三个角动量的耦合
结构化学知识点归纳
2. 光谱项： 2S+1 L ，光谱支项： 2S+1 LJ 。
L：
0
1
2
3
4
5
符号：
S
P
D
F
G
H
3. 谱项能级的高低：Hund 规则：
（1）原子在同一组态时，S 值越大其能量越低；
（2）S 值相同时，L 值越大其能量越低；
（3）S，L 都相同时，电子少于半充满，J 值小能量低；电子多于半充满时，J
值大能量低。
− =2 d2ψ = Eψ 2m dx2
其解为：ψ n (x) =
2 l
sin( nπ l
x)，
En
=
n2h2 8ml 2
解的特点：（1）粒子可以存在多种运动状态；（2）能量是量子化的；（3）存 在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）存在节点，节点越多， 能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的特点。
∫ ∫ 自厄算符：满足
ψ
* 2
(
Aˆψ
1
)dτ
=
ψ 2 ( Aˆψ1)*dτ 的算符。
自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正 交。
3. 假设 3：若某一物理量 A 的算符 Aˆ 作用于某一状态函数ψ ，等于某一常数 a 乘
以ψ ，即： Aˆψ = aψ ，那么对ψ 所描述的这个微观体系的状态，物理量 A 具有确
（2）外层电子对内层无屏蔽作用，σ = 0 ；
（3）同一组电子σ = 0.35 （1s 组内电子间的σ = 0.30 ）；
（4）对于 s，p 电子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 0.85；对于 d，f 电
子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 1.00；
7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构
ψn,l,j,m r,θ,φ,sz Rnl r ul jm θ,φ,sz
将耦合表象的基矢 nljm 按无耦合表象
基矢 nlml ms 展开
n,l, j,m(r, ,, sz )
C ml ms nlml ms
ml ms
16
7.5 光谱的精细结构（ 3）
考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响
电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能 和在核场中的势能小得多，现表示为：
二、本征值和本征矢
由 Jˆ1 、Jˆ 2 的本征值和本征矢，可以求出 Jˆ 本征值和 本征矢。
设以 j1 m1 和 j2 m2 分别表示
矢和
Jˆ
2 2
、Jˆ2z
的共同本征矢。
Jˆ 12
、Jˆ1z
的共同本征
相应的本征值方程为：
Jˆ12 Jˆ1z
j1m1 j1( j1 1) 2 j1m1 m1 j1m1
4
4
m1 0, 1
，
m2
1 2
m 3、 1、 1、 3 22 2 2
Jˆz
的本征值为
3 2
,1 2
, 1 2
, 3 2
9
两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums)
四、CG耦合系数和 Jˆ2，Jˆz 的本征矢
当给定 j1 时，m1 有2 j1 1 个取值，对应有 2 j1 1
故 m m1 m2 或 m1 m m2
j1 j2 j m j1,m m2, j2,m2 j1,m m2, j2, m2 j1 j2 j m
m2
由上面的讨论可知：
（5）
①.当求得了量子数j 和 m 后,就能得到 Jˆ 2 和 Jˆz
6-4多个角动量的耦合
6－4多个角动量的耦合在分子、原于、原于核和粒子物理中，必然碰到全同多粒子体系．它们的波函数数除了要求具有交换对称性之外，还要求是角动量的本征态．这就涉及多个多个角动量的耦合．与两个角动量的耦合不同之处在于多个角动量的耦合与耦合的先后顺序有关．为研究三个角动量在不同顺序下耦合成的波函数的关系，Racah 引进了重耦合(recoupling)系数，它是研究更多角动量耦合的基础．三个或更多角动量的耦合，从原理上讲并没有什么新东西，属于技巧性问题，但作为一种工具，却是很有用的，计算多粒子系的许多力学量的矩阵元和平均值都离不开它们．一． 3个角动量的耦合．Racah 系数，6j 符号考虑一个有三个粒子组成的全同粒子系统，角动量分别为三个角动量互不相同，互相对易，本征矢量分别为。
