征值为．………5分（2）因为，………7分所以．………10分C．解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即，………2分曲线表示的是圆心，半径为的圆．………4分直线的参数方程为参数化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，………8分直线被曲线所截得的弦长为．………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D．证明：由柯西不等式可知所以，当且仅当时取等号．………10分22．解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．………4分；；．………6分所以随机变量X的分布列为X 0 1 2P………8分数学期望．………10分23．解：（1）．………2分（2）．………4分（3）证明：，，，．………10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理201902270172
▲
． ▲ ．
1 6．函数 f ( x) ( ) x 4 的定义域为 2
y y0 O y0
5π 24
11π 24
x
7．若函数 y sin( x )( 0) 的部分图象如图所示， 则 的值为 ▲ ．
（第 7 题）
8．现有 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽 取 2 张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．
B．[选修 42：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）
2 a 2 已知 a, b R ，向量为 是矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量． 1 b 1
（1）求矩阵 A 的另一个特征值；
-4-
（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1 ．
D．[选修 45：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 2 x 3 y z 的最小值．
2 2 2
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域内作答． 22． （本小题满分 10 分） 某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别 为 3，3，4．现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 A ，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学 期望．
20．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，把满足条件 an 1 Sn (n N* ) 的所有数列 an 构成的集合
江苏省启东中学高考数学押题卷(四)及答案
江苏省启东中学高考数学押题卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合A ={x |x ＞2}，B ={x |x ≤3}，则A ∩B = ▲ ． 2．函数yx +cos2x 的最小正周期是 ▲ ．3．已知(a +i)2=2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a = ▲ ．4．已知向量a 与b 的夹角为60º，且|a |=1，|b |=2，那么2()+a b 的值为 ▲ ． 5．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2．6．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值是 ▲ ．7．若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则z =x +2y 的最大值是 ▲ ．8．对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若(2)(2)f f -=，则f (x )为偶函数； ②若(2)(2)f f -≠，则f (x )不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为 ▲ ．请注意以下问题：既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一？9．图中是一个算法流程图，则输出的n = ▲ ． 10．已知三数x +log 272，x +log 92，x +log 32成等比数列，则公比为 ▲ ．11．已知5×5数字方阵：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中，1ij j i a ⎧=⎨(是的整数倍)，(不是的整数倍)．则5434j i a a +∑∑= ▲ ．12．已知函数f(x)=2cosx x-，x∈ππ[]22-，，则满足f(x0)＞f(3π)的x0的取值范围为▲．13．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7∶50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9∶00，10∶00，11∶00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11∶00时，小袁距乙地还有▲公里．14．定义在[1,)+∞上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c= ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中．(1)若BB 1=BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1； (2)设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求11A EEC 的值．17．(本题满分14分)在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长． (1)求证：B ≤3π； (2)若4B π=，且A 为钝角，求A ．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，其焦点在圆x 2+y 2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+ ． (i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(ii)求OA 2+OB 2．19．(本题满分16分)已知数列{a n }满足：a 1=a 2=a 3=2，a n +1=a 1a 2…a n -1(n ≥3)，记22221212n n n b a a a a a a -=+++- (n ≥3)．(1)求证数列{b n }为等差数列，并求其通项公式； (2)设221111n n n c b b +=++，数列{}的前n 项和为S n ，求证：n <S n <n +1．设函数f (x )=ax 3-(a +b )x 2+bx +c ，其中a ＞0，b ，c ∈R． (1)若1()3f '=0，求函数f (x )的单调增区间；(2)求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：max{a ，b }表示a ，b 中的最大值)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知圆C ：221x y +=在矩阵0=(0,0)0a a b b ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为椭圆22194x y +=，求a ，b 的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π) 的圆的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=+++≥，其中a ＞0． (1)若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值； (2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ=，求λ；(2)当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．江苏省启东中学高考数学押题卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合A ={x |x ＞2}，B ={x |x ≤3}，则A ∩B = ▲ ． 答案：(2,3] 解析：A ∩B= (2,3]2．函数yx +cos2x 的最小正周期是 ▲ ． 答案：π解析：yx +cos2x=2 sin(2 x+60º) T=2π/2= π 3．已知(a +i)2=2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a = ▲ ． 答案：1解析：(a +i)2= a 2+2 a i+ i 2= a 2-1+2 a i=2i a =14．已知向量a 与b 的夹角为60º，且|a |=1，|b |=2，那么2()+a b 的值为 ▲ ． 答案：7解析：2()+a b =a 2+ b 2+2ab = a 2+ b 2+2|a||b| cos60º=12+22+2x1x2=7 5．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2．答案：解析：如图所示，正三棱锥-S ABC ，O 为顶点S 在底面BCD 内的射影，则O 为正BCD ∆的垂心，过C 作CH AB ⊥于H ，连接SH 。
