陀螺定向运动方程的动静法推导
[转载]如何用转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动方程？
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[转载]如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？原⽂地址：如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？作者：陀螺---上帝掷出的骰⼦如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？陀螺—上帝掷出的骰⼦ 2017-05-27 09:31【导⾔】【导⾔】刚体⼒学在处理⾃旋、转动等物体运动现象时是⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念来描述的，但这种描述似乎与⽜顿⼒学质点思想不相融，⽽且运⽤这种⽅法论在揭⽰陀螺运动形成物理机制问题时显得“⼒不从⼼”，在解决像⾏星进动、量⼦⾃旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“⽆奈”——其实，研究刚体“⾃旋+进动”问题⽤⽜顿质点思想要⽐⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念要⽅便、优越得多。
那么，我们如何才能在不违背刚体⼒学理论原理情况下，将陀螺运动、⾏星进动、量⼦⾃旋等问题的研究融⼊到⽜顿质点⼒学中去呢？......如何⽤转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动⽅程？）司今（******************）司今（摘 要：刚体⼒学在处理⾃旋、转动等物体运动现象时是⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念来描述的，但这种描述似乎与⽜顿⼒摘 要：学质点思想不相融，⽽且运⽤这种⽅法论在揭⽰陀螺运动形成物理机制问题时显得“⼒不从⼼”，在解决像⾏星进动、量⼦⾃旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“⽆奈”——其实，研究刚体“⾃旋+进动”问题⽤⽜顿质点思想要⽐⽤转动惯量、⼒矩等⾮质点概念要⽅便、优越得多。
那么，我们如何才能在不违背刚体⼒学理论原理情况下，将陀螺运动、⾏星进动、量⼦⾃旋等问题的研究融⼊到⽜顿质点⼒学中去呢？本⽂正是基于这种思路提出了⼀个将物体⾃旋与转动进⾏质点化描述的“新⽅法”，并在这种⽅法论指导下讨论了陀螺进动变化中的诸多问题及陀螺进动⽅程的物理意义。
关键词：质点 ⾃旋 ⼒矩 ⾓速度 转动惯量转动能转动量守恒关键词：⽂献标识码：A中图分类号： 0441 ⽂献标识码：A中图分类号：引⾔0、0、引⾔在⽜顿质点⼒学中，⼀个没有⾃旋的刚体作平⾯运动时遵守平动动能、动量守恒，即对⼀个有⾃旋和平动的刚体⽽⾔，它作平⾯平⾏运动时也遵守动能、动量守恒，即.但因Ic是⼀个与空间r有关的量，这说明对于mv项可以⽤质点描述，对mIc项就没有办法⽤质点描述，如图-0所⽰。
两自由度陀螺仪的运动方程
两自由度陀螺仪的运动方程东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所1、刚体绕定点O转动；2为惯性坐标系2、为惯性坐标系；3、oxyz 活动坐标系，与ξηζo 刚体固连，且与刚体在点O的三个惯性主轴重合4、刚体以瞬时角速度ω相对惯性坐标系作定点转动，且在空间的瞬ω东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所一、用欧拉动力学方程建立陀螺仪的运动方程设陀螺仪坐标系oxyz 以瞬时角速度相对惯性空间作牵连旋转运动，同时转子ωo ξηζ又以角速度绕自转轴作Ω高速转动。
合成的转子绝对瞬时角速度为：() x y z i j kωωωωω′=Ω+=Ω+++东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的完整方程：()()x x z y y z x J J J M ωωωΩ++−=&&&() y y x z x z x z y J J J J M ωωωω+Ω+−=−−=&()z z x y y x y x z J J J J M ωωωωΩ+非陀螺效应项与陀螺效应项刚体绕定点转动的欧拉动力学方程式：⎧&()⎪=−+=−+x z y y z x x M J J J M J J J ωωωωωω&&()()⎪⎩⎨=−+z y x x y z z y z x z x y y M J J J ωωω&东南大学微惯性系统及器件研究所东南大学微惯性系统及器件研究所& y z z x y J H J M ωωωω+−=−&z y y x z J H J M ωωωω+=东南大学微惯性系统及器件研究所二、陀螺仪的技术方程和进动方程 z z x y J H J M ωωωω+−=&y z y y x z J H J M ωωωω−+=&x y zωωωΩ>>、、陀螺仪的技术方程（研究陀螺仪的运动特性）：y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&东南大学微惯性系统及器件研究所定点转动的刚体在空间的位置sin x ωαθ=−⎧⎪&&cos y z ωθωαθ=⎨⎪=⎩&ωθω&&&&&&&&−==y θθαθαsin cos z y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&cos J H M θαθ+=&&&cos yzJ H M αθθ−=&&&&&& y zJ H M J H M θααθ+=−=&&&东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的技术方程：y z y J H M ωω+=&z y z J H M ωω−=&J H M θα+=&&&y z J H M αθ−=&&&东南大学微惯性系统及器件研究所陀螺仪的进动方程：z H M ω=y y zH M ω−=y H M α=&& zH M θ−=沿陀螺仪内环轴作用陀螺仪进动运动的十字交叉原则：沿陀螺仪内环轴作用的力矩将引起主轴绕外环轴产生进动角速度；而沿外环轴作用的力矩将引起主轴绕内环轴产生进动角速度。
陀螺仪工作原理.