,,,321j j j rr r >11|,|m j >>3322|,m j m j 三个角动量的耦合角动量321j j j J rr r r ++=三个角动量的耦合有几种不同的方式：J j J J j j rr r r r r =+=+3121221, （a ）J j J J j j rr r r r r =+=+1232332, （b ）r rr r r r J j J J j j =+=+2131331, （c ）(a) 种耦合：第一步：先将21,j j r r 耦合，1221J j j r rr =+，根据两个角动量的耦合法则，{，,,}四个算符的本征态用|表示，可用，，，，的本征函数|作展开，即：21ˆJ 22ˆJ 21212ˆJ z J 1ˆz J 12ˆ22ˆJ >121221M J j j >>221|m j m ˆJ z J 2ˆ1j ><>>>=∑121222112211121221|||)(|21M J m j m j m j mj M J j j m m>=<12122211|12122211M J m j m j C M J m j m j第二步：再将12J r与耦合3j r J j J r r r =+312,{，J ,,}四个算符的本征态用|表示，可用，，，，的本征函数|作展开，即： 212ˆJ 212ˆJ 23ˆzJ 12ˆ2ˆJ 23ˆj z J ˆ>JM j J 312>>33|m j z j 3ˆ1212M J >><><>>=><>>>=∑∑JM m j M J M J m j m j m j m j mj JM m j M J m j M JJM j J j j m M m m m M ||||||||,)(|331212121222113322113312123312123122131221312（1）这是第一种耦合的基矢，是六个算符{，,，,,}的共同本征矢量。
角动量耦合 一般形式
归一化并与
正交而确定.
25
作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
26
j1 = ½ , j2 = ½ . 当J, M 取它们最大可能值J = M = 1, 此时(66)式中 的求和仅包含1项，即
(67)
上式左、右均为模为1的矢量，故而
15
• 现将算符 •有
作用于(67)并考虑到
(68)
16
• 进而将算符 J- 作用于(68)式，得
(69)
• 因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果
(71)
20
对于上升算符
有相似的结果如下：
(72)
(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式, 它允许我 们对相同的总角动量 J ，导出具有相同的 j1 和 j2, 但不同的 M 的CG系数； 它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于
的情况,如自旋-轨道耦合.
21
• 在(71)中，若令m2 = ½ 则其右端的第二项将为0， 从而
(64)
• 的值正好出现一次，称之为三角规则.
10
• 上述三角规则告诉我们两个角动量j1, j2仅能组 合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加 法一致(如图所示).
11
• 进而，可以计算耦合态的数目
• 如预期的等于 数目.
(65)
态的
12
Clebsch-Gordan 系数的计算
如上(56)所述，
§3.6 角动量耦合(相加)
• 现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成 一总角动量J的情况：
§1-11原子整体的状态与原子光谱项一.原子的量子数和角动量的耦合