高三数学-2018年江苏省启东中学高三数学模拟试卷 精品
2018年江苏省启东中学高三数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆A B 成立的所有a 的集合是 ( ) A 、{a |1≤a ≤9} B 、{a |6≤a ≤9} C 、{a |a ≤9} D 、∅ 2．1！+2·2！+3·3！+…n·n ！= ( ) A 、（n+1）!-1 B 、（n+1）！ C 、（n+1）！+1 D 、（n+2）！ 3．正三角形ABC 中，=，=，=边长为1，则=⋅+⋅+⋅⋅ ( ) A 、23-B 、23C 、21-D 、214．设函数2()(),()0,(1)f x x x a a R f n f n +=++∈<+满足则的符号是 ( ) A 、(1)0f n +< B 、(1)0f n +> C 、0)1(≥+n f D 、(1)0f n +<5．已知：双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>，其右支上的一点p ，F 1，F 2为其两焦点，则△F 1F 2的内切圆在x 轴上的切点Q 的坐标 ( )A 、（b,0）B 、（a ,0）C 、（)0,22b a + D 、不确定6. 给出平面区域如图，若使目标函数z=x+ay (a>0)，取得最大值的最优解有无数个，则a 的一个可能的取值为 （ ）（A ）1 （B ）3 （C ）-1 （D ）-37．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小 ( ) A 、656ππ或B 、323ππ或C 、6π D 、65π 8．棱锥P 一ABCDEF 的底面是正六边形，侧棱PA ⊥面ABF ，则下列命题中正确的有几个( )①∠PDA 是侧面PDC 与底面所成的二面角的平面角 ②PC 的长就是点P 到直线CD 的距离 ③∠PCB 是侧棱PC 与底面所成的角 ④EF 的长是点E 到平面AFP 的距离A 、 1B 、 2C 、 3D 、 49．一个单位有1000名职工，其中不到35岁的人有250人，35到49岁的人有560人，50岁以上的有190人，要从中抽取一个容量为200的样本，较为恰当的抽样方法有是( ) A 、简单随机抽样 B 、分层抽样 C 、系统抽样 D 、以上方法均可10．直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°后，所得的直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是 ( ) A 、直线过圆心 B 、直线与圆相切C 、直线与圆相离D 、直线与圆相交但不过圆心 11．已知[][]3(),,,()()0,(),f x x x x m n f m f n f x m n =--∈⋅<且则在内 ( ) A 、至少有一实数根 B 、至少有一实根C 、无实根D 、有唯一实数根12．由等式++++++=++++223144322314)1()1()1(x b x b x a x a x a x a x43)1(b x b ++定义映射=→)1,2,3,4(,),,,(),,,(:43214321f b b b b a a a a f 则 ( )A 、（1，2，3，4）B 、（0，3，4，0）C 、(-1，0，2，-2）D 、（0，-3，4，-1）第Ⅱ卷（满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13．如果直线沿向量,,)1,0()0,3(又回到后来的位置移动后平移再沿向量==则直线l 的斜率是__________.14．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_________ .15．椭圆161622=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰三角形，该三角形的面积是___________.16．设函数(),0,()1,,,()(),f x R x f x x y R f x y f x >>∈+=定义域为当时且对任意有请写出一个满足条件的函数 .此函数的单调性是 .三．解答题：(本大共6小题，17---21题每小题12分，第22题14分，共74分。
(全优试卷)江苏省高考压轴卷数学Word版含解析
绝密★启封前KS5U2018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位）z=．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin（2x个单位后，所在图象对应的函数解析式为．6.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为cm3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，则阴影部分的面积为．8.（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10.设定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．11.已知函数f（x）a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12.如图，在△ABC P是BNm的值是．13.夹角的余弦值为．14.已知函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．15.如图，在三棱柱1B1C1中，，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．16.在△ABC（1（2.17.已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，2，3，4）．（1（2b2关于d的函数关系式及其定义域；（320.（16分）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=e x．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数H(x)= x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．数学II（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题~第23题）。
2018年江苏省高考原创押题卷数学试题及答案 精品
2018年高考押题卷（1）【江苏卷】数学试题一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则AB =【命题意图】本题考查集合交集的概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】{}0,1 【解析】A B {}1,0,1=-{}0,1,2,3={}0,1.2.已知23(,,ia bi ab R ii +=+∈为虚数单位)，则a b +=【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】1【解析】23323,2, 1.ia bi i a bi ab a b i +=+⇒-=+⇒==-+=3. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为【命题意图】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力．4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.【答案】1 3【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为21 = 63.5. 