系统的稳态误差分析(精)
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
线性系统的稳态误差(精)
3.6线性系统的稳态误差一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态，控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。
稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。
例如，工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量，轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材，导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战，等等。
控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。
由于系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而会产生原理性稳态误差。
此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。
控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。
对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法，包括计算稳态误差的一般方法，静态误差系数法和动态误差系数法。
3.6.1 误差与稳态误差控制系统结构图一般可用图3-29（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图3-29（b）的形式。
系统的误差通常有两种定义方法：按输入端定义和按输出端定义。
⑴按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差，Hsss=（3-25）E-RC)()(s())(⑵按输出端定义的误差5758)()()()(s C s H s R s E -=' （3-26）按输入端定义的误差)(s E （即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。
两种误差定义之间存在如下关系：)()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。
稳态误差的计算_图文(精)
ess 与输入和开环传递函数有关。 显然， 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s
2 ( s 1 ) ( s i k 2 k k s 1) 2 ( T s 1 ) ( T s j l 2 lTl s 1) j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
R(s)
E ' (s) E (s) H (s)
E’(s) 1/H(s)
N(s)
C(s)
e(t)
E(s)
+
B(s)
式中： r(t)为给定输入； 图 典型反馈系统结构图 b(t)为系统主反馈信号。 H （ s ）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的）， 故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 误差的定义
s 0
当 0时，K v lim sKG0 ( s ) 0 ,
s 0
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K , s 0 K 当 2时，K v lim G0 ( s) , s 0 s 结论：
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
ess 1 ess K ess 0
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 K p 越大，ess 越 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
稳态误差分析
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
第八节 采样系统稳态误差分析
输入为加速度函数时，对“ II ”型以下的系 统稳态误差为无穷大。
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第八节采样系统稳态误差分析
离散系统稳态误差小结
误差系数
K p lim D ( z )G ( z )
z 1
Kv
1 K a 2 lim( z 1) 2 D( z )G ( z ) z 1 T 稳态误差
2 1 T ( z 1) z 1 lim (1 z ) z 1 1 D( z )G ( z ) 2( z 1) 3
2( z 1)
1 1 2 l i m ( z 1 ) D( z )G ( z ) 2 z 1 T
1 Ka
其中
1 Ka 2 lim ( z 1) 2 D( z )G ( z ) 为加速度误差系数 T z 1
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第八节采样系统稳态误差分析
第 八节 采样系统稳态误差分析
一 采样系统稳态误差定义 二 采样时刻稳态误差的计算 三 A/D 变换器对稳态误差的影响
四 采样周期对稳态误差的影响
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e* (1 z 1 ) ss l i m
z 1
1 1 1 D( z )G ( z ) (1 z 1 )
1 1 lim z 1 1 D( z )G ( z ) 1 l i mD( z )G ( z )
z 1
1 1 K p
其中 K p lim D ( z )G ( z ) 为稳态位臵误差系数
第八节采样系统稳态误差分析
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
线性系统的稳态误差分析
（阶跃输入） r(t)=1(t)
（斜坡输入） r(t)=t
（加速度输入） r(t)=t2/2
0型系统 1
1 KP
Ⅰ型系统
0 1 Kv
Ⅱ型系统
0
0 1 Ka
• 误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统减少或消除稳态误差的能力， 系数值愈大，则给定稳态误差终值愈小。一般来说，在保持瞬态 响应在一个允许的范围内时，希望增加误差系数，如果在静态速 度误差系数和加速度误差系数之间有任何矛盾时，主要考虑前者。
线性系统的稳态误差分析 1误差及稳态误差的定义
C0 (s) (s)
N (s)
R(s) E(s) G1(s) + B(s) -
-
G2 (s) C(s)
系统误差：输出量的希望值 c0 (t)和实际值 c(t) 之差。即
(t) c0 (t) c(t)
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
ss
lim (t)
t
系统偏差：系统的输入 r(t) 和主反馈信号 b(t) 之差。即
e(t) r(t) b(t)
系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用 ess表示。即
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳态误差计算
偏差和误差之间存在一定的关系：
E(s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s) (s)
ss s0 sG(s)H (s) K lim sG(s)H (s)
v
s0
1 ess Kv
3、输入为单位加速度函数R(s) 1 时
s3
其稳态误差为：
第三章(4)系统的稳态误差
ess
lim sE(s)
s0
lim s0 1
sR(s) H (s)G(s)
结构形式
公式条件： sE(s) 的极点均位于S左半平面.