陀螺仪工作原理
地球以角速度E ω(E ω=1周/昼夜=7.25×10-5rad/s)绕其自转轴旋转，故地球上的一切东西都随着地球转动。
如从宇宙空间来看地轴北端，地球是在作逆时针方向旋转，其旋转角速度的矢量E ω沿其自转轴指向北端。
当陀螺仪在北纬某地设站，其主轴无论是方位角（相对子午线）和高度角（相对水平面）都不停地发生变化。
由此可见，陀螺仪主轴在地球上的视运动，不仅与纬度有关，还与主轴与子午面及水平面之间的夹角有关。
（1）重力矩P M βsin pl M P =
重力矩进动角速度p ω:H pl p /sin βω=
l-陀螺悬挂点O 至重心O ´之间的长度
P-陀螺灵敏部的重量
β-陀螺主轴与地平面之间的夹角（高度角）
H-陀螺转子的动量矩（角动量）重力矩进动角速度p ω。
综合前面所述，摆式陀螺仪围绕子午面左右摆动是重力矩和指向力矩综合作用的结果。
随着地球自转，陀螺仪主轴X 的高度角发生变化形成重力矩，使陀螺仪产生进动效应。
而地球的自转又使陀螺产生指向力矩，使陀螺仪的进动围绕子
午面进行。
当陀螺仪主轴X越接近子午面，指向力矩越小，当X轴指向子午面（即α为零时），则指向力矩为零，但此时陀螺仪因惯性的作用以最快的速度通过子午面。
当陀螺仪主轴X远离子午面时，相反方向的指向力矩使陀螺仪的进动速度慢慢降低，直至达到平衡点而停止。
然后，在指向力矩的作用下，陀螺仪主轴X 又向子午面方向运行，周而复始，使陀螺仪围绕子午面（真北方向）做摆式运动，实现了真北定向的目的。
第三章-联系测量陀螺定向课件
（1）通过平硐导入高程
（2）通过斜井导入高程 （3）通过立井导入高程
2024/10/5
通过立井导入高程
2024/10/5
h=l-a+b=l+(b-a) B点在统一坐标系中的 高程
HB=HA-h
二、长钢尺导入高程
2024/10/5
用长钢尺导入高程
2024/10/5
pM HsinQ Hslin
θ为陀螺轴x轴相对于地平面仰起的角度
2024/10/5
五 陀螺经纬仪定向测量方法
（一）陀螺经纬仪定向的作业过程
1、地面已知边上测定仪器常数
假想的陀螺仪轴的稳定位置通常不与地理子午线重合，陀螺 方位角与地理方位角二者之间的夹角称为仪器常数，一般用△ 表示 。
可以按下式求出仪器常数： △=A0-αT
钢丝导入高程
三、光电测距仪导入标高
运用光电测距仪导入标高，不仅精度高，而且缩短了井 筒占用时间，因此是一种值得推广的导入标高方法。
2024/10/5
光电测距仪导入高程
2024/10/5
三 陀螺经纬仪的工作原理
• 1．地球自转及其对悬挂式陀螺仪的作用
p
2024/10/5
MsinQslin
H
H
❖ 2．陀螺仪轴对子午面的相对运动
• 地球自转的水平分量使陀螺仪轴相对于地平面高度θ发生 变化。当陀螺仪轴在子午线以东时，其向东的一端相对于 地平面上升，向西的一端下降，此时产生外力矩（重力原 因）。若陀螺仪转子处于高速运转，则根据进动效应，x 轴有回到地平面的进动趋势，即向子午面靠近。反之，陀 螺仪轴在子午线以西，也有向子午面靠近的运动，因此在 地球自传作用下，x轴形成以子午面为中心的简谐摆动， 其轨迹为一很扁的椭圆 。
陀螺仪原理2运动方程
(s)
M x1 ( s )
反馈系统，如果前向通道有积 分环节，则其稳态特征一般主要 由反馈通道决定
1 1 Hs 1 Hs 2 2 J s J s x y
稳态响应，令上式中 s→0，则
M x1
Jy
H2
M x1
1 H
等效弹簧效应
进动效应
二自由度陀螺仪 系统模型：传递函数 2 J x s ( s) Hs ( s) M x1 ( s) 拉氏变换方程 2 J y s ( s) Hs ( s) M y ( s)
求解两个框架角α、β ，得到
H ( s) M x1 ( s) M y ( s) 2 2 2 2 JxJ ys H s( J x J y s H ) Jx H ( s) M y ( s) M x1 ( s) 2 2 2 2 JxJ ys H s( J x J y s H )
M cos H J x x H cos M y Jy
二自由度陀螺仪 运动方程：力矩投影
力矩的投影 ：Mx1 和 Mx 之间