下图是一个算法流程图，则输出的x的值是【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力． 【答案】59.【解析】第一次循环：3,7x y ==，第二次循环：13,33x y ==，第三次循环：59,151x y ==，结束循环，输出59.x = 6.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的一个焦点为(3,0)，直线10x y --=与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为 【命题意图】本小题主要考查双曲线的离心率，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】22154x y -=7.若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1【解析】可行域为ABC ∆及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y =+过点(0,1)C 时取最小值1.8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a 【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力． 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯=9. 将函数()sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】6π10.若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力． 【答案】4 【解析】因为22log log 12x y xy +=⇒=，所以222()24()4,x y x y xy x y x y x y x y+-+==-+≥---当且仅当时2,2x y xy -==，即11x y ==-22x y x y+-的最小值为4.11. 若函数()ln |31|f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为【命题意图】本题考查函数的图象和性质的综合运用等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】)35,34[]32,1( --. 【解析】函数()y f x =的图象如图，11013k k -<<+≤或121133k k ≤-<<+，解得213k -<≤-或4533k ≤<.12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c -的取值范围为【命题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．【答案】[13. 已知圆22:2C xy +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】8[0,]5【解析】在OPQ ∆中，设α=∠OQP ，由正弦定理，得αsin 45sin 0OPOQ =，即αsin 222OP =，得2sin 2≤=αOP ，即2)22(202≤-+x x ，解得5800≤≤x .14. 已知函数2()f x ax =，若存在两条过点(1,2)P -且相互垂直的直线与函数()f x 的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】1(,)8+∞二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==． （1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.【解析】（1）连接1AC 交1AC 于点O ，连接OF ，F为AC 中点，∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF且，∴四边形BEOF是平行四边形， ………4分∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC (7)分17. （本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P(点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．【解析】(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．因为m CD m AB CD AB 15,9,//==, 所以m NC m DN 9,6==. 设AN x DAN θ∠＝，＝ ，因为45=∠CAD ,所以θ-=∠45CAN .在Rt ANC∆和Rt AND∆ 中，因为069tan ,tan(45-)=x x θθ=，………………………4分所以()91tan 451tan tan xθθθ-∴︒+＝－＝,化简整理得215540x x －－＝ ，解之得12)183(x x ＝，＝－舍去 ．所以BC的长度是18 m． ………………………7分(2)设BP t ＝ ，所以915PC=18-t,tan =,tan =18t t αβ- (9)分 则BCADP(第17题图)tan tan 661tan t 9151(an 145277227827)18t t t tan t t t t t αβαβαβ++----+++--++＋＝＝＝-＝- ………14分63013502)27(1350)27(=≥+++t t,当且仅当1350t+27=27t +，即时，()tan αβ＋ 取最小值． ……15分 答：P在距离B点m)27615(- 时,()tan αβ＋ 最小． ………………………16分 18. （本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>, 经过点P(1,，离心率是.（1）求椭圆C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力．将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分19. （本小题满分16分）已知函数()xf x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.[学科网 ]（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 【命题意图】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．（2）由1a =，21()xx bx h x e ++=，∴2(2)1()x x b x b h x e -+-+-'=， ∴2(2)1(1)((1))()x x x b x b x x b h x e e -+-+----'==-，………7分由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. ………10分 （3）由1a =，则()()()1xx f x g x ebx ϕ=-=--，∴()x x e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增， 又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， (12)分②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，20. （本小题满分16分）等差数列{}na 的前n 项和为nS ，已知12a=，622S =.（1）求nS ；（2）若从{}na 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk a ，其中11k=，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}nk 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n 项和公式，数列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分所以(5)3n n n S +=.………4分（2）①因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{nk a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ，解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；……6分若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n nk -=⨯-， ………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． ………10分附加题部分21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM 与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，求DMDN【命题意图】本题主要考查切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.xy ，B．