§1-11 原子整体的状态与原子光谱项一.原子的量子数和角动量的耦合（L-S耦合）1.原子的量子数多电子原子：由于静电作用，各电子的轨道运动势必发生相互影响，使得个别电子的角动量难以确定，但总角动量保持不变.2. 角动量的耦合当电子数大于2时，可先两个耦合，将其结果再与第三个电子耦合.②轨道角动量在磁场上的分量②自旋角动量在磁场上的分量(3). 原子的总角量子数J (内量子数)和总磁量子数M J 总角动量② 总角动量在磁场上的分量二 . 原子的状态和原子光谱项1.原子的状态2. 原子光谱项M L K I H G F D P S L :.9.8.7.6.5.4.3.2.1.0符号如：L=1, S=1. 则J=2,1,0. 2S+1=3.三个光谱支项：3P 2, 3P 1, 3P 0——三重态.对于给定的J,在磁场方向上有（2J+1）个不同的取向，故每一个光谱支项还包括（2J+1）个状态，即：MJ=0,±1,…,±J 或MJ=±1/2, ±3/2,…, ±J.3. 从原子的组态导出其光谱项(1).凡是全充满的闭壳层，如:而且发生跃迁的也往往只是原子中的外层电子，所以在考虑多电子的光谱项时，可以只考虑开壳层上的电子即可.(2).考虑W.pauli原理，即不合理的应舍去).0(00,,,141062====S L S L f d p s 等的确定方法：a). 排出全部15种排布方式，对照消去.注：对于等价电子组态：●由于受Pauli原理和电子不可分辨性的限制，等价电子组态的光谱项和微观状态数会大大减少.例如：在(np)2组态中，Pauli原理使类似下图的6种微观状态不再出现：电子的不可分辨性使下图所示的两种微观状态只有一种是独立的：●若某一组态有v个等价电子，每个电子可能存在的微观状态数为u，则这一组态的全部微观状态数为：(np)2组态的微观状态数为：●按Pauli原理和电子不可分辨性，列出组态的各微观状态，求出mL和mS，推测出L和S，由L和S的实际组合关系，得出等价电子组态的各光谱项.b).表格图解法)!(!!vvv-=uuCu种15)!26(!2!6C26=-=至于2S,前面的光谱项中已包括。
5-3 角动量相加
ˆ 2 j , m j j 1 J ˆ j, m m J z
也可以将升降算符的作用写为
2
j, m
j, m
(2)
ˆ j, m J ˆ j, m J
j m j m 1 j m j m 1
j, m 1 j, m 1
(3) (4)
(26)
ˆ 相应的升降算符 引入与 J
ˆ J ˆ iJ ˆ , J x y
根据(12)和(20)式可知
ˆ J ˆ iJ ˆ J x y
(27)
ˆ J ˆ J ˆ , J 1 2
ˆ 写为 类似于(13)和(14)式，可以将 J
2
ˆ J ˆ J ˆ J 1 2
Jˆ
2
ˆ J ˆ J ˆ J 2 1z 2 z
(30)
将(30)式代入(25)式，得
5-3 角动量相加
~5~
ˆ2 J ˆ J ˆ J 1 2
2
2
ˆ2 J ˆ 2 2J ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 1 2 1z 2 z J1 J 2 J1 J 2
2
(31)
ˆ 对易，但 J ˆ 与J ˆ 与J ˆ 均不对易 ˆ 、J 注意，虽然 J z 2z 1z
ˆ2 ˆ J , J1z 0,
比如，根据(25)式
ˆ2 ˆ J , J2z 0
(32)
ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ J ˆ ˆ ˆ , J1z J1 J 2 2J1 J 2 , J1z J1 J 2 , J1z 2 J1 J 2 , J1z ˆ ,J ˆ 0 ，并利用(16)式，可得 由于 J 1 1z
7.4 角动量的耦合
( 7 .4 − 7 )
ˆ ˆ ˆ2 ˆ 因为 J12 , J1z , J 2 , J 2 z 相互对易，所以它们的共同本征矢：
j1 , m1 j2 , m2 ≡ j1 , m1 , j2 , m2
(7.4 − 8)
组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无 耦合表象，在这个表象中，ˆ12 , J1z , J 2 , J 2 z都是对角矩阵。 J ˆ ˆ2 ˆ
对易的：
v v ˆ 和 J 是相互独立的，因而 v 的分量和 v 的分量都是可 ˆ ˆ J1 ˆ2 J1 J2