计算步骤: 1.计算系统误差表达式;
如何计算稳态误差？ 终值定理的条件是什么？
2.利用终值定理计算稳态误差.
三、稳态误差与系统输入信号及结构、参数的关系
1、什么是系统的类型？与系统的阶数有什么不同？ 2、什么静态位置、速度、加速度误差系数？ 3、系统结构、参数如何影响系统的稳态误差？
C(s) (1 Kd S)n2 1
S 2 2n S n2
S2
R(s)
E(s) R(s) C(s)
1 Kds
—
1
(1 K d S ) n 2
S 2 S 2 (S 2 2n S n 2 )
S 2 2n S K d n 2 S S 2 (S 2 2n S n 2 )
eSS
lim
ess ()
ess
lim e(t )
t
lim sE(s)
s0
R(S )
N (S ) E(S ) G1（S）
G2(S） C(S )
H（S）
3、系统的稳态误差：
1）设N（S）=0， 以R为输入，E为输出
RE
(S )
1
1 G1G 2 H
2）设R（S）=0，以N为输入，E为输出
NE (S )
G2(H ) 1 G1G 2 ( H )
S 0
SE(s)
lim
S 0
S S
2n 2 2
Kdn2 nS n2
2 n
Kd
n2
C(s)
s(s 2n)
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实验三系统的稳态误差分析
一.实验目的:
1.了解系统开环增益和系统型别对稳态误差的影响。
2.了解输入信号的形式和幅值对系统稳态误差的影响。
3.分析扰动作用下对系统稳态误差的影响。
4.研究减小或消除稳态误差的措施。
二.实验内容:
1．分别观测输入信号为阶跃信号、斜坡信号、加速度信号时，不同系统型别稳态误差的变化情况。
2．对有差系统，增大或减小系统的开环增益，观察系统稳态误差的变化。
3．改变输入信号的幅值，观察系统稳态误差的变化。
4．观测有扰动作用时，系统稳态误差的变化。
5．采取一种措施消除阶跃扰动对系统的影响。
三.实验原理:
阶跃输入信号作用于0型系统，如图（3-1）所示：
图（3-1）
斜坡输入信号作用于Ⅰ型系统，如图（3-2）所示：
图（3-2）
加速度输入信号作用于Ⅱ型系统，如图（3-3）所示：
图（3-3）
扰动信号作用下的系统，如图（3-4）所示：
图（3-4）
四.实验步骤:
利用MATLAB中的Simulink仿真软件。
1.参照实验一的步骤，建立如图(3-1)所示的实验方块图进行仿真；
2.单击工具栏中的图标，开始仿真，观测在阶跃输入信号作用下，0
型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值，并与理论计算值相比较；
3.有误差时，调整“Gain”模块的增益，观察稳态误差的变化，分析系统开
环增益对稳态性能的影响；
4.有误差时，调整输入信号的幅值，观察稳态误差的变化，分析输入信号的
大小对稳态误差的影响；
5.将对象分别更换为Ⅰ型和Ⅱ型系统，观察在阶跃输入信号作用下，Ⅰ
型和Ⅱ型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值。
6.更换输入信号的形式为斜坡信号，参考图(3-2)所示的实验方块图，重复步
骤2~4，分别观测0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳态误差。
7.再将输入信号的形式更换为加速度信号，参考图(3-3)所示的实验方块图，
重复步骤2~4，分别观测0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳态误差。
8.在扰动信号作用下，仿真实验方块图如图(3-4)所示，输入阶跃扰动信号，
观测系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值，并与计算的理论值相比较；
9.调整“Gain”模块的增益，观察稳态误差有无变化；，
10.再调整“Gain1”模块的增益，观察稳态误差有无变化；
11.在扰动作用点之前增加积分环节消除阶跃扰动对系统输出的影响。
五.思考题:
1．控制系统的稳态误差与什么有关？
2．怎样减小或消除扰动所产生的稳态误差？
3．扰动作用点之后的积分环节对稳态误差有无影响？
阶跃输入信号作用于0型系统
阶跃输入信号作用于Ⅰ型系统
斜坡输入信号作用于Ⅰ型系统
加速度输入信号作用于Ⅱ型系统
阶跃扰动信号作用下系统的误差。