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C：1若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C变为曲线C '，求曲线C '的方程.【命题意图】本题考查矩阵与向量乘积、相关点法求轨迹方程等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴x y x ''=x y y ''+=， (5)分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=.…10分C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 【命题意图】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，直线与曲线位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()a b c a b c +++++≥【命题意图】本题考查利用均值不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】因为a b c，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c -++)≥9．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c -++++++)≥39． （当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+=≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别 在PA ，BD上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【命题意图】本题考查向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力．（2）设平面PAD 的法向量为(,,),n x y z =(3,3,0),(3,0,3),AD AP =--=-由0,0,n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330,330.x y x z --=⎧⎨-+=⎩取1,z =得1, 1.x y ==-23. 设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE .【命题意图】本题考查子集定义及性质、古典概型及离散型随机变量分布列和期望等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力，运算求解能力，逻辑思维能力． 【解析】可列举出集合S的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为： 317=p .（6分）（2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.（9分）()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分）。
高三数学-2018年南通高考数学密卷四 精品
2018年南通高考数学密卷四本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ＝{a ，b ，c}，集合B ＝{－1，0，1}，f 是A 到B 的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有 （ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个2.函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 （ ） A ．)1,(,11ln-∞∈+-=x x x y B. )1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C. ),1(,11ln+∞∈+-=x x x y D. ),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 3.已知方程0)81)(81(22=+-+-nx x mx x 的四个根组成一个首项为81的等比数列,则n m -= ( )A.89B. 1C. 43 D. 834.已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为45 ，则A 点的横坐标为 （ ） A ．0 B ．1 C ．0或61 D ．1或61 5.以棱长为a 的正方体的8个顶点中的4个为顶点构造一个正四面体,此正四面体的体积是( ) A.321a B. 331a C ．3122a D ．3123a 6.等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则∠CAD= （ ）A ．1arccos()2- B ．1arccos4C ．7arccos()16-D ．2π7.直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.有10件产品，其中4件为一等品，6件为二等品。
2018年江苏省高考数学压轴试卷
2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1. 若集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}，则A∩B=________．2. 若复数z满足z(1−i)=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=________．3. 某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100, 150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120, 130)内的学生共有________人．4. 如图，该程序运行后输出的结果为________．5. 将函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位后，所在图象对应的函数解析式为________．6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A−B1D1D的体积为________cm3．则阴影部分的面积为________．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右端点分别为A 、B 两点，点C(0, √2b)，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．9. 设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=−18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为________．10. 设定义在R 上的偶函数f(x)在区间(−∞, 0]上单调递减，若f(1−m)<f(m)，则实数m 的取值范围是________．11. 已知函数f(x)={lgx,0<x ≤10,|−12x +6|,x >10, 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是________．12. 如图，在△ABC 中，已知AN →=12AC →，P 是BN 上一点，若AP →=mAB →+14AC →，则实数m 的值是________．13. 已知非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与2a →−b →夹角的余弦值为________．14. 已知函数f(x)={sinx,x <1,x 3−9x 2+25x +a,x ≥1,若函数f(x)的图象与直线y =x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．二、解答题（共6小题，满分16分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．(1)求证：平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求证：BC // 平面AEF ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB．(1)求角C的大小；(2)若c=2，△ABC的面积为√3，求该三角形的周长．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率.为√53(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD // BC，∠BAD=∠CBA=90∘，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0．记c i=a i+b i(i=1, 2, 3, 4)．(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a1=1，q=2．若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．已知f(x)=x2+mx+1(m∈R)，g(x)=e x．(1)当x∈[0, 2]时，F(x)=f(x)−g(x)为增函数，求实数m的取值范围；f(x)15[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AM ⋅MB =DF ⋅DA ．【矩阵与变换】已知变换T 将平面上的点(1, 12)，(0, 1)分别变换为点 (94, −2)，(−32, 4)．设变换T 对应的矩阵为M ．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．【参数方程与极坐标】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t,（其中t 为参数），在以原点O 为极点，以x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设M 是曲线C 上的一动点，OM 的中点为P ，求点P 到直线l 的最小值．参考答案与试题解析2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.【答案】{0, 1, 2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}={x|x>−1}，∴A∩B={0, 1, 2}．故答案为：{0,1,2}.2.【答案】−1−i【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得z．【解答】解：∵z(1−i)=2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，∴z=−1−i．故答案为：−1−i.3.【答案】300【考点】频率分布直方图【解析】根据频率和为1，求出成绩在[120, 130)内的频率与频数即可．【解答】解：根据频率和为1，得成绩在[120, 130)内的频率为1−(0.010+0.020+0.025+0.015)×10=0.3，所以成绩在[120, 130)内的学生共有1000×0.3=300人．4.【答案】45【考点】程序框图【解析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：S=0，A=1;S=1，A=2;S=3，A=3;S=6，A=4;S=10，A=5;S=15，A=6;S=21，A=7;S=28，A=8;S=36，A=9;S=45，A=10;当S=45不满足循环条件，输出．故答案为：45.5.【答案】y=3sin(2x+π3 )【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是y=3sin[2(x+π4)−π6]=3sin(2x+π3).故答案为：y=3sin(2x+π3).6.【答案】3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．【解答】连接AC交BD于O，如图：则AC⊥BD，又D1D⊥AC，所以AC⊥面B1D1D，因为AB=AD=3cm，AA1=2cm，所以AC=√AB2+AD2=3√2(cm)=B1D1，又因为AO为A到面B1D1D的垂线段，且AO=12AC=3√22．又S△B1D1D =12D1D×D1B1=12×2×3√2=3√2，所以所求的体积V=13×3√22×3√2=3(cm3)．故答案为：3.7.【答案】2【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的14，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则x8=14，解得x=2．故答案为：2.8.【答案】√102【考点】双曲线的离心率【解析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则√2b=√32⋅2a，由a，b，c的关系和【解答】解：由线段AC 的垂直平分线过点B ，结合对称性可得△ABC 为等边三角形， 则√2b =√32⋅2a ， 即b =√62a ， c =√a 2+b 2=√a 2+32a 2=√102a ， 则e =c a =√102. 故答案为：√102. 9.【答案】58【考点】等差中项数列递推式等比数列的前n 项和【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，根据a 2，a 4，a 3成等差数列，可得2a 2q 2=a 2+a 2q ，q ≠1，解得q ．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 2，a 4，a 3成等差数列，∴ 2a 4=a 2+a 3，∴ 2a 2q 2=a 2+a 2q ，化为：2q 2−q −1=0，q ≠1，解得q =−12．∵ a 1a 2a 3=−18，∴ a 13⋅q 3=−18，解得a 1=1． 则数列{a n }的前4项和=1−(−12)41−(−12)=58． 故答案为：58.10.【答案】(12, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得其在区间[0, +∞)上单调递增，进而可以将f(1−m)<f(m)转化为|1−m|<|m|，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间(−∞, 0]上单调递减，则函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，若f(1−m)<f(m)，由函数为偶函数，可得f(|1−m|)<f(|m|)，又由函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则|1−m|<|m|，解可得：m >12，则实数m 的取值范围为：(12, +∞).故答案为：(12, +∞).11.【答案】(25, 34)【考点】分段函数的应用【解析】画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨设a <b <c ，求出a +b +c 的范围即可．【解答】解：作出函数f(x)的图象如图，不妨设a <b <c ，则：b +c =2×12=24，a ∈(1, 10)，则a +b +c =24+a ∈(25, 34).故答案为：(25, 34).12.【答案】12【考点】平面向量的基本定理向量的共线定理【解析】由于B ，P ，N 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →，利用共面向量基本定理即可得出．解：∵ B ，P ，N 三点共线， ∴ 存在实数λ使得：AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →， ∴ {m =λ,14=1−λ2, 解得m =12． 故答案为：12.13.【答案】5√714【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模【解析】用|a →|表示出a →∗(2a →−b →)，|2a →−b →|，代入夹角公式计算． 【解答】解：∵ |a →|=|b →|=|a →+b →|，∴ a →2=b →2=a →2+b →2+2a →⋅b →， ∴ a →⋅b →=−12a →2=−12b →2， ∴ (2a →−b →)2=4a →2+b →2−4a →⋅b →=7a →2， ∴ |2a →−b →|=√7|a →|， 又a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=52a →2， ∴ cos <a →，2a →−b →>=a →⋅(2a →−b →)|a →||2a →−b →| =52a →2|a →||√7a →|=5√714． 故答案为：5√714. 14.