v v ˆ ˆ [ J1 , J 2 ] = 0
(7.4 − 3)
v v v ˆ ˆ ˆ 表示 J 与 J 之和： 以J 1 2
v ˆ J
v v v ˆ=J +J ˆ ˆ J 1 2
称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：
0 β = χ−1 = 2 1
对
1 j =l − 2
1 − l − mYlm = φ (θ ,ϕ, sz ) = 2l +1 l + m +1Ylm+1
φljm
j
l −m l + m +1 =− αYlm + βYlm+1 2l +1 2l +1
解:(1)
r r ˆ ˆ S • L = S x Lx + S y Ly + S z Lz
r r ˆ ˆ ˆ , S • L] = [L , S L + S L + S L ] ˆ [Lx x x x y y z z ˆ ˆ ˆ = [Lx , Sx Lx ] +[Lx , Sy Ly ] +[Lx , Sz Lz ] ˆ ˆ = Sy[Lx , Ly ] + Sz[Lx , Lz ] ˆ ˆ = SyihLz − SzihLy
结构化学基础总结
结构化学基础总结第一章：量子力学基础知识一、3个实验1、黑体辐射实验：（1）黑体：被认为是可以吸收全部外来辐射的物体，是理想的辐射体。
理想黑体可以吸收所有照射到它表面的电磁辐射，并将这些辐射转化为热辐射，其光谱特征仅与该黑体的温度有关，与黑体的材质无关。
可见光：400-700nm（2）假设：黑体吸收或发射辐射的能量是不连续的，而是分子一份一份的，即，量子化的。
E=hμ2、光电效应实验和Einstein光子学说：光量子化和光的波粒二象性本质。
（1）Einstein提出来了光量子（光子）。
波的性质：衍射、干涉。
E=hμ粒子的性质：反射、折射。
P=h/λ光子的动能与入射光的频率成正比，与光的强度无关。
（2）Heisenberg不确定度关系：Δq∙Δp≥ℏΔq坐标不确定量；Δp动量不确定量；q广义坐标单缝衍射：某粒子坐标确定得愈精确，其相应动量就愈不确定。
h可作为区分宏、微观粒子的标准：宏观h=0，微观h不能看作0。
3、氢原子光谱与Born氢原子模型：（1）氢原子光谱：指的是氢原子内之电子在不同能级跃迁时所发射或吸收不同波长、能量之光子而得到的光谱。
氢原子光谱为不连续的线光谱，自无线电波、微波、红外光、可见光、到紫外光区段都有可能有其谱线。
根据电子跃迁的后所处的能阶，可将光谱分为不同的线系。
（2）在卢瑟福模型的基础上，玻尔提出了电子在核外的量子化轨道，解决了原子结构的稳定性问题，描绘出了完整而令人信服的原子结构学说。
定态假设：原子的核外电子在轨道上运行时，只能够稳定地存在于具有分立的、固定能量的状态中，这些状态称为定态（能级），即处于定态的原子能量是量子化的。
此时，原子并不辐射能量，是稳定的。
激发态：原子受到辐射、加热或通电时，获得能量后电子可以跃迁到离核较远的轨道上去，即电子被激发到高能量的轨道上，这时原子处于激发态。
处于激发态的电子不稳定，可以跃迁到离核较近的轨道上，同时释放出光子。
二、量子力学基本假设1、假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。
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三个角动量的耦合
三个角动量的耦合是指在一个体系中，由于角动量的存在而发生的相互作用。
当三个角动量之间有耦合关系时，它们在变化过程中会相互影响。
在物理学中，角动量是物体旋转运动时的物理量。
它由物体的质量、转动轴和角速度所决定。
当三个物体具有角动量时，它们之间会产生相互作用。
三个角动量的耦合可以导致一些有趣的现象。
例如，当一个物体的角动量在运动过程中改变时，它会对周围的物体产生力，从而改变它们的角动量。
这种相互作用可以导致体系的整体行为发生变化。
此外，三个角动量的耦合也可以导致能量的转移。
当一个物体的角动量增加时，它会从其他物体中吸取能量。
这种能量转移可以改变物体的运动状态，从而影响整个体系的行为。
总之，三个角动量之间的耦合是物体之间相互作用的一种体现。
它可以导致角动量、力和能量的传递和转移，从而产生各种有趣的现象和行为。