M x1 M x cos M x M x1 / cos
代入前式，得到
M x1 cos H J x cos H cos M y Jy
1 J x s ( s) Hs ( s) J x 2 J y s ( s) Hs ( s) J y 1
2
求解α(s) 和β(s)，得到
/J 1 H 1 x ( s) J x J y s 2 H 2 s( J x J y s 2 H 2 ) s 2 H 2 / J x J y s( s 2 H 2 / J x J y ) 1 / J y H JxJ y 1 HJ x 1 1 (s) 2 2 2 2 2 2 2 J x J y s H s( J x J y s H ) s H / J x J y s( s H 2 / J x J y )
测绘专业实验实习—— 陀螺经纬仪定向方法实验指导书
实验四 陀螺经纬仪定向方法一、实验目的了解陀螺仪定向的原理，熟悉陀螺仪常用的定向方法，学会使用逆转点法和中天法进行精密定向。
二、实验仪器索佳GP-1陀螺全站仪1台，三脚架1个，棱镜1个。
三、陀螺仪一次测定作业流程本实验为演示实验，由指导教师结合PPT 及仪器操作进行演示教学。
1、陀螺仪悬挂带零位观测【原理】悬挂零位是指陀螺马达不转时，陀螺灵敏部受悬带和导流丝扭力作用而引起扭摆的平衡位置，即扭力矩为零的位置。
观测三次。
在陀螺观测开始之前和结束之后，要作悬带零位观测，相应简称为测前零位和测后零位观测。
【方法】测定悬挂零位时，先将全站仪整平并固定照准部，下方陀螺灵敏部（不启动马达），从读数目镜中观测灵敏部的摆动，在分划板上连续读三个逆转点的读数，估读到0.1格。
()132122L a a a =++⎡⎤⎣⎦2、陀螺仪粗定向在测定已知边和定向边的陀螺方位角之前，首先进行粗略定向，即把全站仪望远镜视准轴置于近似北方向。
3、精密定向（逆转点法）粗定向后，全站仪转到粗定向的北方向，再次下放陀螺，控制摆幅在5~8格之间，用逆转点法通过全站仪精确跟踪逆转点。
[]131224*********a a N a a a N a N N n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-……4、精密定向（中天法）首先通过逆转点法确定陀螺北方向在±20′内，然后托起陀螺；再放陀螺使其摆幅在8~10格之间，用中天法开始观测；至少测量2个周期。
5、测后零位。
四、陀螺仪一次定向作业流程1、在地面已知边上测定仪器常数由于陀螺轴衰微弱的摆动系数保持不变，故其摆动的平衡位置可以仍未是假想的陀螺主轴稳定的位置。
陀螺主轴虽然指示出真北方向，但是这个方向必须借助陀螺仪光学系统读数。
由于陀螺主轴与陀螺仪光学系统的光轴以及经纬仪视准轴不在同一竖直面捏，因而陀螺仪的指向与地理子午线N 不重合，两者之间的差值称为仪器常数∆（与磁偏角概念不同）。
第一章 陀螺罗经指北原理
（3）阿玛-勃朗系列罗经获得控制力矩的 方式 采用电磁摆(electromagnetic pendulum)和 水平力矩器(horizontal momentat device) 的间接控制法获得控制力矩。 控制力矩的产生方式：
阿玛-勃朗系列罗经的控制设备由电磁摆 和位于陀螺球水平轴上的力矩器组成。 当陀螺球工作，t = t1时，若设陀螺球主 轴水平指东， = 0，电磁摆不输出摆信 号，陀螺球水平轴的力矩器不工作，不 向陀螺球施加控制力矩。
液体连通器产生的控制力矩的大小与罗 经结构参数和陀螺仪主轴高度角有关。 控制力矩M 沿oy轴的方向将随角的 方向而定，使主轴进动的速度用 u2表示， 它使陀螺仪主轴负端自动找北（向子午 面进动）： u2 = My= M· 斯伯利系列罗经，为液体连通器罗经， 重力力矩，机械摆式罗经。
T0等于84.4min时，称为陀螺罗经的理 想自由摆动周期，这时若船舶机动航行， 船上的陀螺罗经将不产生第一类冲击误 差。 由摆动周期所对应的纬度称为陀螺罗经 的设计纬度(chosen latitude)（0），设 计纬度是设计罗经时所选取的一特殊纬 度。例如安许茨4型罗经的设计纬度为 60°。
陀螺仪之特性