【答案】{−20, −16}【考点】利用导数研究函数的单调性 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)，g′(x)=3x2−18x+24=3(x2−6x+8)=3(x−2)(x−4)，当x∈(1, 2)，(4, +∞)时，g(x)单调递增；当x∈(2, 4)时，g(x)单调递减，依题意只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，∵g(4)=16+a，g(1)=16+a，∴只需g(1)=16+a=0或g(2)=20+a=0，∴a=−20或a=−16．故答案为：{−20, −16}.二、解答题（共6小题，满分16分）【答案】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）证明AF⊥BB1．结合AE⊥BB1，证明BB1⊥平面AEF．然后证明平面AEF⊥平面BB1C1C．（2）证明Rt△AEB≅Rt△AFC．所推出BE=CF．证明BC // EF．然后证明BC // 平面AEF．【解答】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵S△ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4，又c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−3ab=4，∴(a+b)2=16，∴a+b=4，∴周长为6．【考点】两角和与差的正弦公式解三角形余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC与C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求得a+b的值，再求周长．【解答】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵ S △ABC =12absinC =√34ab =√3， ∴ ab =4 ，又c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−3ab =4，∴ (a +b)2=16，∴ a +b =4，∴ 周长为6．【答案】解：(1)根据题意：{2a =6,c a=√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】（1）由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； （2）由题意定义结合已知求得PF 2，再由椭圆的第二定义可得点P 到右准线的距离．【解答】解：(1)根据题意：{2a =6,c a =√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【答案】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)， 设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →， 设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79,∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF 与DG 所成角的余弦值．（2）求出平面PBC 的法向量，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)，设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{ x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79, ∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【答案】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【考点】等比数列的性质等比关系的确定等差关系的确定【解析】（1）运用反证法证明，假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，由中项性质，结合条件，推得a 1，a 2，a 3是等比数列也是等差数列，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式、等差数列的通项公式，化简整理，可得所求解析式和定义域；（3）方法一、设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，由条件可得首项与公比的方程组，化简变形可得b 1=0，d =0，即可判断结论；方法二、假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，推理论证，即可得到结论．【解答】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【答案】解：(1)∵ F(x)=x 2+mx +1−e x ，∴ F′(x)=2x +m −e x ，∵ x ∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴ F′(x)≥0即2x +m −e x ≥0在[0, 2]上恒成立，即m ≥e x −2x 在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x −2x ，x ∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x −2，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2，∴ ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ ℎ(0)=1，ℎ(2)=e 2−4>1，∴ ℎ(x)max =ℎ(2)=e 2−4；(2)G(x)=x 2+mx+1e x ，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e x， 对任意x 1，x 2∈[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立，即证G(x)max ≤H(x)min ，∵ x ∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系【解析】（1）求出函数F(x)的导数，分离参数，问题转化为m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G(x)max≤H(x)min，根据函数的单调性分别求出G(x)的最大值和H(x)的最小值，从而证出结论．【解答】解：(1)∵F(x)=x2+mx+1−e x，∴F′(x)=2x+m−e x，∵x∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴F′(x)≥0即2x+m−e x≥0在[0, 2]上恒成立，即m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x−2，令ℎ′(x)=0，解得：x=ln2，∴ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ℎ(0)=1，ℎ(2)=e2−4>1，∴ℎ(x)max=ℎ(2)=e2−4；(2)G(x)=x2+mx+1e x，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e，对任意x1，x2∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立，即证G(x)max≤H(x)min，∵x∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】【答案】证明：(1)连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠OCA，∴OC // AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．(2)连接BC，如图：在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM⋅MB，又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF⋅DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC，∴△AMC≅△ADC，∴DC=CM，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【考点】与圆有关的比例线段圆的切线的性质定理的证明圆的切线的判定定理的证明直线与圆的位置关系【解析】（1）证明DC 是⊙O 的切线，就是要证明CD ⊥OC ，根据CD ⊥AF ，我们只要证明OC // AD ；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM 2＝AM ⋅MB ，再利用切割线定理得到DC 2＝DF ⋅DA ，根据证明的结论，只要证明DC ＝CM ．【解答】证明：(1)连接OC ，如图，∵ OA =OC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∵ CA 是∠BAF 的角平分线，∴ ∠OAC =∠FAC ，∴ ∠FAC =∠OCA ，∴ OC // AD ．∵ CD ⊥AF ，∴ CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC ，如图：在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴ CM 2=AM ⋅MB ，又∵ DC 是⊙O 的切线，∴ DC 2=DF ⋅DA ．∵ ∠MAC =∠DAC ，∠D =∠AMC ，AC =AC ，∴ △AMC ≅△ADC ，∴ DC =CM ，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【矩阵与变换】【答案】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +12b =94,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4| =(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【考点】特征值与特征向量的计算矩阵的应用矩阵变换的性质【解析】（1）利用矩阵的对应运算关系求出结果．（2）利用矩阵的运算求出特征值．【解答】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +1b =9,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4|=(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【参数方程与极坐标】【答案】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P 到直线l 的最小值为√2−1．【考点】直线一般参数方程化为标准参数方程圆的极坐标方程轨迹方程点到直线的距离公式【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出l 的普通方程，由ρ=4sinθ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（2）设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，P 是OM 的中点，从而点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，圆心(0, 1)到直线l 的距离d =√2=√2．由此能求出点P 到直线l 的最小值．【解答】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P到直线l的最小值为√2−1．。
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江苏省南通市启东中学2018届高考数学押题试卷（04）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，则A∩B=．2．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是．3．（5分）已知（a+i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．4．（5分）已知向量与的夹角为60°，且||=1，||=2，那么（+）2的值为．5．（5分）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．6．（5分）若双曲线x2+=1的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是．7．（5分）若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是．8．（5分）对于定义在R上的函数f（x），给出三个命题：①若f（﹣2）=f（2），则f（x）为偶函数；②若f（﹣2）≠f（2），则f（x）不是偶函数；③若f（﹣2）=f（2），则f（x）一定不是奇函数．其中正确命题的序号为．9．（5分）图中是一个算法流程图，则输出的n=．10．（5分）已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．11．（5分）已知5×5数字方阵：中，，则=．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cos x，x∈，则满足f（x0）＞f（）的x0的取值范围为．13．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有公里．14．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中．（1）若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（2）设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．17．（14分）在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．（1）求证：B≤；（2）若B=，且A为钝角，求A．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1=a2=a3=2，a n+1=a1a2…a n﹣1（n≥3），记b n﹣2=a12+a22+…+a n2﹣a1a2…a n（n≥3）．（1）求证数列{b n}为等差数列，并求其通项公式；（2）设，数列{}的前n项和为S n，求证：n＜S n＜n+1．20．（16分）设函数f（x）=ax3﹣（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．（1）若f′（）=0，求函数f（x）的单调增区间；（2）求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）【选做题】本题包括A，B，C，D共1小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲21．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．B．选修4-2：矩阵与变换22．已知圆C：x2+y2=1在矩阵A=（a＞0，b＞0）对应的变换作用下变为椭圆+=1，求a，b的值．C．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，求经过三点O（0，0），A（2，），B（2，）的圆的极坐标方程．D．选修4-5：不等式选讲24．已知x，y，z均为正数．求证：++≥++．【必做题】本题满分20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．26．过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．（1）设，求λ；（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．【参考答案】一、填空题1．（2，3]【解析】由集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，在数轴上画出解集，如图所示：根据图形可得：A∩B=（2，3]．故答案为：（2，3]2．π【解析】y=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．1【解析】（a+i）2=a2+2a i+i2=a2﹣1+2a i=2i⇒a=1．那么实数a=1．故答案为：1．4．7【解析】由题意可得=||•||cos＜＞=1×2×cos60°=1．∴（+）2 =+2=1+4+2×1=7．故答案为：7．5．【解析】如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为6．﹣8【解析】显然，k＜0，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标是（±，0），∵双曲线x2+=1的焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴k=﹣8故答案为：﹣8．7．2【解析】满足题中约束条件的可行域如图所示．目标函数z=x+2y取得最大值，即使得函数在y轴上的截距最大．结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Z max=0+2×1=2．故答案为：2．8．