定轴性(gyroscopic inertia)
在不受外力矩作用时,自由陀螺仪主轴保 持它的空间的初始方向不变。 进动性(gyroscopic precession) 在外力矩作用下,陀螺仪主轴的动量矩H 矢端以捷径趋向外力矩M矢端,作进动运 动或称旋进运动,可记为H→M。
3）陀螺罗经的启动过程 陀螺罗经在控制力矩作用下能够自动找 北，在此基础上，在阻尼力矩作用下， 经过一定的时间就能够稳定指北。 陀螺罗经的适用纬度一般为80以下， 否则罗经指向精度降低或不能正常指向。
B陀螺仪原理运动方程
2
)
sin
0t
J
y
M
(
2 0
oy
2
)
sin
t
M ox
H a
H (M02ox a第a221)页c/共os24页0t
H
2 0
M
a
(
2 0
ox
2 a
)
c
os
a
t
二自由度陀螺仪 正弦响应：轨迹
➢只考虑 Mx1，设ωa《ωo ，Jx = Jy = Je， 则上式可以简化成
M
z
第2页/共24页
Jy
d y
dt
H x
My
➢关于框架角速度和 外加力矩的方向
二自由度陀螺仪 运动方程：角速度投影
x cos y z sin
➢代入简化方程，得到
Jx J
d (
d
y dt
cos ) H M
dt
H cos M y
x
➢求导式展开
角速度的投影 ➢内框架坐标系 x y z 的ω等于两
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二自由度陀螺仪 阶跃响应：轨迹
对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程
M y0 H
t 2
JeM y0 H2
2
JeM y0 H2
2
旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动）的合成。解释：
圆周运动线速度： J e M y0 H M y0 H 2 Je H
圆心移动速度： M y0 H
H2
M y0 s
H s(J x J y s2
H2)
M x10 s
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二自由度陀螺仪 阶跃响应：时域响应
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陀螺定向运动方程的动静法推导
陀螺的定向运动方程是用来描述陀螺的旋转运动方式，也是机器人控制学中建模与控制陀螺的基本方法。
因此，推导陀螺定向运动方程的动静法是机器人控制学中基础性的理论研究内容。
本文针对陀螺定向运动方程，以动静法推导其运动方程并进行分析。
一、动静法推导原理
动静法推导是一种常用的推导转换运动方程的方法，其原理是认为动力学和静力学是一种衔接的概念，即当物体静止时，它的位置是定义的；而当物体的运动是持续的，那么转换过程也是持续的，类似于动力学和静力学之间的衔接过程。
二、陀螺定向运动方程动静法推导
（1）给定机器人陀螺在时刻t的角速度Ωt=(ω1t,ω2t,ω3t)，给定机器人陀螺在t0(t0<t)时刻的角度令θ0=(θ1,θ2,θ3)，则机器人陀螺的角度应满足：
θt-θ0=∫t0tdωt
（2）将角速度Ωt由旋转坐标系推导到全局坐标系表示：
Ωt=R(t)*ω=R(θt)*ω
（3）将（2）代入（1）得到：
θt-θ0=∫t0tdR(θt)ω
（4）在机器人控制学中，一般R(θt)称为运动变换矩阵，根据矩阵乘法求得：
θt-θ0=∫t0td[R(θt)*ω]
（5）最终可得到机器人陀螺的定向运动方程：
R(θt)*θt=ω
三、陀螺定向运动方程分析
陀螺定向运动方程可用于描述机器人陀螺的旋转方式，可以利用陀螺定向运动方程进行诸如机器人三轴陀螺的传动带动等控制。
此外，陀螺定向运动方程的位置模型的推导也十分重要，可以利用陀螺定向运动方程推导出位置模型指令，从而实现机器人的定点控制等功能。
四、结论
本文通过动静法推导了机器人陀螺的定向运动方程，并对其分析了应用效果。
以上研究对于机器人控制学的深入理解和应用都有重大意义，可以为机器人控制陀螺的更高精度控制提供参考依据。