②【解析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意一个值都满足：f（﹣x）=f（x）对于①，仅满足f（﹣2）=f（2），不表明对于R上的其它值也成立，故①错误；对于②的逆否命题为：若f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）为真命题，故原命题为真；对于③，函数f（x）=0（x∈R）是奇函数，且满足f（﹣2）=f（2），故③错误．故答案为：②9．11【解析】该流程图表示求S=21+22+23+…+2n＞2011最小的n的值加1当n=9时，S=21+22+23+ (29)当n=10时，S=21+22+23+ (210)n=11，S=2046，不满足条件，退出循环，此时输出的n=11故答案为：1110．3【解析】∵三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列∴而，∴故答案为：311．﹣1【解析】=a32+a33+a34+a35+a24+a34+a44=﹣1+1﹣1﹣1+1﹣1+1=﹣1故答案为：﹣112．∪【解析】注意到函数是偶函数故只需考虑区间上的情形．当x∈[0，]时，f′（x）=2x+sin x≥0，∴函数在单调递增，所以在上的解集为，结合函数是偶函数，图象关于y轴对称，得原问题中x0取值范围是．故答案为13．60【解析】设从出发到上午11时行了s公里，则从出发到现在的平均速度为公里/分钟，则，解得s=190公里，此时小袁距乙地还有250﹣190=60公里．故答案为：60．14．1或2【解析】∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则，此时当x=时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜≤4，则，此时当x=6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，∴解得c=1或2．故答案：1或2二、解答题15．解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，故①②位置的数据分别为12、0.3；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15×=3，第四组参加考核人数为10×=2，第五组参加考核人数为5×=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．16．解：（1）因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．（2）设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，所以A1B∥EF．所以=．又因为=，所以=．17．解：（1）△ABC中，a2+c2=2b2，由余弦定理，得cos B==≥=．由0＜B＜π，得B≤，命题得证．（2）由正弦定理，得sin2A+sin2C=2sin2B，因若B=，且A为钝角，故得sin2A+sin2C=1，于是得sin2A=1﹣sin2C=cos2C．因为A为钝角，所以sin A=cos C=cos（﹣A）=cos（A﹣）=sin（A﹣），∴A+A﹣=π，A=．18．解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．所以所求椭圆的方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．19．解：（1）方法一当n≥3时，因b n﹣2=a12+a22+…+a n2﹣a1a2…a n①，故b n﹣1=a12+a22+…+a n2+a n+12﹣a1a2…a n a n+1②．②﹣①，得b n﹣1﹣b n﹣2=a n+12﹣a1a2…a n（a n+1﹣1）=a n+12﹣（a n+1+1）（a n+1﹣1）=1，为常数，所以，数列{b n}为等差数列．因b1=a12+a22+a32﹣a1a2a3=4，故b n=n+3．方法二当n≥3时，a1a2…a n=1+a n+1，a1a2…a n a n+1=1+a n+2，将上两式相除并变形，得a n+12=a n+2﹣a n+1+1．于是，当n∈N*时，b n=a12+a22+…+a n+22﹣a1a2…a n+2=a12+a22+a32+（a5﹣a4+1）+…+（a n+3﹣a n+2+1）﹣a1a2…a n+2=a12+a22+a32+（a n+3﹣a4+n﹣1）﹣（1+a n+3）=10+n﹣a4．又a4=a1a2a3﹣1=7，故b n=n+3（n∈N*）．所以数列{b n}为等差数列，且b n=n+3．（2）因c n==，故===．所以=，即n＜S n＜n+1．20．解：（1）由f′（）=0，得a=b．故f（x）=ax3﹣2ax2+ax+c．由f′（x）=a（3x2﹣4x+1）=0，得x1=，x2=1．列表：（﹣∞，）（，1）由表可得，函数f（x）的单调增区间是（﹣∞，）及（1，+∞）．（2）f′（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b=3a（x﹣）2﹣．①当或时，则f′（x）在[0，1]上是单调函数，所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（1）+f′（0）=a＞0．所以|f′（x）|≤max{f′（1），f′（0）}．②当，即﹣a＜b＜2a，则﹣≤f′（x）≤max{f′（1），f′（0）}．（i）当﹣a＜b≤时，则0＜a+b≤．所以f′（1）﹣==≥＞0．所以|f′（x）|≤max{f′（1），f′（0）}．（ii）当＜b＜2a时，则（b﹣）（b﹣2a）＜0，即a2+b2﹣＜0．所以b﹣=＞＞0，即f′（0）＞．所以|f′（x）|≤max{f′（1），f′（0）}．综上所述：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤max{f′（1），f′（0）}．21．证明：因AE=AC，AB为直径，故∠OAC=∠OAE．所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC．22．解：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P′（x′，y′），则=，即，又因为点P′（x′，y′）在椭圆上，所以=1．由已知条件可知，x2+y2=1，所以a2=9，b2=4．因为a＞0，b＞0，所以a=3，b=2．23．解：经过三点O（0，0），A（2，），B（2，），转化为直角坐标为：O（0，0），A（0，2）B（2，2）把O、A、B的三点的直角坐标代入圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：，解得：D=E=﹣2，F=0，所以圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为极坐标方程为：．24．证明：因为x，y，z都是为正数，所以+=（+）≥．同理可得+≥，+≥，当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得++≥++．25．解：（1）∵函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0，∴﹣=．∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）==0，解得a=1，经检验a=1成立，故a的值为1．（2），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，1+x＞0．当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）的最小值为f（0）=1．当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得x＞；由f′（x）＜0，解得x＜．∴f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）．∴f（x）在x=处取得最小值f（）＜f（0）=1，不合题意．综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．26．解：（1）过点A的切线方程为y=x+1．切线交x轴于点B（﹣1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．所以．（1）由⇒=（1+λ）⇒．（2）同理由=λ1，得=（1+λ1），（3）=λ2，得=（1+λ2）．（4）将（2）、（3）、（4）式代入（1）得．因为E、P、F三点共线，所以+=1，再由λ1+λ2=1，解之得λ=．（2）由（1）得CP=2PD，设C（x0，y0），P（x，y），D是AB的中点，所以点P为△ABC 的重心．所以，x=，y=．解得x0=3x，y0=3y﹣2，代入y02=4x0得，（3y﹣2）2=12x．由于x0≠1，故y≠．所求轨迹方程为（3y﹣2）2=12x（y≠）．。